1、1 2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质 对应学生用书P40 读教材填要点 1球的切线与切平面 (1)球的切线： 定义：与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线，如果球的切线通过一点P，切点 为A，则称线段PA的长为从点P引的球的切线长 性质： 球的切线垂直于过切点的半径 从球外任一点引球的所有切线长相等 (2)球的切平面： 定义：与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面 性质：一个球的切平面，垂直于过切点的半径 2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线 (1)圆柱面的定义： 一条直线绕着与它平行的一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆柱面，这条直线叫做 圆柱面的母线，平行直线叫做圆柱面的轴 (2)圆柱面的内切
2、球： 在圆柱面的轴上任取一点C，过C作垂直于轴的平面，则平面在圆柱面上的截线 (C，r)称为切点圆，以C为圆心，r为半径作球，该球叫做圆柱面的内切球 (3)圆柱面的平面截线： 如果平面与圆柱面的轴线垂直，则平面截圆柱所得的截线是一个圆，此时 平面为圆柱面的直截面； 如果平面与圆柱面的轴所成的角为锐角，此时称平面为斜截面，平面截圆 柱所得的截线是一个椭圆 椭圆的定义： 在一个平面内，到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹，叫做椭 圆 3圆锥面及其内切球2 (1)圆锥面： 定义：一条直线绕着与它相交成定角(0时，平面与圆锥面的交线为椭圆； 当时，平面与圆锥面的交线为抛物线； 当时，
3、平面与圆锥的交线为椭圆 思路点拨 本题考查平面与圆锥面的截线解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭 圆的定义证明 精解详析 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个 位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切 当时，由上面的讨论可知，平面与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与 平面的切点分别为F 1 、F 2 ，与圆锥相切于圆S 1 、S 2 . 在截口的曲线上任取一点P，连接PF 1 、PF 2 .过P作母线交S 1 于Q 1 ，交S 2 于Q 2 ，于是 PF 1 和PQ 1 是从P到上方球的两条切线，因此PF 1 PQ 1 .同理，PF 2 PQ 2 . 所以PF 1 P
4、F 2 PQ 1 PQ 2 Q 1 Q 2 . 由正圆锥的对称性，Q 1 Q 2 的长度等于两圆S 1 、S 2 所在平行平面间的母线段的长度而与 P的位置无关，由此我们可知在时，平面与圆锥的交线是以F 1 、F 2 为焦点的椭 圆 由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后， 较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与本节中定 理的证明相同的方法，即Danelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手 证明，使问题得到解决 2已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30，在轴上取一点O，使5 SO3 cm，球O与这个锥
5、面相切，求球O的半径和切点圆的半径 解：如图所示，点H为球O与圆锥面的一个切点，点C为切点圆心， 连接OH，HC. 则OHSH，OSH30， OH SO cm，且SOH60， 1 2 3 2 HCOHsin 60 (cm) 3 2 3 2 3 3 4 球O的半径为 cm，切点圆的半径为 cm. 3 2 3 3 4 对应学生用书P42 一、选择题 1下列说法不正确的是( ) A圆柱面的母线与轴线平行 B圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角 有关 D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 解析：显然A正确，由
6、于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显 然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确 答案：D 2已知半径r2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45角，则截线椭圆的焦距为 ( ) A2 B2 2 C4 D4 2 解析：由椭圆长半轴a 2 ，短半轴b2，得焦距2c2 2 2 sin 45 2 a2b2 4. 2 2222 答案：C 3球的半径为3，球面外一点到球心的距离为6，则过该点的球的切线和过切点的半 径所成的角为( )6 A30 B60 C90 D不确定 解析：因为球的切线垂直于过切点的球的半径，所以所成的角为90. 答案：C 4一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60角，
7、截线上最长的弦长为4 ，则该 3 圆柱底面的半径为( ) A. B2 3 3 C3 D6 解析：圆柱底半径r2 sin 603. 3 答案：C 二、填空题 5一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的长轴长为10，则截面与圆柱面母 线的夹角的余弦值为_ 解析：因为椭圆的长轴长为10， 所以2a10，即a5. 又椭圆短轴长b3，c4. 故ecos . c a 4 5 答案： 4 5 6一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱 面的半径为_ 解析：由2a6，即a3，又ecos45 ，得bcea 3 ，即为圆 2 2 2 2 3 2 2 柱面的半径 答案： 3 2 2 7设圆锥面V是由直线l绕直线l旋转而得，l与l交点为V，l与l的夹角为 (0AB， 即x 1 x 2 3，x 1 x 2 ， 1 4 1 4 5 2 从而M的横坐标 ， x1x2 2 5 4 显然弦AB过焦点F时，M到y轴距离最短 设过F的直线方程为yk ， ( x 1 4 ) 联立Error! 则k 2 x 2 x 0. ( k2 2 1 ) k2 16 x M ，k ，即直线存在 5 4 5 21 点M到y轴最短距离为 . 5 4
