1、1 23.1 椭圆的参数方程 对应学生用书P31读教材填要点 椭圆的参数方程 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 1的参数方程是Error!,0t2.中心在 x2 a2 y2 b2 M 0 (x 0 ，y 0 )的椭圆 1的参数方程是 Error!0t2. xx02 a2 yy02 b2 小问题大思维 1中心在原点，焦点在y轴上的椭圆 1的参数方程是什么？ y2 a2 x2 b2 提示：由Error!得Error! 即参数方程为Error!(02) 2圆的参数方程Error!中参数 的意义与椭圆的参数方程中参数的意义相同吗？ 提示：圆的参数方程Error!(02)中的参数是动点M(x，y)的旋转角
2、，但在椭 圆的参数方程Error!(02)中的不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆 的半径OAa(或OBb)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角 对应学生用书P32 利用椭圆的参数方程求最值 例1 已知椭圆 1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积 x2 100 y2 64 思路点拨 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答此题需要设出A点的坐标，2 然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式 精解详析 椭圆方程为 1， x2 100 y2 64 可设A点的坐标为(10cos ，8sin )， 则|AD|20|cos |，|AB|16|sin |
3、. S 矩形 |AB|AD|2016|sin cos |160|sin 2|. |sin 2|1， 矩形ABCD的最大面积为160. 利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程； (2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值 1已知实数x，y满足 1，求目标函数zx2的最大值与最小值 x2 25 y2 16 解：椭圆 1的参数方程为 Error!02. x2 25 y2 16 代入目标函数得 z5cos 8sin cos( 0 ) 5282 cos( 0 ) . 89 ( tan 0 8 5 ) 所以z min ，z m
4、ax . 89 89 利用椭圆的参数方程求轨迹方程 例2 由椭圆 1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点 x2 4 y2 9 N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程 思路点拨 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法解答 此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标 即可求得轨迹3 精解详析 椭圆 1的参数方程为Error!(02)， x2 4 y2 9 设M(2cos ，3sin )，P(x，y)， Error!消去 ，得 1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 x2 4 4y2 9 利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用表示点的坐标，再利用sin 2 cos 2
5、1进行消参本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运 用参数方程显得很简单，运算更简便 2设F 1 ，F 2 分别为椭圆C： 1(ab0)的左、右两个焦点 x2 a2 y2 b2 (1)若椭圆C上的点A 到F 1 ，F 2 的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐 ( 1， 3 2 ) 标； (2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1 P的中点的轨迹方程 解：(1)由椭圆上点A到F 1 ，F 2 的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A 在椭 ( 1， 3 2 ) 圆上，所以 1，得b 2 3，于是c 2 a 2 b 2 1，所以椭圆C的方程为 1， 1 4 (
6、 3 2 ) 2 b2 x2 4 y2 3 焦点坐标为F 1 (1,0)，F 2 (1,0) (2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ， sin )，线段F 1 P的中点坐标为 3 (x，y)，则 x ，y ， 2cos 1 2 3sin 0 2 所以x cos ， sin . 1 2 2y 3 消去，得(x ) 2 1. 1 2 4y2 3 利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题4 例3 已知椭圆 y 2 1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B 1 ，B 2 的连线分 x2 4 别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|OQ|为定值 思路点拨 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答本题需要先
7、确定B 1 ，B 2 两 点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|OQ|即可 精解详析 设M(2cos ，sin )(02)，B 1 (0，1)，B 2 (0,1)， 则MB 1 的方程：y1 x. sin 1 2cos 令y0，则x ， 2cos sin 1 即|OP| .MB 2 的方程：y1 x， | 2cos 1sin | sin 1 2cos |OQ| . | 2cos 1sin | |OP|OQ| 4. | 2cos 1sin | | 2cos 1sin | 即|OP|OQ|4为定值 (1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明
8、(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围 3求证：椭圆Error!(ab0,02)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为 ac(其中c 2 a 2 b 2 ) 证明：M，F的坐标分别为(acos ，bsin )，(c,0) |MF| 2 (acos c) 2 (bsin ) 2 a 2 cos 2 2accos c 2 b 2 b 2 cos 2 c 2 cos 2 2accos a 2 (accos ) 2 . 当cos 1时，|MF| 2 最大，|MF|最大，最大值为ac. 对应学生用书P335 一、选择题 1椭圆Error!(02)的离心率为( ) A. B. 2 5 4 2
9、5 C. D. 21 5 21 25 解析：选C 由椭圆的参数方程可知a5，b2. 所以c ， 5222 21 故椭圆的离心率e ，故选C. c a 21 5 2曲线Error!(02)中两焦点间的距离是( ) A. B. 6 3 C2 D2 6 3 解析：选C 曲线化为普通方程为 1，c ，故焦距为2 . x2 12 y2 18 6 6 3若P(x，y)是椭圆2x 2 3y 2 12上的一个动点，则x y的最大值为( ) 2 2 A2 B4 6 C. D2 2 6 2 解析：选D 椭圆为 1，设P( cos，2sin)， x2 6 y2 4 6 x y cos sin2 sin 2 . 2
10、2 6 2 2 ( 3 ) 2 4已知曲线 Error!0上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为 ，则P点坐 4 标是( ) A(3,4) B. ( 3 2 2 ，2 2 ) C(3，4) D. ( 12 5 ， 12 5 ) 解析：选D 因为 tan tan 1，所以tan .所以cos ，sin y0 x0 4 3 4 3 4 4 5 ，代入得P点坐标为 . 3 5 ( 12 5 ， 12 5 ) 二、填空题6 5已知曲线C：Error!(02)经过点 ，则m_. ( m， 1 2 ) 解析：将曲线C：Error!(参数 R)化为普通方程为x 2 1，将点 代入该椭 y2 4 ( m， 1
11、 2 ) 圆方程，得m 2 1，即m 2 ，所以m . 1 4 4 15 16 15 4 答案： 15 4 6曲线Error!(02)的左焦点的坐标是_ 解析：题中曲线的普通方程为 1，左焦点为(4,0) x2 25 y2 9 答案：(4,0) 7对任意实数，直线yxb与椭圆 Error!02，恒有公共点，则b的取值范 围是_ 解析：将(2cos ，4sin )代入yxb得： 4sin 2cos b. 恒有公共点，以上方程有解 令f()4sin 2cos 2 sin ()(tan ) 5 1 2 2 f()2 . 5 5 2 b2 . 5 5 答案：2 ，2 5 5 8直线xy2 被椭圆 Er
12、ror!02截得的弦长为_ 3 解析：把Error! 代入xy2 得 cos sin . 3 3 3 即sin( ) ，于是0或 ，得两交点M(2 ，0)，N( ， )， 3 3 2 3 3 3 3 |MN| . 33 6 答案： 6 三、解答题 9在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆 y 2 1上的一个动点，求 x2 37 Sxy的最大值 解：椭圆 y 2 1的参数方程为 Error!02. x2 3 故可设动点P的坐标为( cos ，sin )， 3 其中02. 因此Sxy cos sin 2( cos sin )2sin( ) 3 3 2 1 2 3 所以当 时，S取最大值2.
13、 6 10P为椭圆 1上的点，求P到直线l：3x4y240的距离的取值范围 x2 16 y2 9 解：设P的坐标为(4cos ，3sin )，则P到l的距离为 d |12cos 12sin 24| 5 |12 2cos ( 4 ) 24| 5 . 2412 2cos ( 4 ) 5 当cos 1时，d取最大值 ； ( 4 ) 2412 2 5 当cos 1时，d取最小值 . ( 4 ) 2412 2 5 综上，所求的取值范围为 . ( 2412 2 5 ， 2412 2 5 ) 11椭圆 1(ab0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使 x2 a2 y2 b2 OPAP(O为坐标原
14、点)，求离心率e的取值范围 解：由题意，知A(a,0)，若存在点P，使OPAP， 则点P必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P(acos ，bsin )， . ( 0， 2 ) ( 3 2 ，2 ) 因为OPAP， 所以k OP k AP 1，即 1. bsin acos bsin acos a 所以b 2 sin 2 a 2 cos 2 a 2 cos 0，8 即(a 2 b 2 )cos 2 a 2 cos b 2 0. 解得cos 或cos 1(舍去) b2 a2b2 由 ， ( 0， 2 ) ( 3 2 ，2 ) 得0cos 1， 所以0 1，把b 2 a 2 c 2 代入， b2 a2b2 得0 1，即0 11， a2c2 c2 1 e2 解得 e1. 2 2
