1、淄博实验中学高三年级第一学期第一次教学诊断考试 2016.10数 学第 I 卷（共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 1xy|N1,xy|M2 ，则 NM（ ）A（0，1） Bx|x1 Cx|x0 Dx|x12命题 p：函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在 R上为增函数；命题 q：垂直于同一平面的两个平面互相平行；则下列命题正确的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q D （p）（q）3由曲线 xy，直线 y=x所围成的封闭曲线的面积是（ ）A 61B 2 C 32D14已知 A（2
2、，1），O（0，0），点 M（x，y）满足2yx则 AMOZ的最大值为（ ）A5 B1 C0 D15某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A 320B 6 C 310D 3166 ABC 中， “A ”是“sinA 2”的（ ）A必要不充分条件 B充分必要条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件7将函数 f（x）=2sin（2x 3）的图象向左平移 4个单位，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个单调递减区间是（ ）A 125，0 B，0 C0， 3 D 6， 28在ABC 中， 41ANM,BNMA1,CA ，则ABC=（ ）
3、A 12B 6 C 4D 39已知 x2f(x)，f（m）=3，且 m0，若 a=f（2m） ，b=2f（m） ，c=f（m+2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Acba Bacb Cabc Dbac10已知 y=f（x）是定义在 R上的奇函数，且 0x10,2)(fx，当函数)2k(1)f(y（其中 k0）的零点个数取得最大值时，则实数 k的数值范围是（ ）A 306, B )2,36C)306,41(D)2,41(第卷 非选择题（共 100 分）二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题 5 分，共 25 分） 11已知等比数列a n为递增数列，其前 n项和为 Sn，若 2033)d
4、x(4S8,a，则公比 q= _ 12已知 21)4ta(，且 0，则 )4cos(in2= 13、设函数 f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当 c=0时，有 f（x）=f（x）成立；当 b=0，c0 时，方程 f（x）=0，只有一个实数根；函数 y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当 x0 时；函数 f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是 2bc其中正确的命题的序号是_ 14. 若存在实数 使 |1|3a成立，则实数 a的取值范围是 15在边长为 2的正方形 ABCD中，动点 M和 N分别在边 BC和 CD上，且 DC14DN,BCM，则 BNAM的最小值为 _
5、三解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分 12分)已知 sinx)(2co,bcosx,32a，且 baf(（1）求 fx的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若（a+2c）cosB=bcosA 成立，求 f(A)的取值范围17 .(本小题满分 12分)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 B)sinCco(sAinBsA（1）判断ABC 是否为直角三角形，并说明理由；（2）若 21cba，求ABC 面积的最大值18. (本小题满分 12分)已知数列a
6、 n满足 a1=1，a 1+ a2+ a3+ an=an+11（n *N） ，数列a n的前 n项和为 Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=S，T n是数列b n的前 n项和，求使得 Tn 对所有 n *N都成立的最小正整数 m19. (本小题满分 12分)已知数列 na的前 项和 nS满足 21naSp( p为大于 0的常数)，且 1a是 2与 36的等差中项(1)求数列 n的通项公式；(2)若 12ba，求数列 nb的前 项和 nT 20 (本小题满分 13分)请你设计一个包装盒，如图所示 ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，
7、再沿虚线折起，使得 ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中 E、F 在 AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x应取何值；（2）某广告商要求包装盒容积 V(cm 3)最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值21. (本小题满分 14分)设函数 f（x）=ax 2（2a1）xlnx，其中 aR（1）当 a0 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（2）当 a0 时，求函数 f（x）在区间 ，1上的最小值；（3）记函数 y=f（x）的图象为曲线 C，设点 A
8、（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是曲线 C上不同的两点，点 M为线段 AB的中点，过点 M作 x轴的垂线交曲线 C于点 N，试判断曲线 C在 N处的切线是否平行于直线 AB？并说明理由CDADC ADCDC11、已知等比数列a n为递增数列，其前 n 项和为 Sn，若 a3=8，S 3= （4x+3）dx，则公比 q= 2 【考点】等比数列的通项公式；定积分【分析】求定积分 S3= （4x+3）dx=14，从而可得 8（1+ + ）=14，从而解得【解答】解：S 3= （4x+3）dx=2x 2+3x| =8+6=14，则 S3=a3（1+ + ）=14，解得，q=2，故答案为：21
9、2、已知 ，且 ，则 = 13、设函数 f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当 c=0 时，有 f（x）=f（x）成立；当 b=0，c0 时，方程 f（ x）=0 ，只有一个实数根；函数 y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当 x0 时；函数 f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是 其中正确的命题的序号是_14、若存在实数 x使 |1|3ax成立，则实数 a的取值范围是 15、在边长为 2 的正方形 ABCD 中，动点 M 和 N 分别在边 BC 和 CD 上，且 = ， = ，则 的最小值为 1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】建立平面直角坐标系，求出 关于
10、的函数，利用基本不等式得出最小值 【解答】解：以 CB，CD 为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则 A（2，2） ，B（2，0） ，M（22，0） ，N （0，2 ） =（2，2） ， =（2， ） =4 =4+1+ 5 5= 1 当且仅当 4+1= 即 = 时取等号故答案为：116 解答： 解：（I）f （x）= =2cos2x+2 sinxcosx=2sin（2x+ ）+1，故函数的周期为 令 2k 2x+ 2k+ ，kz，可得 k xk+ ，kz，故函数的单调递增区间为k ，k+ ，kz（）在ABC 中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=sinBcosA，即 sin（A+B）
11、=2sinCcosB，cosB= ，B= f（A）=2sin （2A+ ）+1由于 0A ， 2A+ ， sin（2A+ ） 1，2f （A ） 3，故 f（A）的取值范围为（2，3 17、 （）因为 sinA+sinB=（cos A+cosB）sin C， 由正、余弦定理，得a+b= c 2 分化简整理得（ a+b）（ a2+b2）=（ a+b） c2因为 a+b0，所以 a2+b2=c2 4 分故 ABC 为直角三角形. 且 C=90 6 分（）因为 a+b+c=1+ ， a2+b2=c2，所以 1+ =a+b+ 2 + =（2+ ） 当且仅当 a=b 时，上式等号成立 所以 . 8 分故
12、 S ABC= ab 10 分即 ABC 面积的最大值为 18、【解答】解：（1）a 1+ a2+ a3+ an1 + an=an+11（nN） ，当 n2 时，a 1+ a2+ a3+ an1 =an1，两式相减得： an=an+1a n，即 = ，又 = = 满足上式， = （nN） ，当 n2 时，a n= a1= 21=n，又a 1=1 满足上式，数列a n的通项公式 an=n；（2）由（1）可知 bn= = =2（ ） ，T n=2（1 + + ）=2（1 ）= ， 随着 n 的增大而增大，不等式 Tn 对所有 nN 都成立求数列T n的最大值，又 =2， 2，即 m20，故满足题意
13、的最小正整数 m=2019、解：(1)当 n1 时， S1 p(S1 a1) ，故 a1 .当 n2 时， Sn p(Sn an) ， 12 12 12 Sn1 p(Sn1 an1 ) ，由得， an pan1 ，即 p(p0)12 anan 1故 an是首项为 ，公比为 p 的等比数列，即 an pn1 .由题意得，6 a3 a22 a1，即12 123p2 p1.解得 p 或 p (舍去) an( )( )n1 .12 12 23 12 12 12n(2)由(1)，得 bn (2 n1)2 n，2n 1an则有 Tn3252 272 3(2 n1)2 n1 (2 n1)2 n，2Tn32
14、252 372 4(2 n1)2 n(2 n1)2 n1 ，两式相减，得 Tn322(2 22 32 n)(2 n1)2n1 62 (2 n1)2 n1 2(2 n1)2 n1 .22 2n 11 2 Tn2(2 n1)2 n1 .20、请你设计一个包装盒，如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中 E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= xcm（I）某广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x 应
15、取何值；（II）某广告商要求包装盒容积 V(cm 3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值此时 12ha即，装盒的高与底面边长的比值为1.212 分考点：几何体的体积与表面积，二次函数，应用导数研究函数的单调性、最值.21 【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）=2ax +12a = = a0，x0，2ax +10，令 f（x）0 得 x10，f（x）单调递增区间为（1 ，+） （II）当 a0 时，令 f（x）=0 得 x1=1，x 2= 当 1 即 a 0 时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在 ，1上的最小值为 f（1）=1a当 即1
16、 时，f（x）在区间 ， 上单调递减，在区间 ，1上单调递增，f（x）在区间 ，1上的最小值为 f（ ）=1 +ln（2a） 当 即 a1 时， f（x）在区间 ，1上是增函数，f（x）在区间 ，1上的最小值为 f（ ）= 综上，f min（x）= （III）设 M（ x0，y 0） ，则 xN=x0= 直线 AB 的斜率 k1= = a（x 22x 12）+（12a） （x 2x 1）+ln 1lnx 2=a（x 1+x2）+（12a）+ 曲线 C 在 N 处的切线斜率为 k2=f（x 0）=2ax 0+12a =a（x 1+x2）+12a 假设曲线 C 在 N 处的切线平行于直线 AB，则 k1=k2， = ，ln = = ，令 =t，则 lnt= ，不妨设 x1x 2，则 0t 1令 g（t）=lnt ，则 g（t）= = 0，g（t）在（0，1）上为增函数，g（t）g（1）=0，即 g（ t）=0 在（0，1）上无解，曲线 C 在 N 处的切线不平行于直线 AB
