1、1 第二单元 平面向量 1 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实 施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例1 化简下列各式： (1)(2 )( 2 )； AB CD AC BD (2) 3(2a8b)6(4a2b). 1 24 解 (1)(2 )( 2 ) AB CD AC BD 2 2 2 2 AB CD AC BD AB DC CA BD 2( )( )2 . AB BD DC CA AD DA AD (2) 3(2a8b)6(4a2b) 1 24 (6a24b24a12b)
2、 (18a36b) 1 24 1 24 a b. 3 4 3 2 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形” ，通过作出向量，运用平行四边形 法则或三角形法则进行化简；二是基于“数” ，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相 减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法 则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看 成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的 “同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数 例2 如图，已知ABC和点M满足 0，若存在实数m使得 m 成立， M
3、A MB MC AB AC AM 则m_. 解析 如图，2 因为 0， MA MB MC 即 ( )， MA MB MC 即 . AM MB MC 延长AM，交BC于点D， 所以点D是BC边的中点，所以 2 ， AM MD 所以 ，所以 2 3 ， AD 3 2 AM AB AC AD AM 所以m3. 答案 3 点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法 及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参 数的值. 三、表示向量 例3 如图所示，在ABC中， ，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点 AD 2 3
4、 AB N，设 a， b，用向量a，b表示 、 、 、 、 . AB AC AE BC DE DN AM 解 因为DEBC， ， AD 2 3 AB 所以 b， ba. AE 2 3 AC 2 3 BC AC AB 由ADEABC，得 (ba). DE 2 3 BC 2 3 又M是ABC底边BC的中点，DEBC， 所以 (ba)， DN 1 2 DE 1 3 a a (ba) (ab). AM AB BM 1 2 BC 1 2 1 2 点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利3 用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形
5、对应 边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量. 2 走出平面向量的误区 平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不 少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总 结，希望帮助同学们走出平面向量的误区. 一、理解失误 例1 已知e 1 、e 2 是平面内的一组基底，那么下列命题中正确的有_.(填序号) e 1 、e 2 两个向量可以共线，也可以是零向量； e 1 e 2 可以表示平面内的所有向量； 对于平面内的任意向量a，使ae 1 e 2 的实数、有无数对. 错解 正解 由平面向量的基本定理知，
6、只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所 以错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以 正确，错误.故正确答案为. 答案 点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：e 1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向 量；该平面内的任意向量a都可用e 1 、e 2 线性表示，且这种表示是唯一的；对基底的 选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.二、考虑不全 例2 与向量d(12，5)平行的单位向量为( ) A.( ， ) 12 13 5 13 B.( ， ) 12 13 5 13 C.( ， )或( ， ) 12 13 5 13
7、12 13 5 13 D.( ， ) 12 13 5 13 错解 由题意得|d|13，则与d(12，5)平行的单位向量为( ， )，故选A. 12 13 5 13 正解 与d(12，5)平行的单位向量为( ， )或( ， ).故选C. 12 13 5 13 12 13 5 134 答案 C 点评 与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况. 三、概念混淆 例3 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).设 3 ， 2 ，试求点M，N和向量 CM CA CN CB 的坐标. MN 错解 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)， 所以 (23，44)(1，8)， CA (3
8、3，14)(6，3)， CB 3 (3，24)， 2 (12，6)， CM CA CN CB 所以点M(3，24)，点N(12，6)， (9，18). MN 正解 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4). 所以 (23，44)(1，8)， CA (33，14)(6，3)， CB 3 (3，24)， 2 (12，6). CM CA CN CB 又C(3，4)， 所以点M(0，20)，点N(9，2)， 所以 (90，220)(9，18). MN 点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标， 只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等. 3
9、平面向量的基本定理应用三技巧 技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1 ，e 2 为基底，且 ax 1 e 1 y 1 e 2 x 2 e 1 y 2 e 2 ，则用Error!”来求解. 例1 在OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使| | OM | |13，| | |14，设线段AN与BM交于点P，记 a， b，用a，b OA ON OB OA OB 表示向量 . OP 5 解 B，P，M共线， 存在常数s，使 s ，则 . BP PM OP 1 1s OB s 1s OM 即 ， a b. OP 1 1s OB s 31s OA s 31s 1 1s 同理，存
10、在常数t，使 t ， AP PN 则 a b. OP 1 1t t 41t a，b不共线，由得Error! 解得Error! a b. OP 3 11 2 11 点评 这里选取 ， 作为基底，构造 在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基 OA OB OP 底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解. 技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1 ，e 2 为基底， ax 1 e 1 y 1 e 2 ，bx 2 e 1 y 2 e 2 ，且ab，则x 1 y 2 x 2 y 1 0”来求解. 例2 如图，在OAB中， ， ，AD与BC交于点M，设 a， b. OC 1 4
11、 OA OD 1 2 OB OA OB (1)用a、b表示 ； OM (2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设 p ， q ，求证： 1. OE OA OF OB 1 7p 3 7q (1)解 设 manb，则 OM (m1)anb， a b. AM AD 1 2 点A、M、D共线， 与 共线， AM AD 6 (m1)(1)n0， 1 2 m2n1. 而 (m )anb， ab. CM OM OC 1 4 CB 1 4 C、M、B共线， 与 共线， CM CB n(m )0， 1 4 1 4 4mn1. 联立可得m ，n ， 1 7 3 7 a b. OM 1
12、7 3 7 (2)证明 ( p)a b， paqb. EM 1 7 3 7 EF 与 共线， EF EM ( p)q (p)0， 1 7 3 7 qpq p，即 1. 1 7 3 7 1 7p 3 7q 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方 程组求解. 技巧三 将题目中的已知条件转化成 1 e 1 2 e 2 0的形式(e 1 ，e 2 不共线)，根据 1 2 0来求解. 例3 如图，已知P是ABC内一点，且满足条件 2 3 0，设点Q为CP的延长线 AP BP CP 与AB的交点，令 p，试用向量p表示 . CP CQ 解 ， ， AP AQ QP
13、 BP BQ QP ( )2( )3 0， AQ QP BQ QP CP 3 2 3 0. AQ QP BQ CP 7 又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ， ， AQ BQ CP QP 3 2 3 0， BQ QP BQ QP (2) (33) 0. BQ QP 而 ， 为不共线向量， BQ QP Error!2，1. . CP QP PQ 故 2 2p. CQ CP PQ CP 点评 这里选取 ， 两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成 BQ QP 1 e 1 2 e 2 0的形式来求解. 4 直线的方向向量和法向量的应用 直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力
14、工具.由于直线和平面向量的学习分散在必 修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方 向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义 设P 1 ，P 2 是直线l：AxByC0上的不同两点，那么向量 以及与它平行的非零向量 P1P2 都称为直线l的方向向量，若P 1 (x 1 ，y 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 )，则 的坐标为(x 2 x 1 ，y 2 y 1 )； P1P2 特别当直线l与x轴不垂直时，即x 2 x 1 0，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一 个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1，0)
15、；而无论斜率存在与否，其方向 向量均可表示为(B，A). 2.应用 (1)求直线方程 例1 已知三角形的三顶点坐标分别为A(2，3)，B(7，9)，C(18，9)，求AB边上的中 线、高线方程以及C的内角平分线方程. 解 求中线方程 由于 (25，0)， (16，12)，那么AB边上的中线CD的方向向量为 CB CA 8 (41，12)， CB CA 也就是 ，因而直线CD的斜率为 ， ( 1， 12 41 ) 12 41 那么直线CD的方程为y9 (x18)， 12 41 整理得12x41y1530. 求高线方程由于k AB ， 93 72 4 3 因而直线AB的方向向量为 . ( 1， 4
16、 3 ) 而AB边上的高CEAB， 则直线CE的方向向量为 ， ( 1， 3 4 ) 那么高线CE的方程为y9 (x18)， 3 4 整理得3x4y180.求C的内角平分线方程 (1，0)， ， CB |CB | CA |CA | ( 4 5 ， 3 5 ) 则C的内角平分线的方向向量为 ，也就是 ， CB |CB | CA |CA | ( 9 5 ， 3 5 ) ( 1， 1 3 ) 因而内角平分线CF的方程为y9 (x18)， 1 3 整理得x3y90. 点评 一般地，经过点(x 0 ，y 0 )，与直线AxByC0平行的直线方程是A(xx 0 ) B(yy 0 )0；与直线AxByC0垂
17、直的直线方程是B(xx 0 )A(yy 0 )0. (2)求直线夹角 例2 已知l 1 ：x3y150与l 2 ：y3mx60的夹角为 ，求m的值. 4 解 直线l 1 的方向向量为v 1 (3，1)， 直线l 2 的方向向量为v 2 (1，3m). l 1 与l 2 的夹角为 ， 4 |cosv 1 ，v 2 | ， |v1v2| |v1|v2| |3m3| 91 19m2 2 29 化简得18m 2 9m20，解得m 或m . 2 3 1 6 点评 一般地，设直线l 1 ：yk 1 xb 1 ，其方向向量为v 1 (1，k 1 )，直线l 2 ：yk 2 xb 2 ， 其方向向量为v 2
18、(1，k 2 )，当1k 1 k 2 0时，两直线的夹角为90；当1k 1 k 2 0时，设 夹角为，则cos ；若设直线l 1 ：A 1 xB 1 yC 1 0，其 |v1v2| |v1|v2| |1k1k2| 1k2 1 1k2 2 方向向量为(B 1 ，A 1 )，直线l 2 ：A 2 xB 2 yC 2 0，其方向向量为(B 2 ，A 2 )，那么cos . |A1A2B1B2| A2 1B2 1 A2 2B2 2 二、直线的法向量 1.定义 直线AxByC0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因 此若直线的方向向量为v，则nv0，从而对于直线AxByC0而言
19、，其方向向量为 v(B，A)，则由于nv0，于是可取n(A，B). 2.应用 (1)判断直线的位置关系 例3 已知直线l 1 ：axy2a0与直线l 2 ：(2a1)xaya0. (1)若l 1 l 2 ，求实数a的值； (2)若l 1 l 2 ，求实数a的值. 解 直线l 1 ，l 2 的法向量分别为n 1 (a，1)，n 2 (2a1，a)， (1)若l 1 l 2 ，则n 1 n 2 a(2a1)(1)a0，解得a0或a1.当a0或1时， l 1 l 2 . (2)若l 1 l 2 ，则n 1 n 2 ，a 2 (2a1)(1)0，解得a1 ，且 2 2.当a1 时，l 1 l 2 .
20、a 2a1 1 a 2 点评 一般地，设直线l 1 ：A 1 xB 1 yC 1 0，l 2 ：A 2 xB 2 yC 2 0，它们的法向量分别为 n 1 (A 1 ，B 1 )，n 2 (A 2 ，B 2 )，当n 1 n 2 ，即A 1 A 2 B 1 B 2 0时，l 1 l 2 ，反之亦然；当 n 1 n 2 ，即A 1 B 2 A 2 B 1 0时，l 1 l 2 或l 1 与l 2 重合. (2)求点到直线的距离 例4 已知点M(x 0 ，y 0 )为直线l：AxByC0外一点. 求证：点M(x 0 ，y 0 )到直线l的距离d . |Ax0By0C| A2B2 证明 设P(x 1
21、 ，y 1 )是直线AxByC0上任一点，n是直线l的一个法向量，不妨取 n(A，B).则M(x 0 ，y 0 )到直线l：AxByC0的距离d等于向量 在n方向上正射影的 PM 数量，如图所示，10 d| |cos ，n| PM PM |PM， n| |n| |x0x1，y0y1A，B| A2B2 |Ax0x1By0y1| A2B2 . |Ax0By0Ax1By1| A2B2 点P(x 1 ，y 1 )在直线l上， Ax 1 By 1 C0， Ax 1 By 1 C， d . |Ax0By0C| A2B2 点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1 ：AxByC 1 0与直线 l 2
22、：AxByC 2 0(A 2 B 2 0且C 1 C 2 )的距离为d . |C2C1| A2B2 证明过程如下： 设P 1 (x 1 ，y 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 )分别为直线l 1 ：AxByC 1 0，直线l 2 ：AxByC 2 0上任意 两点，取直线l 1 ，l 2 的一个法向量n(A，B)，则 2 (x 2 x 1 ，y 2 y 1 )在向量n上的正 P1P 射影的数量，就是两平行线l 1 、l 2 的距离. d| 2 |cos 2 ，n| P1P P1P |P1P 2n| |n| |x2x1，y2y1A，B| A2B211 |Ax2x1By2y1| A2B2 . |Ax2By2Ax1By1| A2B2 |C2C1| A2B2
