1、1 2.4.1 向量在几何中的应用 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会 向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力. 知识点一 向量在平面几何中的应用 设a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )，a，b的夹角为. 思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？思考3 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？梳理 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0) _. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形
2、、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a，b，ab_. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：cos _. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a|_. 知识点二 直线的方向向量和法向量 思考 若向量a(a 1 ，a 2 )平行于直线l，则a 1 ，a 2 与直线l的斜率k有何关系？2梳理 如果知道直线的斜率k ，则向量(a 1 ，a 2 )一定与该直线_.这时向量 a2 a1 (a 1 ，a 2 )称为这条直线的_向量. 如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的 _向量. 即直线ykxb的方向向量为_
3、，法向量为_；直线AxByC0的方 向向量为_，法向量为_. 类型一 用平面向量解决平面几何问题 例1 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1) BECF；(2)APAB.反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤 选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把 几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系； 把几何问题向量化. 跟踪训练1 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PF
4、BC，垂足分 别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.3类型二 向量在解析几何中的应用 例2 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边 BC，CA，AB的中点. (1)求直线DE，EF，FD的方程； (2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则 进行运算. 跟踪训练2 在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线所在的直线方程.1.已知在ABC中，若 a， b，且ab0，则ABC的形状为( ) AB AC A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角
5、形 D.不能确定 2.过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为( ) A.2xy70 B.2xy704 C.x2y40 D.x2y40 3.在四边形ABCD中，若 0， 0，则四边形ABCD为( ) AD CB AC BD A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5， 3 ， 2，则 的值 CP PD AP BP AB AD 是_. 5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两 点M，N，若 m ， n ，则mn的值为_. AB AM AC AN 利用向量方法可以解决平面几何中的
6、平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几 何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思 路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.5 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 可用向量共线的相关知识： ababx 1 y 2 x 2 y 1 0(b0) 思考2 可用向量垂直的相关知识： abab0 x 1 x 2 y 1 y 2 0. 思考3 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何 问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系 梳理 (1)a
7、b x 1 y 2 x 2 y 1 0 (2)ab0 x 1 x 2 y 1 y 2 0 (3) ab |a|b| x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 (4) x2y2 知识点二 思考 设A(x 1 ，y 1 )l，P(x，y)l，直线l的倾斜角为，斜率为k. 向量a平行于l， 由直线斜率和正切函数的定义， 可得k tan . yy1 xx1 a2 a1 梳理 平行 方向 法 (1，k) (k，1) (B，A) (A，B) 题型探究 例1 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)， E(1,2)， F(0,1) (1) (1,2
8、)， (2，1) BE CF 6 (1)(2)2(1)0， BE CF ，即BECF. BE CF (2)设点 P的坐标为(x，y)， 则 (x，y1)， FP (2,1)， ， FC FP FC x2(y1)，即x2y2. 同理，由 ，得y2x4. BP BE 由Error!得Error! 点P的坐标为( ， ) 6 5 8 5 | | 2| |， AP 6 5 2 8 5 2 AB 即APAB. 跟踪训练1 证明 设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)， 则EPAEa，PFEB1a， AP a， 2 ( )( ) DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP
9、 AP PF 1acos 1801(1a)cos 90 aacos 45 a(1a)cos 45 2 2 aa 2 a(1a)0. ，即DPEF. DP EF 例2 解 (1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任 意一点，则 . DM DE 又 (x1，y1)， DM (2，2)， DE (2)(x1)(2)(y1)0， 即xy20为直线DE的方程 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x5y80，xy0.7 (2)设点 N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则 ， 0. CN AB CN AB 又 (x6，y2)， (4,4)， CN AB 4(x6)4(y2)0， 即xy40为所求直线CH的方程 跟踪训练2 解 (3,4)， AB (8,6)， AC A的平分线的一个方向向量为 a AB |AB | AC |AC | ( 3 5 ， 4 5 ) ( 4 5 ， 3 5 ) . ( 1 5 ， 7 5 ) 设P(x，y)是角平分线上的任意一点， A的平分线过点A， a， AP 所求直线方程为 (x4) (y1)0. 7 5 1 5 整理得7xy290. 当堂训练 1A 2.A 3.D 4.22 5.2
