1、1 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向 量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能 根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设e 1 ，e 2 是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 e 1 e 1 ，e 2 e 2 ，e 1 e 2 分别是多少？思考2 取e 1 ，e 2 为坐标平面内的一组基底，设a(a 1 ，a 2 )，b(b 1 ，b 2 )，试将a，b用 e 1 ，e 2 表示，并计
2、算ab.梳理 设a(a 1 ，a 2 )，b(b 1 ，b 2 )，则ab_.即两个向量的数量积等于相应坐 标乘积的和. 知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式 思考 若a(a 1 ，a 2 )，试将向量的模|a|用坐标表示.2梳理 (1)向量的长度公式：设a(a 1 ，a 2 )，则|a| . a2 1a2 2 (2)两点间距离公式：若A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则| |_. AB 知识点三 两个向量夹角余弦的坐标表达式 思考 设a，b都是非零向量，a(a 1 ，a 2 )，b(b 1 ，b 2 )，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？梳理 设a(a 1
3、，a 2 )，b(b 1 ，b 2 )，a与b的夹角为，则 (1)cos . a1b1a2b2 a2 1a2 2 b2 1b2 2 (2)abab0a 1 b 1 a 2 b 2 0. 类型一 平面向量数量积的坐标运算 例1 已知a与b同向，b(1,2)，ab10. (1)求a 的坐标； (2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一 般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况3 下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练1 向量a(1，1)，b(1,2)
4、，则(2ab)a等于( ) A.1 B.0 C.1 D.2 类型二 向量的模、夹角问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16,12)，B(5,15). (1)求| |，| |；(2)求OAB. OA AB 反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a| 求两向量的模. x2y2 (3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值. 跟踪训练2 已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范 围.类型三 向量垂直的坐标形式 例3 (1)已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab与a2b
5、垂直，则实数的值为( ) A. B. C. D. 1 7 1 7 1 6 1 64 (2)在ABC中， (2,3)， (1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值. AB AC 反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关 于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论. 跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)，若( t ) AB OC ，则实数t_. OC 1.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为( ) A. B. 6 4 C. D. 3 2 2.已知向量 ， ，则ABC等于( ) BA ( 1 2
6、 ， 3 2 ) BC ( 3 2 ， 1 2 ) A.30 B.45 C.60 D.120 3.已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知平面向量a，b，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_. 5.已知a(4,3)，b(1,2). (1)求a 与b的夹角的余弦值； (2)若(ab)(2ab)，求实数的值.5 1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握 这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积 的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成
7、为解决距离、角度、垂直等有关问题的有 力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若 a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )，则abx 1 y 2 x 2 y 1 0，abx 1 x 2 y 1 y 2 0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多 陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围” ，稍 不注意就会带来失误与错误.6 答案精析 问题
8、导学 知识点一 思考1 e 1 e 1 11cos 01， e 2 e 2 11cos 01，e 1 e 2 0. 思考2 aa 1 e 1 a 2 e 2 ，bb 1 e 1 b 2 e 2 ， ab(a 1 e 1 a 2 e 2 )(b 1 e 1 b 2 e 2 )a 1 b 1 e (a 1 b 2 a 2 b 1 )e 1 e 2 a 2 b 2 e a 1 b 1 a 2 b 2 . 2 1 2 2 梳理 a 1 b 1 a 2 b 2 知识点二 思考 a(a 1 ，a 2 )， |a| 2 aa(a 1 ，a 2 )(a 1 ，a 2 ) a a ， 2 1 2 2 |a| .
9、 a2 1a2 2 梳理 (2) x2x12y2y12 知识点三 思考 cos . ab |a|b| a1b1a2b2 a2 1a2 2 b2 1b2 2 题型探究 例1 解 (1)设ab(，2)(0)， 则有ab410， 2，a(2,4) (2)bc12210，ab10， a(bc)0a0， (ab)c10(2，1)(20，10) 跟踪训练1 C 例2 解 (1)由 (16,12)， OA (516,1512)(21,3)， AB 得| | 20， OA 162122 | | 15 . AB 21232 2 (2)cos OABcos ， AO AB 7 . AO AB |AO |AB |
10、其中 AO AB OA AB (16,12)(21,3) 16(21)123300， 故cos OAB . 300 20 15 2 2 2 OAB45. 跟踪训练2 (，1)(1,1) 例3 (1)B (2)解 (2,3)， (1，k)， AB AC (1，k3) BC AC AB 若A90， 则 213k0， AB AC k ；若B90， 2 3 则 2(1)3(k3)0， AB BC k ；若C90， 11 3 则 1(1)k(k3)0， AC BC k . 3 13 2 故所求k的值为 或 或 . 2 3 11 3 3 13 2 跟踪训练3 1 当堂训练 1B 2.A 3.B 4. ( 4 5 ， 3 5 ) 5解 (1)ab4(1)322， |a| 5， 4232 |b| ， 1222 5 cosa，b . ab |a|b| 2 5 5 2 5 258 (2)ab(4，32)，2ab(7,8)， 又(ab)(2ab)， (ab)(2ab)7(4)8(32)0， . 52 9
