1、天津一中 2017 届高三年级五月考数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 8 个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集 ，集合 ， ，则 （ ）UR|124xA|20Bx()UABA B C D |12x|0|1|2x2.若 ， 满足条件 则 的最小值为（ ）y,42,xy2zxyA B C D 1123.已知命题 ： ， ；命题 ： ，则 是 的（ ）p6xkZq1sinxpqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A14 B15 C16 D17 5.在等差数列 中， ，设数列 的前
2、 项和为 ，则 （ ）na36954ananS1A18 B99 C198 D297 6.已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，以线段 为直径21xyab0b1(,0)Fc2(,)12F的圆与双曲线在第二象限的交点为 ，若直线 与圆 ： 相切，则双曲线的渐近线P2FE22()16cbxy方程是（ ）A B C D yxyx3yx2yx7.设函数 ，若方程 有 12 个不同的根，则实数 的取值范围321()fx2|()|()|10ftft为（ ）A B C D 0(,)3(,)3425t(,)8.已知圆 为 的内切圆， ， ， ，过圆心 的直线 交圆 于 ，ORtACAB90OlP两点，则
3、 的取值范围是（ ）QPA B C D (7,1)0,17,7,1第卷二、填空题（共 6 个小题，将答案填在答题纸上）9.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10人，已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数为 10.某几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积等于 cm3cm11.在 的展开式中， 的系数是 （结果用数值表示） 7(3)x5x12.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，若 的面积为ABCCabc2osBabABC，则 的最小值为 2Scab13.若不等式 对任意满足 的实数 ，
4、恒成立，则实数 的最大值为 2()xycx0xyxyc14.设抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，设2xpty0FlAlB， 与 相交于点 ，若 ，且 的面积为 ，则 的值为 7(,0)2CpAFBCE|2|CACE32p三、解答题 （本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数 的最小正周期是 ()4cosin()0fxx（）求函数 在区间 的单调递增区间；0,（）求 在 上的最大值和最小值()fx3,816.某校高三年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生，4 名女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的
5、人数X（）请列出 的分布列并求数学期望；（）根据所列的分布列求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率17.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ，PABCDABPCDAB1C2AB， 为 中点2PCDE（）求证： 平面 ；/PCBED（）求二面角 的余弦值；A（）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由MACPMC18.对于数列 ， ， 为数列 的前 项和，且 ， ，nabnSna1()nnSSa1b， 132nb*N（）求数列 ， 的通项公式；n（）令 ，求数列 的前 项和 2()1nacbncnT19.已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦点，点 在椭
6、圆 上，且1(3,0)F2(,)C21(0)xyabPC面积的最大值为 12P（）求椭圆 的方程；C（）若直线 与椭圆 交于 ， 两点， 的面积为 1， （ ， ） ，当点lABOAGsOAtBstR在椭圆 上运动时，试问 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出 的G2st 2t取值范围20.已知函数 ln()xaf（）若 ，证明：函数 是 上的减函数；1a(f0,)（）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；()yfx1,)0xya（）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数） 0lnxe2.718e天津一中 2017 届高三年级五月考数学试卷（理科）答案一、选择题1-5:
7、 6-8: CDBDC二、填空题9.900 10. 11.189 12.12 13. 14. 61.5246三、解答题15.解：（）函数 ()4cosin()6fxx314cos(incos)2xx223sinco13i i(6且 的最小正周期是 ，所以 ，()fx从而 si(2)6x令 ，解得 （ ） ，kk63kxkZ所以函数 在 上的单调递增区间为 和 ()fx(0,)(0,5,)6（）当 时， ，3,832,4x所以 ，72,61x，2sin(),所以当 ，即 时， 取得最小值，261x8x()fx当 ，即 时， 取得最大值 ；3f621所以 在 上的最大值和最小值分别为， .()fx
8、,816.解：（）依题意得，随机变量 服从超几何分布，X随机变量 表示其中男生的人数， 可能取得值为 0,1,2,3,4， ，X4610()kCPX,234. 的分布列为：0 1 2 3 4P2435781（）由分布列可知至少选 3 名男生，即 819(3)()()42XX17.（）证明：设 与 的交点为 ，连接 .ACBDFE因为 为矩形，所以 为 的中点，B在 中，由已知 为 中点，PACEPA所以 ，/F又 平面 ， 平面 ，EBDB所以 平面 ./（）解：取 中点 ，连接 . COP因为 是等腰三角形， 为 的中点，PC所以 ，D又因为平面 平面 ，AB因为 平面 ， ，OP所以 平面
9、 PC取 中点 ，连接 ，ABG由题设知四边形 为矩形，D所以 ，OF所以 P如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，Oxyz(1,0)A(,1)C(0,1)P(,0)D(1,)B， . ， .(0,)(1,0)G(,2)CP设平面 的法向量为 ，则 即PA,nxyz,0n2,0.xyz令 ，则 ， ，所以 .1zy2(,1)平面 的法向量为 ，CD,0OG设 ， 的夹角为 ，所以 .n6cos3由图可知二面角 为锐角，AP所以二面角 的余弦值为 .CB63（）设 是棱 上一点，则存在 使得 M0,1PMC因此点 ， ， (0,1)(,)(,20)A由 ，即 BAC2因为 ，所以在棱
10、上存在点 ，使得 ，10,2PCMBAC此时 PMC18.解：（）由 ，1()nnSSa ， ，12nSa12 ，2，3，41a，12()n以上各式相加可得： ，123(1)()nan ，2()()na ，2 ，即 ，13nb13()nnb ，2数列 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，n ，13b即 nn（）由（）可知 ，2112()()33nnnacb ，12012143nn nTc，343 ，231213n nT132n523n ，154nn数列 的前 项和 c15243nT19.解：（）由题意得 ，c当 为短轴端点时， 面积取得最大值 ，P12PF23bc解得 ， ，1b2ac即
11、有椭圆的方程为 214xy（）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，lkm24xy可得 ，22(1)80kx设 ， ，,Ay2(,)B即有 ， ，1224kmx214xk22|sin|()OABSAOBOAB22112()()()xyxy121|xy，1221| |kmk12(|m226416|()4kmk 化简可得 4设 ，由 ，可得 ， (,)GxyOsAtB12xst12yst又因为点 在椭圆 上，所以有 ，C21()4()4t整理可得： ，2221 122(4)(4)(4)sxytxystxy即为 2124)t由 ， ，12xm1kx可得 2()yk22114()xkmx，22 244
12、可得 ，即有 为定值10xy2st20.解：（）当 时，函数 的定义域是 ，所以 ，1a()fx(1,0),)2ln(1)()xf令 ，只需证： 时， ()ln()xg0gx又 ，22(1)(1)x故 在 上为减函数，)gx0,所以 ，()ln0所以 ，函数 是 上的减函数fx()fx,)（）由题意知， ，且 ，1()|xf 2ln()()xaf所以 ，即有 ，(1)lnfal(1)0a令 ， ，()at 则 ，2()01t故 是 上的增函数，又 ，因此 是 的唯一零点，ta,)()t0()ta即方程 有唯一实根 ，所以 ln(01a（）因为 ，1xxeln(1)x故原不等式等价于 ，l()l()xe由（）知，当 时， 是 上的减函数，1aln(1)xf(0,)故要证原不等式成立，只需证明：当 时， ，xe令 ，则 ， 在 上的增函数，()xhe()1xhe()h,)所以 ，即 ，故 ，(0)1xfe即 ln1l)1xxxee
