1、天津市南开中学 2017 届高三第五次月考数学试卷（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|30Ax，集合 2|4BxZ，则 RAB（ ）A |03x B ,1 C 10,3， D 1,22.设变量 ,y满足约束条件236,90xy则目标函数 2zxy的最大值是（ ）A-2 B2 C-6 D63.执行如图所示的程序框图，若输入的 a值为 1，则输出的 k值为（ ）A1 B2 C3 D4 4.在63x的二项展开式中， 3x项的系数为（ ）A540 B-540 C.20 D-2
2、05.已知 ,mn是两条互相垂直的直线， 是平面，则 n/是 m的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C.充要 D既不充分也不必要6. 已知双曲线 210xyabb， ,AB为双曲线的左右顶点，若点 M在双曲线上，且满足M为一个顶角为 的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A =yx B =2yx C. =2yx D 2=yx7.设实数 ,abc分别满足 3,a21logb， 5log,c则 ,abc的大小关系为（ ）A B c C. b D 8.若函数 |1()2xf与 3gkx的图象恰有两个公共点，则实数 k的取值范围是（ ）A ,4 B 0, C. 1,0,4 D. 1,04二、填
3、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）9.设 i为序数单位，则 21i 10.已知抛物线的参数方程为2xpty（ 为参数） ，其中 0p，焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点M作 l的垂线，垂足为 E，若 FM，点 横坐标为 6，则 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 12.设 nS是公差不为 0 的等差数列 na的前 项和，且 124,S成等比数列，则 21a 13.函数 321fxx在点(1，2)处的切线与函数 gx围成的图形的面积等于 14.已知 O是 ABC外接圆的圆心，若 4560OABC，则 cos 三、解答题 （本大题共
4、6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数 23sinfxcoxsmR的图象过点 ,0.12M（1）求 m的值；（）在 ABC中，角 ,的对边分别是 ,.abc若 oscos,BbCaB求 fA的取值范围.16、PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区 2016 年全年每天的 PM2.5 监
5、测数据中，随机抽取 15 天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这 15 天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（）从这 15 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示其中空气质量达到一级的天数，求 的分布列；（）以这 15 的 PM2.5 的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按 360 天来计算） ，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.17. 如图，直三棱柱 1ABC中， ,ABC1,2AD是棱 1A上的点，1.DC（）求证： D为 1A中点；（）求直线 BC与平面 所成角正弦值大小；（）在 边界及内部是否存在点 M使得 1B面 ,DC存在，说明 M
6、位置，不存在，说明理由18. 椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 12,F，点 ,Pab满足 21|F.（）求椭圆的离心率 e；（）设直线 2PF与椭圆相交于 A、 B两点，若直线 2PF与圆 221316xy相交于 M、 N两点，且 5|8MNB，求椭圆的方程.19. 记 1,0U ，对数列 *naN和 U的子集 T,若 ，定义 0TS，若2kTtt定义 12kTtttS 例如： 13.6时， 136ra.现设naN是公比为 3 的等比数列，且当 2,4T时 0TS.（）求数列 n的通项公式；（）对任意正整数 10,k若 1,k 求证： 1Tka；（）对任意正整数 ,若 ,2T ，记数列
7、 TS的前 项和为 H，求证： 3220. 已知函数 32,fxblngxa.（）若 在 1,)上的最大值为 3,8求实数 b的值；（）若对任意 xe，都有 2xx恒成立，求实数 a的取值范围；（）在（）的条件下，设,1fFg，对任意给定的正实数 ，曲线 yFx上是否存在两点 ,PQ使得 O是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y轴上？请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: BDBBD 6-8: ACC 二、填空题9. 152i 10. 4 11. 1 12. 3 13. 4 14. 74 三、解答题15.（）由 311sin2cos2sin262fxxxmx因为
8、点 ,012M在函数 f的图象上，所以 i 0,1m.（）因为 cos2cos,BbCaB所以 siniinA所以 s,即 sicos又因为 0,A所以 i0所以 12B又因为 B所以 ,3AC所以 70,2366A；260,3fA（， 2,3f， 110,232fff所以 12,6sinfA（ 的取值范围是 ,（16.（）设 B这天空气质量为 1 级， 513PB153NMn， ， 的可能值为 0，1，2，3，其分布列为： 5103,.kCP0 1 2 32491459091291（）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 53P，一年中空气质量达到一级的天数为 ,则 1360,B，
9、 602E（天）所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级.17.（1）.根据题意以 1,AC所在直线为 ,xyz轴1,0,20,2DhB1CDh1201hhD为 1A中点.（2）. (,)BC设面 D法向量 11,)nxyz1100n，设 11(,0)n12cos,5BC所求角正弦值为 5（3）设 (,0)1,1Mxyyx111(,2) (,0)BBDCM2101xxyy不存在18.解：（1）设 1(,0)Fc、 2(,)0,c因为 21PF，2(),1acba，得 a（舍） ，或 ,2ca所以 1.e（2）由（1）知 ,3c，椭圆方程 2341,xyPF的方程为3()yx.,AB两点的
10、坐标满足方程组22413()xyc，消去 y并整理，得 2580.xc解得 1280,.5xc得方程组的解 10xyc，2835xcy.不妨设 83(,),(03)5AcBc，则 22816()5ABcc.于是 2MN.圆心 (1,3)到直线 2PF的距离3322cd.因为 2()4d，所以 ()16c，整理得 27150.c得 267c（舍） ，或 2.c所以椭圆方程为21.xy19.（1）由已知得 *13,nnaN，于是当 2,4T时， 2411730.TSaa又 30S故 1，即 1.所以数列 n的通项公式为 1*3,nN.（2）因为 *,30,nkN ，所以 112 (3)2kkkTk
11、a .因此， kS .（3） 1312kTa 1()33kkTS1123()()3kkk1( )2862kkH法二：111303()3()kkkk1 122kT kkTSaS 1()32kH20.（1）由 3fxb，得 2()3()fxx.令 ()0f，得 或 .函数 ,fx在 1,2上的变化情况如下表： ,00 20,3213，fx- 0 0 -12f单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减3412,873fbfbff.即最大值为 13,028fb.（2）由 ()(),gxax得 2(ln)ax.1,e， ln，且等号不能同时取得， lnx，即 ln0x.2lxa恒成立，即2minlxa
12、.令 2(),1lntex，则 2(1)l)xt，当 1,e时， 0,l,2ln0x，从而 ()0tx.()tx在区间 ,上为增函数， ()1,mitta.（3）由条件 (),1fxFg .假设曲线 ()y上存在两点 ,PQ满足题意，则 ,P只能在 y轴的两侧，不妨设 (,)0PtFt，则32(,0Qtt.PO是以 （ 是坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 0OQ.232(),tFt是否存在 ,PQ等价于该方程 0t且 1是否有根.当 01时，方程可化为 232()(tt，化简得 42t，此时方程无解；当 t时，方程为 2ln0ta，即 1)lnta.设 ()l()h， (l(htt，显然，当 t1时， ，即 )在区间 1,)上是增函数， ()ht的值域是(),，即 (0).当 a时方程总有解，即对于任意正实数 a，曲线 ()yFx上总存在两点 ,PQ使得 O是以 （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y轴上.
