1、1 2.2.1 平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当 一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面 向量的综合问题. 知识点一 平面向量基本定理 思考1 如果e 1 ，e 2 是两个不共线的确定向量，那么与e 1 ，e 2 在同一平面内的任一向量a能 否用e 1 ，e 2 表示？依据是什么？思考2 如果e 1 ，e 2 是共线向量，那么向量a能否用e 1 ，e 2 表示？为什么？思考3 若存在 1 ， 2 R， 1 ， 2 R，且a 1 e 1 2 e 2 ，a 1 e 1 2 e 2 ，那
2、么 1 ， 1 ， 2 ， 2 有何关系？梳理 (1)平面向量基本定理 如果e 1 ，e 2 是同一平面内的两个_向量，那么该平面内的_向量a，存在唯一 的一对实数a 1 ，a 2 ，使a_. (2)基底 把_向量e 1 ，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e 1 ，e 2 .a 1 e 1 a 2 e 2 叫做向量a关于基底e 1 ，e 2 的分解式. 知识点二 直线的向量参数方程式2 思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理 (1)直线的向量参数方程式 已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上_一点P，存 在唯
3、一的实数t满足向量等式 _，反之，对每一个实数t，在直线l上都有 OP _的一个点P与之对应.向量等式 _叫做直线l的向量参数方程式，其中 OP 实数t叫做参变数，简称_. (2)线段中点的向量表达式 在向量等式 (1t) t 中，若t ，则点P是AB的中点，且 _，这是 OP OA OB 1 2 OP 线段AB 的中点的向量表达式. 类型一 对基底概念的理解 例1 如果e 1 ，e 2 是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) e 1 e 2 (，R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae 1 e 2 的实数对(，)有无穷多个； 若向量 1 e 1 1 e
4、2 与 2 e 1 2 e 2 共线，则有且只有一个实数，使得 1 e 1 1 e 2 ( 2 e 1 2 e 2 )； 若存在实数，使得e 1 e 2 0，则0. A. B. C. D. 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个 平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.3 跟踪训练1 若e 1 ，e 2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1 e 2 ，e 2 e 1B.2e 1 e 2 ，e 1 e 2 1 2 C.2e 2 3e 1, 6e 1 4e 2D.e 1 e 2 ，
5、e 1 e 2 类型二 平面向量基本定理的应用 例2 如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若 a， b，试以 AB AD a，b为基底表示 ， . DE BF 引申探究 若本例中其他条件不变，设 a， b，试以a，b为基底表示 ， . DE BF AB AD 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性 运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基 底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练2 如图所示，在AOB中， a， b，M，N分别是边OA，OB上的点，且 OA OB a， b，设 与 相交于点P，用基
6、底a，b表示 . OM 1 3 ON 1 2 AN BM OP 4 1.下列关于基底的说法正确的是( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A. B. C. D. 2.如图，已知A a， b， 3 ，用a，b表示 ，则 等于( ) B AC BD DC AD AD A.a b 3 4 B. a b 1 4 3 4 C. a b 1 4 1 4 D. a b 3 4 1 4 3.已知向量e 1 ，e 2 不共线，实数x，y满足(2x3y)e 1 (3x4y)e 2 6e 1 3e
7、2 ，则 x_，y_. 4.如图所示，在正方形ABCD中，设 a， b， c，则当以a，b为基底时， 可表 AB AD BD AC 示为_，当以a，c为基底时， 可表示为_. AC 5.已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设 a， b，试用a、b为基底表示 ， ， . AD AB DC BC EF 5 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向 量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理
8、(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选 择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.6 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 能依据是数乘向量和平行四边形法则 思考2 不一定，当a与e 1 共线时可以表示，否则不能表示 思考3 由已知得 1 e 1 2 e 2 1 e 1 2 e 2 ，即( 1 1 )e 1 ( 2 2 )e 2 . e 1 与e 2 不共线， 1 1 0， 2 2 0， 1 1 ， 2 2
9、. 梳理 (1)不平行 任一 a 1 e 1 a 2 e 2(2)不共线 知识点二 思考1 若P在直线AB上(或P、A、B共线)，则一定存在实数t，使得 (1t) t . OP OA OB 思考2 利用直线的向量参数方程可证明三点共线 梳理 (1)任意 (1t) t OA OB 唯一 (1t) t 参数 OA OB (2) ( ) 1 2 OA OB 题型探究 例1 B 跟踪训练1 D 例2 解 四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， 2 ， 2 ， AD BC BE BA CD CF b， BE 1 2 AD 1 2 a. CF 1 2 BA 1 2 AB 1 2 b
10、a ba b， DE DA AB BE AD AB BE 1 2 1 2 b a. BF BC CF AD CF 1 2 引申探究 解 取CF的中点G，连接EG.7 E，G分别为BC，CF的中点， b， a b. EG 1 2 BF 1 2 DG DE EG 1 2 又 ， DG 3 4 DC 3 4 AB (a b) AB 4 3 DG 4 3 1 2 a b. 4 3 2 3 又 AD BC BF FC ， BF 1 2 DC BF 1 2 AB b ( a b) AD BC 1 2 4 3 2 3 a b. 2 3 4 3 跟踪训练2 a b. OP 1 5 2 5 当堂训练 1C 2.B 3.15 12 4.ab 2ac 5解 连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC綊FB， 四边形DCBF为平行四边形 依题意， DC FB b， 1 2 AB 1 2 BC FD AD AF a b， AD 1 2 AB 1 28 EF DF DE FD DE BC 1 2 DC b ba. ( a 1 2 b ) 1 2 1 2 1 4
