1、1 32 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式 对应学生用书P43 读教材填要点 贝努利(Bernoulli)不等式 设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x) n 1nx. 小问题大思维 在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？ 提示：可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实上：当把正整数n改成实 数后，将有以下几种情况出现： (1)当是实数，并且满足1或者1) (2)当是实数，并且满足01) 对应学生用书P43 利用数学归纳法证明不等式 例1 求证： 1(n2，nN ) 1 n 1 n1 1 n2 1 n2 思路点拨 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为 n
2、2，nN ，因此应验证n 0 2时不等式成立 精解详析 (1)当n2时，左边 1. 1 2 1 3 1 4 13 12 n2时不等式成立 (2)假设nk(k2，且kN)时，不等式成立，即 1，那么nk1时， 1 k 1 k1 1 k2 1 k2 1 k1 1 k11 1 k121 1 k12 2 2 1 1 1 2 k k k k 2 项 1 k1 1 k2 1 k2 1 k122 1 ( 1 k 1 k1 1 k2 1 k2 ) 1 k21 1 k22k 1 k12 1 k 2k1 k12 1 k 1 ， k2k1 kk12 k2， 2 . ( k 1 2 ) 9 4 k 2 k1 2 10
3、. ( k 1 2 ) 5 4 0. k2k1 kk12 1. 1 k1 1 k11 1 k12 当nk1时，不等式也成立 由(1)、(2)可知，对一切的n2，且nN ，此不等式都成立 利用数学归纳法证明不等式的关键是由nk到nk1的变形，为满足题目的要求， 往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“ ， 1 k21 1 k12 1 k22k ”的放缩变形 1 k12 1证明不等式： 1 Q n . 若x0，则P n Q n . 若x(1,0)， 则P 3 Q 3 x 3对一切正整数n都成立，求正整 1 n1 1 n2 1 n3 1 3n1 a 24 数a的最大值，并证明你的结论 思路点拨
4、 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法解答本题需要 根据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明 精解详析 当n1时， ， 1 11 1 12 1 3 11 a 24 即 ， 26 24 a 24 a . 1 n1 1 n2 1 3n1 25 24 (1)n1时，已证 (2)假设当nk(k1，kN )时， ， 1 k1 1 k2 1 3k1 25 24 则当nk1时，有 1 k11 1 k12 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 3k11 ( 1 k1 1 k2 1 3k1 ) ( 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k1 ) . 25 24 1 3k2 1
5、 3k4 2 3k1 ， 1 3k2 1 3k4 6k1 9k218k8 2 3k1 0， 1 3k2 1 3k4 2 3k1 也成立 1 k11 1 k12 1 3k11 25 24 由(1)、(2)可知，对一切nN ，都有 ，a的最大值为 1 n1 1 n2 1 3n1 25 24 25. 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后 用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型 或探索型问题时 3对于一切正整数n，先猜出使t n n 2 成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证 明，并再证明不等式：n(n1) lg(123n
6、) lg 3 4 解：猜想当t3时，对一切正整数n使3 n n 2 成立下面用数学归纳法进行证明 当n1时，3 1 311 2 ，命题成立 假设nk(k1，kN )时，3 k k 2 成立， 则有3 k k 2 1.6 对nk1,3 k1 33 k 3 k 23 k k 2 2(k 2 1)3k 2 1. (3k 2 1)(k1) 2 2k 2 2k2k(k1)0， 3 k1 (k1) 2 ，对nk1，命题成立 由上知，当t3时，对一切nN ，命题都成立 再用数学归纳法证明： n(n1) lg(123n) lg 3 4 当n1时，1(11) 0lg 1，命题成立 lg 3 4 lg 3 2 假
7、设nk(k1，kN )时， k(k1) lg(123k)成立 lg 3 4 当nk1时，(k1)(k2) lg 3 4 k(k1) 2(k1) lg 3 4 lg 3 4 lg(123k) lg 3 k1 1 2 lg(123k) lg(k1) 2 1 2 lg123k(k1)命题成立 由上可知，对一切正整数n，命题成立 对应学生用书 P45 一、选择题 1对于一切正整数n，下列说法不正确的是( ) A3 n 12n B0.9 n 10.1n C0.9 n 1)，7 当x2时，(12) n 12n，故A正确 当x0.1时，(10.1) n 10.1n，B正确，C不正确 当x0.9时，(10.9
8、) n 10.9n，D正确 答案：C 2在用数学归纳法证明f(n) 1)，当n2时，要证明的式子为_ n2 2 1 2 1 3 1 2n 解析：当n2时，要证明的式子为 2a n1 ，则a 0 的 取值范围是_9 解析：取n1,2，则a 1 a 0 13a 0 0，a 2 a 1 6a 0 0，0n 2 成立，所以归纳猜想2 n 2n 2 成立 下面用数学归纳法证明： 当n1时，左边2 1 24；右边1，左边右边，所以原不等式成立； 当n2时，左边2 2 26，右边2 2 4，所以左边右边； 当n3时，左边2 3 210，右边3 2 9，所以左边右边 假设nk时(k3且kN )时，不等式成立，
9、 即2 k 2k 2 . 那么nk1时 2 k1 222 k 22(2 k 2)22k 2 2 又因：2k 2 2(k1) 2 k 2 2k3(k3)(k1)0， 即2 k1 2(k1) 2 成立 根据和可知，2 n 2n 2 对于任何nN 都成立 11已知等比数列a n 的首项a 1 2，公比q3，S n 是它的前n项和求证： Sn1 Sn10 . 3n1 n 证明：由已知，得S n 3 n 1， 等价于 ， Sn1 Sn 3n1 n 3n11 3n1 3n1 n 即3 n 2n1.(*) 法一：用数学归纳法证明上面不等式成立 当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立 假设当nk时，(*)成立，即3 k 2k1， 那么当nk1时，3 k1 33 k 3(2k1)6k32k32(k1)1， 所以当nk1时，(*)成立 综合，得3 n 2n1成立 所以 . Sn1 Sn 3n1 n 法二：当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立 当n2时，3 n (12) n C C 2C 2 2 C 2 n 12n12n，所以 0 n 1 n 2 n n n (*)成立 所以 . Sn1 Sn 3n1 n
