1、2017 届四川省成都外国语学校高三下学期入学考试试卷 数学（理）本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分注意事项：1答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。第 I 卷一、选择题1已知（1+i）z=i，那么复数 对应的点位于
2、复平面内的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2、 Aax1,0若已 知 集 合 ，则实数 a 取值范围为（ ）A ),( B -1,1 C ),1,( D (-1,1 3、抛物线 的准线方程是 ( )A 21-xB 21 -yC 8-yD 81 -x4、若,使得 - 0x成立是假命题，则实数 的取值范围是( )A 2,( B 3,2( C 29,D 35已知角 终边与单位圆 x2+y2=1 的交点为 ，则 =（ ）A B C D16执行如图的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）A1 B2 C3 D47张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今 一月日织
3、九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比 前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为 an，则 a14+a15+a16+a17的值为（ ）A55 B52 C39 D268ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB=1，向量 =（a，b）， =（1，2），若 ，则角 A 的大小为（ ）A B C D9若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为 （ ）A 13B 43C 6 D 21310等腰直角三角形 AB
4、C 中，C=90，AC=BC=1，点 M，N 分别是 AB，BC 中点，点 P 是ABC（含边界）内任意一点，则 的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D ， 11 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 BC，CC 1的中 点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是（ ）A1， B ， C ， D ， 12设函数 )x(f是函数 f（x）（xR）的导函数，f（0）=1，且 3f（x）= )(f3，则 4f（x）)(f的解集为（ ）A（ ，+） B（ ，+） C（ ，+） D（ ，+）第卷二、填空题
5、.13、已知 = ,则 _14已知直线 L 经过点 P（4，3），且被圆（x+1） 2+（y+2） 2=25 截得的弦长为 8，则直线 L 的方程是 15 若直线 ax+by1=0（a0，b0）过曲线 y=1+sinx（0x2）的对称中心，则 + 的最小值为 16定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间a，b上存在 x0（ax 0b），满足，则称函数 y=f（x）是a，b上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点如y=x2是1，1上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f（x）=x 3+mx 是区间1，1上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是 三、解答题 17（12 分）在ABC
6、中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c， ，BAC=，a=4（）求 bc 的最大值及 的取值范围；（）求函数 的最值18（12 分）如图，在 RtAOB 中， ，斜边 AB=4，D 是 AB 中点，现将 RtAOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上一点，且BOC=90，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线 CD 与平面 BOC 所成的角的正弦值； 19.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定： A、 B、 C 三级为合格等级， D 为
7、不合格等级.百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示， 样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示.(1)求 n 和频率分布直方图中 x， y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人， 求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； (3)在选取的样本中， 从
8、 A、 C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研， 记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数， 求随机变量 的分布列及均值.20（12 分）如图，椭圆 x2+ =1 的左、右顶点分别为 A、B，双曲线 以 A、B 为顶点，焦距为 2 ，点 P 是 上在第一象限内的动点，直线 AP 与椭圆相交于 另一点Q，线段 AQ 的中点为 M，记直线 AP 的斜率为 k，O 为坐标原点（1）求双曲线 的方程；（2）求点 M 的纵坐标 yM的取值范围；（3）是否存在定直线 l，使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称？ 若存在，求直线 l 方程，若不存在，请说明理由21（12 分
9、）已知函数 f（x）=lnx+ （1）当 a=2 时，证明对任意的 x（1，+），f（x）1；（2）求证：ln（n+1） （nN *）（3）若函数 f（x）有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围四、选做题（10 分）请考生从给出的 2 道题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 是参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = （1）求曲线 C1的
10、普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）求曲线 C1上的任意一点 P 到曲线 C2的最小距离，并求出此时点 P 的坐标23（10 分）已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）若不等式 f（x）6 的解集为2，3，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数 n，使得 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范围2014 级高三 理科数学参考答案一. 选择题 BBCAA BBAAA BB二填空题 13、1 14、x= 4 和 4x+3y+25=0 15、3+2 16、3m 三、解答题 17、解：（）因为 =bccos=8，根据余弦定理得：b 2+c22bccos=4 2，即 b2+c
11、2=32，（2 分）又 b2+c22bc，所以 bc16，即 bc 的最大值为 16，即 ，所以 ，又 0，所以 0 ；（）= ，（9分）因 0 ，所以 ， ，（10 分）当 即 时， ，（11 分）当 即 时， f（） max=21+1=3（ 12 分）18 解：（1）在 RtAOB 中， ，斜边 AB=4，D 是 AB 中点，将 RtAOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上一点，且BOC=90，圆锥的侧面积 S 侧 =rl=24=8（2）取 OB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DEAO，DE平面 BOC，DCE 是直线 CD 与平面 BOC 所成的角，
12、在 RtDEC 中，CE= ，DE= ，tan = ， 直线 CD 与平面 BOC 所成角的大小为 arctan 19.解 (1) n 50， x 0.004，60.01210 25010y 0.018.1 0.04 0.1 0.12 0.5610(2)成绩是合格等级人数为(10.1)5045， 抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 ，故从该校学生中任910选 1 人， 成绩是合格等级的概率为 ，设在该校高一学生中任选 3 人， 至少有 1 人成绩是合格等级的事件为910A，则 P(A)1C (1 )3 .03910 9991 000(3) 由题意可知 C 等级的学生人数为 0.18509
13、， A 等级的学生人数为 3， 故 的取值为 0，1，2，3，则P( 0) ， P( 1) ， P( 2) ， P( 3) ，C3C312 1220 C19C23C312 27220 C29C13C312 108220 2755 C39C312 84220 2155所以 的分布列为 0 1 2 3P 1220 27220 2755 2155E( )0 1 2 3 .1220 27220 2755 2155 9420解：（1）由题意，a=1，c= ，b=2，双曲线 的方程 =1；（2）由题意，设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），直线 AP 的方程 y=k（x+1）（0k2），代入椭圆
14、方程，整理得（4+k 2）x 2+2k2x+k24=0x=1 或 x2= ，Q（ ， ），M（ ， ）y M= = 在（0，2）上单调递增，y M（0，1）（3）由题意，k APkBP= =4，同理 kAPkOM=4，k OM+kBP=0，设直线 OM：y=kx，则直线 BP：y=k（x1），解得 x= ，k OM+kBP=0，直线 BP 与 OM 关于直线 x= 对称21 （1）证明：当 a=2 时，f（x）=lnx+ ，令 h（x）=lnx+ 1，则 0h（x）在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）=0，对任意的 x（1，+），f（x）1；（2）证明：由（1）知 x（1，+），lnx+
15、1，即 lnx ，令 x= ，则 ， ，ln（n+1）= ；（3）解：f（x）= 令 f（x）=0，则 x2（a2）x+1=0，=（a2） 24=a（a4）0a4 时，f（x）0，函数在（0，+）上递增，函数只有一个零点；a0 时，f（x）0，函数在（0，+）上递增，函数只有一个零点；当 a4 时，0，设 f（x）=0 的两根分别为 x1与 x2，则 x1+x2=a20，x 1x2=10，不妨设 0x 11x 2当 x（0，x 1）及 x（x 2，+）时，f（x）0，当 x（x 1，x 2）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，x 1），（x 2，+）上递增，在（x 1，x 2）上递减，而x（
16、x 1，+）时，f（x）0，且 f（x 1）0因此函数 f（x）在（0，x 1）有一个零点，而在（x 1，+）上无零点；此时函数 f（x）只有一个零点；综上，函数 f（x）只有一个零点时，实数 a 的取值范围为 R（14 分）22 解：（1）曲线 C1的参数方程为 （ 是参数），x=2cos 2=1+cos2，（x1）2+y2=1曲线 C2的极坐标方程为 = ，化为 sincos=1，yx=1，即 xy+1=0（2）设与曲线 C2平行且与曲线 C1的直线方程为 y=x+t，代入圆的方程可得：2x 2+2（t1）x+t 2=0，=4（t1） 28t 2=0，化为 t2+2t1=0，解得 取 t= 1，直线 y=x+1 与切线 的距离 d= = 1，即为曲线 C1上的任意一点 P到曲线 C2的最小距离此时 2x2+2（t1）x+t 2=0，化为 =0，解得 x= = ，y= ，P23 解：（1）原不等式可化为|2xa|6a， ，解得 a3x3再根据不等式 f（x）6 的解集为2，3，可得 a3=2，a=1（2）f（x）=|2x1|+1，f（n）mf（n），|2n1|+1m（|2n1|+1），|2n1|+|2n+1|+2m，y=|2n1|+|2n+1|+2= ，y min=4，由存在实数 n，使得 f（n）mf（n）成立，m4，即 m 的范围是4，+）
