1、1 3.5 对数函数 第1课时 对数函数的概念 对数函数ylog2x的图像和性质 核心必知 1对数函数的概念 (1)对数函数的定义: 一般地,函数ylog a x(a0,a1)叫作对数函数,a叫作对数函数的底数 (2)两种特殊的对数函数: 我们称以10为底的对数函数ylg_x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数 yln_x 为自然对数函数 2反函数 指数函数ya x 与对数函数ylog a x(a0且a1)互为反函数 3函数ylog 2 x的图像和性质 图像 (1)定义域:(0,) (2)值域:R (3)过点(1,0),即x1,y0 (4)当x1时,y0;当00),ylog x(x0),
2、 1 2 y2log 2 x,ylog x 2 都是对数函数吗?为 1 2 什么? 提示:根据对数函数的定义,只有严格 符合ylog a x(a0,a1,x0)形式的函 数才是对数函数因此ylog 3 x(x0), ylog x(x0)是对数函数,而 1 2 y2log 2 x,ylog x 2 等都不是对数函数 1 2 2函数ylog a x 2 与y2log a x(a0 且a1)是同一个函数吗?为什么? 提示:不是,因为定义域不同2 3对数函数ylog 2 x与指数函数 y2 x 有何关系? 提示:(1)对数函数ylog 2 x与指数函 数y2 x 互为反函数,其图像关于直线 yx对称;
3、 (2)对数函数ylog 2 x与指数函数 y2 x 的定义域与值域互换,即ylog 2 x的 定义域(0,)是y2 x 的值域,而 ylog 2 x的值域R恰好是y2 x 的定义域 (3)对数函数ylog 2 x与指数函数 y2 x 的单调性一致,即都是增函数 讲一讲 1求下列函数的定义域 (1)y ;(2)ylg(x1) log2(1x) log (x1) (164 x ) 尝试解答 (1)要使函数有意义, 需有Error!即Error! 解得0x0.同 时应保证底数大于0且不等于1.对于含有 字母的函数求定义域时应注意分类讨论,切 记不能将结果写成交或并的形式 练一练 1求下列函数的定义
4、域 (1)y ; 1log2x (2)ylg(x1) . 1 log2(x)1 解:(1)要使函数有意义,需有Error! 即00时,方程有 两解 1下列函数是对数函数的是( ) Aylog a (2x) Bylg(10 x ) Cylog a (x 2 x) Dyln x 解析:选D 形如ylog a x(a0且 a1)的函数为对数函数,所以只有yln x符合此形式 2函数ylog 2 x(1x8)的值域是( ) AR B0,) C(,3 D0,3 解析:选D ylog 2 x在1,8上为 增函数, log 2 1ylog 2 8,即y0,3 3图中所示图像对应的函数可能是( ) Ay2 x
5、By2 x 的反函数 Cy2 xDy2 x 的反函数 解析:选D 由y x 的图像以及与其 ( 1 2 ) 反函数间的关系知,图中的图像对应的函数5 应为y 的图像 4若函数f(x)a x (a0,且a1)的 反函数图像过点(2,1),则a的值是 _ 解析:依题意,f(x)的图像过点 (1,2),a 1 2,即a . 1 2 答案: 1 2 5函数ylog 2 (3 1)的定义域 x1 为_,值域为_ 解析:由已知得x10,得x1,故 定义域为1,) 又 0得3 3 0 1,3 x1 x1 12. x1 ylog 2 (3 1)log 2 21.值 x1 域为1,) 答案:1,) 1,) 6已
6、知对数函数f(x)log 2 (x3)1. (1)求此对数函数的定义域; (2)若f(a)f(1),求a的取值范围 解:(1)由题意知x30,即 x3, 函数的定义域为(3,) (2)f(a)log 2 (a3)1,f(1) log 2 (13)11, f(x)为增函数, Error!,即Error! a1.即a的取值范围是(1,) 一、选择题 1(重庆高考)函数y 的定 lg(x1) x1 义域是( ) A(1,) B1,) C(1,1)(1,) D1,1)(1,) 解析:选C 由题意得Error! Error!故选C. 2函数ylog 2 |x|的图像大致是( ) 解析:选A ylog 2
7、 |x|Error!分别 作图知A正确 3已知函数ylog 2 x,其反函数 yg(x),则g(x1)的图像是( ) 解析:选C 由已知g(x) 2 x ,g(x1)2 x1 ,故选C. 4设f(x)是奇函数,当x0时,f(x) log 2 x,则当x0,f(x)log 2 (x) 又f(x)是奇函数,f(x)f(x), f(x)log 2 (x) 二、填空题 5集合Ay|ylog 2 x,x1, Byy x ,x1,则( R A)B_. ( 1 2 ) 解析: x1,log 2 xlog 2 10,Ay|y06 而当x1时,0 x 1 ,By0y ( 1 2 ) ( 1 2 ) . 1 2
8、( R A)By|y0 . y0y 1 2 答案: 6若函数yf(x)是函数 ya x (a0,且a1)的反函数,其图像经 过点( ,a),则f(x)_. a 解析:yf(x)的图像过点( ,a), a 其反函数ya x 的图像过点(a, ), a a a ,a , a 1 2 f(x) . 答案: 7若log 2 alog 2 b0,则a,b,1的 大小关系是_ 解析: log 2 alog 2 b0log 2 alog 2 blog 2 1, ylog 2 x在(0,)上是增函数, ab1. 答案:ab1 8函数f(x)log 2 x在区间a,2a (a0)上的最大值与最小值之差为 _ 解
9、析:f(x)log 2 x在区间a,2a上 是增函数, f(x) max f(x) min f(2a)f(a) log 2 2alog 2 alog 2 21. 答案:1 三、解答题 9求下列函数的定义域 (1)ylg(x1) ; 2x 2x (2)ylog (x2) (5x) 解:(1)要使函数有意义,需Error!即 Error! 函数的定义域为(1,2) (2)要使函数有意义需Error!即Error! 定义域为(2,3)(3,5) 10已知函数f(x)log 2 (x1),g(x) log 2 (1x) (1)若函数f(x)的定义域为3,63,求 函数f(x)的最值; (2)求使f(x
10、)g(x)0的x的取值范 围; (3)判断函数F(x)f(x)g(x)的奇偶 性 解:(1)由题意知, 3x63,4x164, 函数ylog 2 x是增函数, log 2 4log 2 (x1) log 2 64,2f(x)6, f(x)的最大值为6,最小值为2. (2)f(x)g(x)0f(x)g(x), 即log 2 (x1)log 2 (1x), 则Error!得:0x1,x的取值范围 为(0,1) (3)要使函数F(x)f(x)g(x)有意义, 需Error! 即1x1,定义域为(1,1) 又F(x)f(x)g(x) log 2 (1x)log 2 (1x) log 2 (1x 2 )
11、f(x)g(x)F(x), F(x)为偶函数7 第2课时 对数函数的图像和性质 核心必知 对数函数的图像和性质 底数 a1 0a1 图 像 定义域 (0,) 值域 (,) 过定点 恒过点(1,0),即x1时,y0 有界性 当 x1时,y0; 当 0x1时,y0 性 质 单调性 在定义域内是增函数 在定义域内是减函数 问题思考对数函数ylog a x(a0,a1)的底 数变化对图像位置有何影响? 提示:在同一坐标系中作出对数函数 ylog 2 x,ylog 5 x,ylog x,ylog x 1 2 1 5 的图像如图所示: 观察这些图像,可得如下规律: (1)上下比较:在直线x1的右侧, a1
12、时,a越大,图像越靠近x轴, 0a1时,a越小,图像越靠近x轴 (2)左右比较(比较图像与y1的交点): 交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数 越大8 讲一讲 1比较大小 (1)log 2 3.4,log 2 8.5; (2)log 0.3 1.8,log 0.3 2.7; (3)log 6 7,log 7 6; (4)log 3 ,log 2 0.8; (5)log 7 12,log 8 12. 尝试解答 (1)考察对数函数 ylog 2 x, 21, 它在(0,)上是增函数 log 2 3.4log 2 8.5. (2)考察对数函数ylog 0.3 x, 00.31, 它在(0,)上是减
13、函数, log 0.3 1.8log 0.3 2.7. (3) log 6 7log 6 61,log 7 6log 7 71, log 6 7log 7 6. (4) log 3 log 3 10,log 2 0.8log 2 10, log 3 log 2 0.8. (5)法一:在同一坐标系中作出函数 ylog 7 x与ylog 8 x的图像,由底数变化 对图像位置的影响知: log 712log 812. 法二: log 7 81. log7 12 log8 12 lg 12 lg 7 lg 12 lg 8 lg 8 lg 7 log 8 120, log 7 12log 8 12. 比
14、较对数值大小的类型及相应方法: 注意 当底数为字母时要分类讨论 练一练 1比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3,ln 2; (2)log 2 3,log 0.3 2; (3)log a ,log a 3.141; 解:(1)(单调性法)因为yln x在9 (0, )上是增函数,所以ln 0.3ln 2. (2)(中间量法)因为 log 2 3log 2 10,log 0.3 20, 所以log 2 3log 0.3 2. (3)(分类讨论)当a1时,函数 ylog a x在定义域上是增函数,则有 log a log a 3.141; 当0a1时,函数ylog a x在定义 域上是减函
15、数,则有log a log a 3.141. 综上所得,当a1时, log a log a 3.141; 当0a1时,log a log a 3.141. (4)(图像法)借助ylog x及 1 4 ylog x的图像,如图,在(1,)上, 1 5 ylog x的图像在ylog x图像的下方, 1 4 1 5 log 3log 3. 1 4 1 5 讲一讲 2画出下列函数的图像,并根据图像 写出函数的定义域与值域以及单调区间: (1)ylog 3 (x2); (2)y|log x|. 1 2 尝试解答 (1)函数ylog 3 (x2)的 图像可看作把函数ylog 3 x的图像向右平 移2个单位
16、得到的,如图.其定义域为 (2,),值域为R,在区间(2,)上 是增加的; (2)y|log x|Error!其图像如图. 1 2 其定义域为(0,),值域为 0,),在(0,1上是减少的,在 1,)上是增加的 把例2(2)变为y ,画出其 图像,并根据图像写出定义域,判断奇偶性 及单调性 解:y 其图像如图所示 其定义域为x|x0,为偶函数 在(,0)为增加的,在(0,)上为减 少的 (1)与对数函数有关的一些对数型函数, 如10 ylog a xk,ylog a |x|,y|log a xk| 等,其图像可由ylog a x的图像,通过平 移,对称或翻折变换而得到 (2)对能画出图像的对数
17、型函数性质及 对数型方程解的研究,常先画出图像,再利 用数形结合法求解 练一练 2已知函数f(x)|log 2 (x1)|. (1)画出其图像,并写出函数的值域及 单调区间; (2)若方程f(x)k有两解,求实数k 的取值范围 解:(1)函数y|log 2 (x1)|的图像如 图由图像知,其值域为0,),单调 减区间是(1,0,单调增区间是 0,) (2)由(1)的图像知,k0即可 讲一讲 3已知f(x)log a (1x),g(x) log a (1x),其中a0,a1. (1)求函数f(x)g(x)的定义域; (2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性,并 予以证明; (3)求使f(x)g(x
18、)0的x的取值范 围 尝试解答 (1)要使函数f(x)g(x) 有意义, 需有Error!解得1x1, 所以f(x)g(x)的定义域为(1,1) (2)任取x(1,1),则x(1,1) f(x)g(x)log a (1x) log a (1x) f(x)g(x), 所以f(x)g(x)在(1,1)上是奇函 数 (3)由f(x)g(x)0得log a (1x) log a (1x), 当a1时,则可化为Error!, 解得0x1; 当0a1时,由Error!, 解得1x0. 所以当a1时,x的取值范围是(0,1), 当0a1时,x的取值范围是 (1,0) (1)判断函数的奇偶性,首先应求出定 义
19、域,看是否关于原点对称而对于类似于 f(x)log a g(x)的函数,利用f(x)f(x) 0来判断奇偶性更简捷 (2)判断函数的单调性有两种思路, 利用定义;利用图像 练一练 3已知f(x)log a (a x 1)(a0且 a1)11 (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性 解:(1)要使函数f(x)log a (a x 1) (a0,且a1)有意义,则a x 10. 当a1时,由a x 10得a x 1,即 x0, 故函数的定义域为(0,); 当0a1时,由a x 10得a x 1, 即x0, 故函数的定义域为(,0) (2)当a1时, 设01,解得a0. 2函数y1l
20、og 3 x的图像一定经过点( ) A(1,0) B(0,1) C(2,0) D(1,1) 解析:选D ylog 3 x一定过定点(1,0)y1log 3 x的图像一定过点(1,1) 3(天津高考)已知a2 1.2 ,b 0.8 ,c2log 5 2,则a,b,c的大小关系为( ) ( 1 2 ) Ac2,而b 0.8 2 0.8 ,所以10, f(x)(t1)(t2) 2 . ( t 3 2 ) 1 4 t0,当t 时,f(x) min 0,a1),求 f(log 2 x)的最小值及对应的x值 解:由f(log 2 a)b可得,(log 2 a) 2 log 2 abb, log 2 a1或log 2 a0.a2或a1(舍去) 又log 2 f(a)2,即log 2 (2b)2, 2b4,b2.f(x)x 2 x2. f(log 2 x) 2 . ( log2x 1 2 ) 7 4 当log 2 x ,即x 时,y min . 1 2 2 7 4