1、1 页理科数学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则 （ ）|sin,xR,|lgAyBxyABA B C D0,1010,12.已知向量 ，且 ，则 （ ）,3,2amb/abmA B C-8 D8233.设命题 ，则 为（ ）2:,lnpxRxpA B C D200,l2,lnRx200,lnRx2,lnxRx4.已知等差数列 的前 项为 ，且 ，则使得 取最小值时的 为（ ）nanS1594,7aSSA1 B6 C7 D6 或 75.已知实数 ，则 的大小关系为（
2、）lnl,l,2bc,bcA B C Dabcaaab6.若 ，则 的值为（ ）4sin3os021cosinA B 1 C D25654867. 中，角 的对边分别是 ，已知 ，则 （ ）,A,abc2,1sinbcCA B C D348.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若 ，则 的前 2017 项的积为（ ）nanS1nna12anA1 B2 C-6 D-5869.记 表示不超过 的最大整数，如 设函数 ，若方程xx.3,.fx有且仅有 3 个实数根，则正实数 的取值范围为（ ）logafa2 页A B C D3,4,2,32,310.如图 1，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆
3、上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线OAPxOA，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离与 到 的距离之和表示成 的PMOMx函数 ，则 在 上的图象大致是（ ）fxyfx0,A B C D11. 设函数 且 ，则实数 的取值范围为（ 32ln1fxx23ln1afa）A B C D3,3,3,30,12.设函数 （其中 为自然对数的底数）恰有两个极值点 ，则下列说法xxfeae 122,x不正确的是（ ）A B C D102a10x102fx120ff第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知
4、 为等比数列，且 成等比数列，则 的值为_na132,a573a14.已知 为单位向量，其夹角为 60，则 _,m mn15.设点 为函数 图象上任一点，且 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的取P312fxxfxP值范围为_16.已知函数 ，且 在 上单调递减，则sin0,463fxfffx,23 页_三、解答题 （共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS23n（1）求数列 的通项公式；n（2）若数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，求证： nb12nnnaaAnbnT521n18.（本小题满分 12 分）
5、如图 2，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，PABCDB底面 ， 是 上的点,/,22,ABPBCDEP（1）求证： 平面 ；BDPC（2）设 ，若 是 的中点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角1EPDEB23的余弦值P19.（本小题满分 12 分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为 50 元，然后以每个 100 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个） ，得到如图 3 所示的柱状图，以 100 天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率4 页（1）若蛋
6、糕店一天制作 17 个生日蛋糕，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：个，yn）的函数解析式；在当天的利润不低于 750 元的条件下，求当天需求量不低于 18 个的概率 nN（2）若蛋糕店计划一天制作 16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作 16 个是 17 个？20.（本小题满分 12 分）设椭圆 的方程为 ， 为坐标原点，直线 与椭圆 交于点 为线段 的中E21xyaOlE,ABM点（1）若 分别为 的左顶点和上顶点，且 的斜率为 ，求 的标准方程；,ABM12（2）若 ，且 ，求 面积的最大值a1OMAB21.（本小题满分 12 分
7、）设函数 2ln,1xfxgaR（1）若函数 在定义域内单调递减，求 的取值范围；hfa（2）设 ，证明： （ 为自然对数的底数） *nN142221nen请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 4，在 中， ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 作圆 的切线交 于点ABC09ABACEOBCF5 页（1）求证： ；（2）若 ，求 的大小BCEF3COAEFB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程将圆 上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2 倍得到曲线 21xy C
8、（1）写出曲线 的参数方程；（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为x l，若 分别为曲线 和直线 上的一点，求 的最近距离sin24,PQCl,PQ24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 ，fxxa1fx0fx在 上恒成立，求 的取值范围2,3参考答案一、选择题6 页题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C B A D C B B B C D二、填空题题号 13 14 15 16答案 4 3,21三、解答题（2）证明：由（1）知 ，113233n
9、bnn 7 分 10 分12311124353nnTbbn 12 分18.（1）证明： 平面 平面 ，PB,DACABC ， 2 分BD由题意知 ，,1,2A ， ，2C2BC ，又 ，BP 平面 6 分D（2）解：以 为原点，建立空间直角坐标系如图 3 所示，7 页则 ，设 ，0,1,0,BDC0,Pa则 ，1,1,a22aEBED设 为平面 的法向量，则 ，,nxyz 0nBEA即 ，取 ，则 0a,2xayz,2a设直线 与平面 所成角为 ，PDEB依题意， ，2sinco, 3PDnaA则 或 （舍） ， 8 分2a1由（1）知 ，,BCB 平面 ，PD 为平面 的法向量，,0当 时，
10、 ，2a 6,2,cos,3BCnnA易得二面角 为锐角，所以其余弦值为 12 分PBDE19.解：（1）当 时， ；17n1058y当 时， 6n50yn得 3 分8617Nn设当天的利润不低于 750 元为事件 ，设当天需求量不低于 18 个为事件 ，由得“利润不低于AB元”等价于 “需求量不低于 16 个” ，则 ，750 0.P8 页 6 分0.153.19| 75PAB（2）蛋糕店一天应制作 17 个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作 17 个， 表示当天的利润（单位：元） ， 的分布列为XXX550 650 750 850P0.1 0.2 0.16 0.54 9 分50.160.
11、275.1680.5476E若蛋糕店一天制作 16 个， 表示当天的利润（单位：元） ， 的分布列为YYY600 700 800P0.1 0.2 0.7， 11 分60.170.28.760E由以上的计算结果可以看出， ，即一天制作 17 个的利润大于制作 16 个的利润，EXY所以蛋糕店一天应该制作 17 个生日蛋糕 12 分20.解：（1）设 ，012,MxyABxy则 ，两式相减，得 ， 2 分212xya 121212120ya即 ，又 ，0122yaxA012,2yxx代入化简，得 ，故 的标准方程为 5 分E14y（2）设直线 ，12:,lxmynAxB由方程组 22440ymn
12、6 分2121122 28,nyyxm，11224,xnMm， 8 分2216On9 页设直线 与 轴的交点为 ，lx,0Dn则 ，1212AOBSyy令 ， 10 分21224846mn设 ，2tmt则 ，2228484848 111622tSttA当 时，即 时， 的面积取得最大值 1 12 分t,6mnAOB21.（1）解：函数 的定义域为 ，hx1,且 ，则2lnxhxfgaA，222111xxaxa AA由于 在 内单调递减，则 对 恒成立，hx,0h,即 对 恒成立， 2 分210axA1,x从而 ，则 ，2maxmax12故 的取值范围为 4 分a1,（2）证明：取 ，由第（1）
13、问可知 在 为单调递减函数，2hx0,从而 ；0hx则 对 ，均成立， 6 分2ln1xA0,令 ，有2,kxn 22 222111lnkkknnA； 9 分10 页从而 ，2221ln1n222222211lll 1nnn ，213344n故 12 分3222nen22.（1）证明：由题意可知， 均为圆 的切线，,FBEO所以 ，连接 ，易知 ，FBE, 09AF所以 ，0COAC又 ，09所以 ，所以 ，FEBEF所以 5 分2（2）解：不妨设 ，则 ，1OA3,CAB在 中，由射影定理可知， ， ，RtBC2EC23AE所以 ， ，所以 ，E41sin所以 ，由（1）可知， ， 10 分03A03F06FB23.解：（1）设 为圆上一点，在已知变换下 上的点 ，依题意 ，1,xyC,xy12xy由 得 ，即 ，21xy2214xy故 的参数方程为 （ 为参数） 5 分Ccosinxy（2）将 的极坐标方程化为直角坐标方程： ，l sin244yx设 ，设点 到 的距离为 ，cos,inPPld245sin51022d，
