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2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.1倍角公式学案新人教b版必修.doc

上传人:无敌 文档编号:99032 上传时间:2018-03-13 格式:DOC 页数:14 大小:371.50KB
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资源描述

1、1 32.1 倍角公式预习课本P143144,思考并完成以下问题 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么?公式如何推导?(2)联系已学公式,考虑cos 2 ,sin 2 有哪几种变形方法?新知初探 二倍角公式 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( ) (2)存在角,使得sin 22sin 成立( ) (3)对任意角,总有tan 2 .( ) 2tan 1tan2 答案:(1) (2) (3)2 2已知sin ,cos ,则sin 2等于( ) 3 5 4 5 A. B. 7 5 12 5 C. D. 12 2

2、5 24 25 答案:D 3计算cos 2 15sin 2 15结果等于( ) A. B. 1 2 2 2 C. D. 3 3 3 2 答案:D 4已知为第三象限角,cos ,则tan 2_. 3 5 答案: 24 7 给角求值问题 典例 求下列各式的值: (1)sin cos ;(2)12sin 2 750; 12 12 (3) ;(4)cos 20cos 40cos 80. 2tan 150 1tan2150 解 (1)原式 . 2sin 12 cos 12 2 sin 6 2 1 4 (2)原式cos(2750)cos 1 500 cos(436060) cos 60 . 1 2 (3)

3、原式tan(2150)tan 300 tan(36060)3 tan 60 . 3 (4)原式 2sin 20cos 20cos 40cos 80 2sin 20 2sin 40cos 40cos 80 4sin 20 2sin 80cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 . 1 8 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单而(4)小题通过观察角度 的关系,发现其特征(二倍角形式),逆用正弦二倍角公式,使得问题中可连用正弦二倍角 公式,所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系, 灵活运用公式及其变形,从而使问题迎刃而解 活

4、学活用求下列各式的值 (1)sin sin ;(2)cos 2 15cos 2 75; 8 3 8 (3)2cos 2 1;(4) . 5 12 tan 30 1tan230 解:(1)sin sin cos , 3 8 ( 2 8 ) 8 sin sin sin cos 2sin cos sin . 8 3 8 8 8 1 2 8 8 1 2 4 2 4 (2)cos 2 75cos 2 (9015)sin 2 15, cos 2 15cos 2 75cos 2 15sin 2 15cos 30 . 3 2 (3)2cos 2 1cos . 5 12 5 6 3 2 (4) tan 60 .

5、 tan 30 1tan230 1 2 2tan 30 1tan230 1 2 3 24 化简问题 典例 化简:(1) ; 1 1tan 1 1tan (2) . 2cos21 2tan ( 4 ) sin2 ( 4 ) 解 (1)原式 tan 2. 1tan 1tan 1tan 1tan 2tan 1tan2 (2)原式 cos 2 2tan ( 4 ) cos2 ( 2 4 ) cos 2 2tan ( 4 ) cos2 ( 4 ) cos 2 2sin ( 4 ) cos ( 4 ) cos 2 sin ( 2 4 2 ) cos 2 cos 2 1. (1)化简三角函数式的常用方法:

6、切化弦;异名化同名;异角化同角;高次降低次 (2)化简三角函数式的常用技巧: 特殊角的三角函数与特殊值的互化; 对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行 约分; 对于二次根式,注意倍角公式的逆用; 利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等; 利用“1”的恒等变形,如tan 451,sin 2 cos 2 1等 活学活用5化简:(1) tan tan 2; 1 cos 2 (2)sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2cos 2. 1 2 解:(1) tan tan 2 1 cos 2 1 cos 2 sin sin 2 cos cos 2 co

7、s 2sin2cos cos cos 2 1. 12sin2 cos 2 cos 2 cos 2 (2)原式sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (2cos 2 1)(2cos 2 1) 1 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (4cos 2 cos 2 2cos 2 2cos 2 1) 1 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1 . 1 2 1 2 1 2 给值求值典例 已知cos , 0, . ( 4 ) 3 2 4 7 4

8、sin ( 4 ) 1cos2 ( 4 ) . 1 ( 3 5 ) 2 4 5 cos 2sin 2sin cos ( 2 2 ) ( 4 ) ( 4 ) 2 , ( 4 5 ) 3 5 24 256 sin 2cos 12cos 2 ( 2 2 ) ( 4 ) 12 2 . ( 3 5 ) 7 25 cos cos 2 sin 2 ( 2 4 ) 2 2 2 2 . 2 2 ( 24 25 7 25 ) 31 2 50 一题多变 1变设问本例条件不变,求 的值 cos 2 sin ( 4 ) 解:原式 (cos sin )2cos . cos2sin2 sin 4 cos cos 4 sin

9、 2 ( 4 ) 6 5 2变条件,变设问若本例条件变为:若x ,sin ,求sin 0, 2 ( x 6 ) 3 5 的值 ( 2x 6 ) 解:由sin , ( x 6 ) 3 5 得sin xcos cos xsin , 6 6 3 5 两边平方,得 sin 2 x sin 2x , 1 2 1 4 3 4 9 25 sin 2x , 1 2 1cos 2x 2 1 4 3 4 9 25 即sin 2x cos 2x , 3 2 1 2 7 25 sin . ( 2x 6 ) 7 25 解决条件求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向

10、地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二7 倍关系 层级一 学业水平达标 1若sin ,则cos ( ) 2 3 3 A B 2 3 1 3 C. D. 1 3 2 3 解析:选C 因为sin , 2 3 3 所以cos 12sin 212 2 . 2 ( 3 3 ) 1 3 2下列各式中,值为 的是( ) 3 2 A2sin 15cos 15 Bcos 2 15sin 2 15 C2sin 2 15 Dsin 2 15cos 2 15 解析:选B cos 2 15sin 2 15cos 30 . 3 2 3已知为第

11、三象限角,且cos ,则tan 2的值为( ) 5 5 A B. 4 3 4 3 C D2 3 4 解析:选A 由题意可得,sin ,tan 2,tan 1cos2 2 5 5 2 ,故选A. 2tan 1tan2 4 3 4化简 等于( ) 2sin 2 1cos 2 cos2 sin A2cos B2sin C. Dcos 1 28 解析:选A 原式 2cos . 4sin cos 12cos21 cos2 sin 5已知为锐角,且满足cos 2sin ,则等于( ) A75 B45 C60 D30 解析:选D 因为cos 212sin 2 ,故由题意,知2sin 2 sin 10,即 (

12、sin 1)(2sin 1)0.因为为锐角,所以sin , 1 2 所以30.故选D. 6已知tan x2,则tan 2 _. ( x 4 ) 解析:tan x2, tan 2x . 2tan x 1tan2x 4 3 tan 2 tan ( x 4 ) ( 2x 2 ) sin ( 2x 2 ) cos ( 2x 2 ) . cos 2x sin 2x 1 tan 2x 3 4 答案: 3 4 7已知sin cos ,那么sin _,cos 2 2 2 3 3 2_. 解析:sin cos , 2 2 2 3 3 2 , ( sin 2 cos 2 ) 4 3 即12sin cos , 2

13、2 4 3 sin , 1 3 cos 212sin 2 12 2 . ( 1 3 ) 7 99 答案: 1 3 7 9 8求值: _. 1 sin 18 3 cos 18 解析:原式 cos 18 3sin 18 sin 18 cos 18 4. 2 ( 1 2 cos 18 3 2 sin 18 ) 1 2 sin 9 4sin 9 sin 9 答案:4 9已知为第二象限角,且sin ,求 的值 15 4 sin ( 4 ) sin 2cos 21 解:原式 . 2 2 sin cos 2sin cos 2cos2 2sin cos 4cos sin cos 为第二象限角,且sin , 1

14、5 4 sin cos 0,cos , 1 4 原式 . 2 4cos 2 10已知,均为锐角,且tan 7,cos ,求2的值 2 5 5 解:为锐角,且cos ,sin . 2 5 5 5 5 tan ,tan 2 . 1 2 2tan 1tan2 2 1 2 1 ( 1 2 ) 2 4 3 02 ,02, 210 又tan(2) 1, tan tan 2 1tan tan 2 7 4 3 17 4 3 2 . 3 4 层级二 应试能力达标 1已知sin 2 ,则cos 2 ( ) 2 3 ( 4 ) A. B. 1 6 1 3 C. D. 1 2 2 3 解析:选A sin 2 , 2

15、3 cos 2 ( 4 ) . 1cos ( 2 2 ) 2 1sin 2 2 1 2 3 2 1 6 2若 ,则cos 的值为( ) cos 2 sin ( 4 ) 1 2 ( 2 2 ) A. B 7 8 7 8 C D. 4 7 4 7 解析:选A 因为 , cos 2 sin ( 4 ) 1 2 所以 , cos2sin2 2 2 sin 2 2 cos 1 2 所以cos sin ,平方得12cos sin , 2 4 1 8 所以sin 2 ,所以cos sin 2 . 7 8 ( 2 2 ) 7 811 3化简: ( ) sin235 1 2 sin 20 A. B 1 2 1

16、2 C1 D1 解析:选B 原式 . 1cos 70 2 1 2 sin 20 cos 70 2sin 20 sin 20 2sin 20 1 2 4已知sin ,则cos 2 的值是( ) ( 6 ) 1 3 ( 3 ) A. B. 7 9 1 3 C D 1 3 7 9 解析:选D sin , ( 6 ) 1 3 cos cos 2 12sin 2 , ( 3 2 ) ( 6 ) ( 6 ) 7 9 cos 2 cos cos ( 3 ) ( 2 3 2 ) ( 3 2 ) cos . ( 3 2 ) 7 9 5等腰三角形一个底角的余弦为 ,那么这个三角形顶角的正弦值为_ 2 3 解析:设

17、A是等腰ABC的顶角,则cos B , 2 3 sin B . 1cos2B 1 ( 2 3 ) 2 5 3 所以sin Asin(1802B)sin 2B2sin Bcos B 2 . 5 3 2 3 4 5 9 答案: 4 5 9 6已知角,为锐角,且1cos 2sin cos ,tan() ,则 1 3 _.12 解析:由1cos 2sin cos ,得1(12sin 2 )sin cos ,即 2sin 2 sin cos . 为锐角,sin 0,2sin cos ,即tan . 1 2 法一:由tan() , tan tan 1tan tan tan 1 2 1 1 2 tan 1

18、3 得tan 1. 为锐角, . 4 法二:tan tan() 1.为 tantan 1tantan 1 3 1 2 1 1 3 1 2 锐角, . 4 答案: 4 7已知向量m ,n(sin ,1),m与n为共线向量,且 ( cos 2 3 ,1 ) . 2 ,0 (1)求sin cos 的值 (2)求 的值 sin 2 sin cos 解:(1)因为m与n为共线向量, 所以 1(1)sin 0, ( cos 2 3 ) 即sin cos . 2 3 (2)因为1sin 2(sin cos ) 2 , 2 9 所以sin 2 , 7 9 因为(sin cos ) 2 (sin cos ) 2

19、 2,13 所以(sin cos ) 2 2 2 . ( 2 3 ) 16 9 又因为 , 2 ,0 所以sin cos 0,sin cos . 4 3 因此, . sin 2 sin cos 7 12 8已知sin 2cos 0. x 2 x 2 (1)求tan x的值; (2)求 的值 cos 2x cos ( 5 4 x ) sinx 解:(1)由sin 2cos 0,知cos 0, x 2 x 2 x 2 tan 2, x 2 tan x . 2tan x 2 1tan2 x 2 2 2 122 4 3 (2)由(1),知tan x , 4 3 cos 2x cos ( 5 4 x ) sinx cos 2x cos ( 4 x ) sin x cos2xsin2x ( 2 2 cos x 2 2 sin x ) sin x cos xsin xcos xsin x 2 2 cos xsin xsin x 2 cos xsin x sin x14 2 1tan x tan x . 2 4

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