1、 2017 高考数学模拟卷一南师大 一、填空题1. 已知 ， ，则 = .321，A92xBBA2. 已知复数 ，在复平面上对应的点在第四象限，则是 虚 数 单 位iRaiz,实数 的取值范围是 .a3. 右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 .4. 从 2,3,4 中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于 1 的概率是 .5. 随机抽取年龄在 ， 年龄段的市民进行20,160,53,问卷调查，由此得到 的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于 40 岁的人中按年龄阶段随机抽取 8 人，则年龄段应抽取人数为 .60,56. 双曲线 的焦
2、点到渐近线的距离为 .1962yx7. 若函数 是偶函数，则实数 a 的值是 .)4sin(3)4sin()( xxaf8. 立方体 中，棱长为 ， ，则四棱1DCBA的 中 点为 1BP 锥的体积为 .AP19. 如图所示的梯形 中，ABCD,2,34,/ MDAAB，如果 = .M则,10. 集合 L=l|l 与直线 y=x 相交，且以交点的横坐标为斜 率.若直线，则以rlPl 的 最 短 距 离 为到 直 线点 2,1, 为为 圆 心 ，点 rP半径的圆的标准方程为 .11. 设数列 的前 n 项的和为 ，且 ，若对于任意的 都有anS1)2(4na*Nn恒成立，则实数 x 的取值范围是
3、 .3)4(1Sxn12. 在ABC 中，已知 sinA13sinB sinC，cosA13cosB cosC，则 tanAtanBtanC 的值为 13. 设直线 与曲线 均相切，切点分别为l xxeyeyC1:21 和 曲 线 21,yx则 .21y14. 函数 其中 ，若函数 有 6 个不同的零txtxf4201xfg点，则实数 的取值范围是 .t二、解答题15. 已知 为锐角三角形，向量ABC ,3sin),co(Am,sincoB并且 .nm（1）求 ；（2）若 求 BC 的长.的 值,8,53cosCB16如图，在三棱锥 PABC 中，已知平面 PBC 平面 ABC(3)第 题PA
4、BC(1)若 AB BC， CP PB，求证：CP PA；(2)若过点 A 作直线 l平面 ABC，求证：l平面 PBC17. 小张于年初支出 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 万元，从第二年起，每年都比上50 6一年增加支出 万元，假定该车每年的运输收入均为 万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将225大货车作为二手车出售，若该车在第 年年底出售，其销售收入为 万元（国家规定大货车的报废年限为xx年）.10（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.
5、已知椭圆 C： （a b0）.12yx（1）若椭圆的离心率为 ，且点 在椭圆上，3)23,(求椭圆的方程；设 P ，R 、 S 分别为椭圆 C 的右顶点和上顶点，直线)2,(PR 和 PS 与 y 轴和 x 轴相交于点 M，N ，求直线 MN 的方程 .（2）设 D(b，0)，过 D 点的直线 l 与椭圆 C 交于 E、F 两点，且E、F 均在 y 轴的右侧， ，求椭圆离心率的取值范围 .EF19. 已知 是正实数，设函数 .,ab()ln,()lnfxgxab（1 ） 设 求 的单调区间；()(),hxfgh（2 ） 若存在 ，使 且 成立，求 的取值范围.0345ab00()fxa20.
6、记等差数列a n的前 n 项和为 Sn（1 ） 求证：数列 是等差数列；Snn（2 ）若 a11，对任意的 ，均有 是公差为 1 的等差数列，求使 为整数*N,211,nnS 12kS的正整数 k 的取值集合；（3 ）记 bna (a0)，求证： an b1 b2 bnn b1 bn2理科附加22. 从 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 为所组成的三位数各位数字之和.4,3210 Y（1 ）求 是奇数的概率；Y（2 ）求 的概率分布和数学期望.23. 已知数集 具有性质 ：对任意的)4,1(,221 naaaAn P，使得 成立 .)1(,)2(njijnkjik（1）分别判断数集
7、 与 是否具有性质 ，并说明理由；6,427,3P（2）求证： ；14aa（3）若 ，求 的最小值.7n2017 高考数学模拟卷一参考答案南师大一、填空题1. 1,2.2. .),0(3. 27.解：由框图的顺序，s0，n1，s( sn)n(01)1 1，nn12，依次循环 s(12)26，n3，注意此刻 33 仍然否，所以还要循环一次 s(63)3 27，n4，此刻输出 s274. .25. 2.6. 3.7. .提示： ， ，即得 .)(xff)4(ff3a8. . 329. .10. .4)2()1(yx11. 2，3.12. 196. 解：由题意 cosA，cosB ，cosC 均不为
8、 0，由 sinA13sinBsinC，cosA 13cos BcosC，两式相比得tanAtan BtanC，又由 cosA13cos BcosC，且 cosAcos( BC )sin AsinBcosA cosB，所以 sinAsinB14cosAcos B，所以tanBtanC14又 tanBtanCtan( BC)(1 tan BtanC)tan A(1tanBtan C)，所以 tanAtan BtanCtanAtanBtanC19613. .2e14. （3，4）.解： 的草图如右，)(xf，4,273tNtM令 ，则 当且仅当 ，mxf1时 ，或 t00)(xg所以条件等价于方程
9、 = 共 6 个不同的实数根，由图知等价于 位于 M，N 之间，和 方 程1)(xf)(f1t t1故得 ，解得 .27413tt 4t二、解答题15. 已知 为锐角三角形，向量 并且 .ABC ,3sin),co(Am,sincoBnm（1）求 ；（2）若 求 BC 的长.的 值,8,53sCB解：（1 ） 因为 ，所以 .nm 0)3cos(in)3si(co)( BABAA因为 , 所以 ,2,0BA636所以 .3即（2 ）因为 ,54sin2,0,5cosB所 以所以 ,10342536sicoi)6in(i BA由正弦定理 .34siAC16如图，在三棱锥 PABC 中，已知平面
10、PBC 平面 ABC(1)若 AB BC， CP PB，求证：CP PA；(2)若过点 A 作直线 l平面 ABC，求证：l平面 PBC解(1)因为平面 PBC平面 ABC，平面 PBC平面 ABCBC，AB 平面 ABC，ABBC，PABC所以 AB平面 PBC因为 CP平面 PBC，所以 CPAB又因为 CPPB，且 PBABB，AB，PB平面 PAB，所以 CP平面 PAB又因为 PA平面 PAB，所以 CPPA(2)在平面 PBC 内过点 P 作 PDBC ，垂足为 D因为平面 PBC平面 ABC，又平面 PBC平面 ABCBC，PD平面 PBC，所以 PD平面 ABC又 l平面 AB
11、C，所以 l/PD又 l 平面 PBC，PD 平面 PBC，所以 l/平面 PBC/17. 小张于年初支出 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 万元，从第二年起，每年都比上50 6一年增加支出 万元，假定该车每年的运输收入均为 万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将225大货车作为二手车出售，若该车在第 年年底出售，其销售收入为 万元（国家规定大货车的报废年限为xx年）.10（3）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（4）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）解：（1）设大货车到第 年年底的运输累计收入
12、与总支出的差为 万元，x y则 ，),10(,5)1(625Nxy 即 ，)0,x由 ，解得 ，52x 2510251x而 ，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.310（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为 ，)25(19)25(1)25(2 xxxy 而 ，当且仅当 时等号成立。919答：第 5 年底出售货车，年平均利润最大.18. 已知椭圆 C： （a b0）.12yx（1）若椭圆的离心率为 ，且点 在椭圆上，3)23,(求椭圆的方程；设 P ，R 、 S 分别为椭圆 C 的右顶点和上顶点，直线 PR 和 PS 与 y 轴和 x 轴相交于点
13、M，N，)23,1(求直线 MN 的方程.（2）设 D(b，0)，过 D 点的直线 l 与椭圆 C 交于 E、F 两点，且 E、F 均在 y 轴的右侧， ，求椭EDF2圆离心率的取值范围.解：（1） ；142yx由前知， ， ，3M432Nx所以，直线的方程为 . 6y（2 ） 设 E（x 1，y 1）, F（x 2，y 2）,因为 ，所以 .EDF2123yxb根据题意， 14)23(212byax解得 ，bx421连 SD，延长交椭圆于点 Q.直线 SD 的方程为 x+y-b=0，代入椭圆方程解得 Q 点的横坐标 ,2baxQ所以， ，即 ，a43022a03442ba解得， ，即 ，所以
14、， ， .22b)(32c2c36aPABCD所以，椭圆离心率 e 的取值范围为 .)36,0(19. 已知 是正实数，设函数 .,abln,(lnfxgxab（3 ） 设 求 的单调区间；()(),hxfgh（4 ） 若存在 ，使 且 成立，求 的取值范围.0345ab00()fxa解：（1） ， ，由 得()ln,xxln1lhxb()0hx.be 在 上单调递减，在 上单调递增.h,be()e（2 ） 解法一：由 得345ab7a由条件得 .0)(minx（i）当 ，即 时， ，be35eemin()()bhxae由 得 ，a.ba（ii）当 时， ， 在 上单调递增.4ee()hx,4
15、abmin()()(lnl(ln)4bhx ae，矛盾. 3304ebae不成立.（iii）当 ，即 时， ,5be5ae53abe 在 上单调递减.()hx3,4amin)(lnl)(ln)5babae，52230eae当 时恒成立. be综上所述， 7a解法二：由 得345ab7.a由 ，0000044335545lnlnl axbabxxabbxabex令 ， ，则 ，题目转化为：0y已知 满足 ，求 的取值范围.,y40,xey作出 所在平面区域（如图） ，求出 的过原点的(,)x xy 切线.设过切点 的切线为 ，因为过0,P00()xe 原点，故有 ，即 ，则 的最小值在xe01,
16、)P 0(,)Pxy处，为 。此时点 在 上，AB 之间.(,)xy当 对应点 C 时，由 ，即(,)xy14253yxy 17(,).2C 的最大值在 C 处，为 7. 的取值范围为 ，即 的取值范围是yx,eba,7).e20. 记等差数列a n的前 n 项和为 Sn（1 ） 求证：数列 是等差数列；Snn（2 ）若 a11，对任意的 ，均有 是公差为 1 的等差数列，求使 为整数*N,211,nnS 12kS的正整数 k 的取值集合；（3 ）记 bna (a0)，求证： an b1 b2 bnn b1 bn2解（1）设等差数列a n的公差为 d，则 Snna 1 d，从而 a 1 dn(
17、n 1)2 Snn n 12所以当 n2 时， (a1 d)( a1 d) Snn Sn 1n 1 n 12 n 22 d2即数列 是等差数列 Snn（2 ） 因为对任意的 ， 都是公差为 1 的等差数列，*N,2n11,nnS所以， 是公差为 1 的等差数列.)(Sn又 ，所以 .1a1所以 ( n1)n，所以 Sn n2.Sn S1所以 = ，2k2)3(1)kk显然， 满足条件， 不满足条件；1,当 时，因为 ，所以 ，4k23(3)24(3)20kk231k所以 ， 不是整数.2112kS综上所述，正整数 k 的取值集合为 1,2.（3 ） 设等差数列a n的公差为 d，则 ana 1
18、( n1)d，b na ，an 所以 a a d，bnbn 1 an an 1 即数列b n是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列记公比为 q(q0) 以下证明：b 1b nb pb k，其中 p，k 为正整数，且 pk1n因为(b 1b n)( bpb k)b 1b 1qn1 b 1qp1 b 1qk1 b 1(qp1 1)( qk1 1) 当 q1 时，因为 yq x 为增函数，p10，k 10，所以 qp1 10，q k1 10，所以 b1b nb pb k当 q1 时，b 1b nb pb k当 0q1 时，因为 yq x 为减函数， p10，k10，所以 qp1 10，q k1 1
19、0，所以 b1b nb pb k综上，b 1b nb pb k，其中 p，k 为正整数，且 pk1n所以 n(b1b n)( b1b n)(b 1b n)( b1b n)(b 1b n)(b 2b n1 )(b 3b n2 )( bnb 1)(b 1b 2b n)( bnb n1 b 1)，即 b1 b2 bnn b1 bn2理科附加22. 从 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 为所组成的三位数各位数字之和.（1）求4,3210 Y是奇数的概率；（2 ）求 的概率分布和数学期望.YY解：（1 ） 记“ 是奇数 ”为事件 .能组成的三位数的个数为 48， 是奇数的个数为 28.A所以
20、 .12748AP答： 是奇数的概率为 .Y（2 ） 的可能取值为 .9,8765,3当 时，组成的三位数只能是 三个数字组成，3210所以 ，248YP同理可得：， ， ，1615245YP， ， .247Y8Y819所以 的分布列为：3 4 5 6 7 8 9P112451的数学期望：Y. 42589765243 E23.已知数集 具有性质 ：对任意的)4,1(,221 naaaAn P，使得 成立 .)(,)2(jijnkjik（1）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；6,4217,3P（2）求证： ；4aa（3）若 ，求 的最小值.7n解：（1）因为 ，所以 具有性质 ；426,126,21P因为不存在 ，使得 ，所以 不具有性质 .73jiajia7,43（2）因为集合 具有性质 ，,21nA P所以对 而言，存在 ，使得 ；4 ,21njia jia4又因为 ，4321 a所以 ，所以 ；,ji3ji同理可得 ；123,将上述不等式相加得： ；)(23143aa所以 .3214a（3）由（2）可知 ，21,又 ，所以 ，所以 ；1a 7264,3,16,847532 aa8n构造数集 ，)89(76,95,orAA经检验 具有性质 ，故 的最小值为 .Pn
