1、2016 届黑龙江省大庆一中高三下学期开学考试数学（理）试题一、选择题1设集合 M =x| ，N =x|1x3,则 MN =（ ）260xA1,2 B1,2） C2,3 D2,3【答案】B【解析】试题分析：因为 M =x| 260x，N =x|1x3，所以|(3)20|3x.| |1MNxx|12x【考点】集合的运算性质2设复数 满足 则 （ ）z,2)1(izA. B. C. D.ii1i1【答案】A【解析】试题分析：因为 所以 ，,2)1(iz2()21iiiz i所以选 A.【考点】复数的运算.【方法点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路
2、就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数，它的模为 ；复数的概念的扩充部分主要知识点有：),(Rbaiz2ba复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意 ，同时注意运算的准确性.21i3 （ ）”的是 snA、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：令 ， ，但 ，所以 不是2,3sini的充分条件，当 则 ， 是 必要条sinisini sin件，综上 必要而不充分条件”的是 “【考点】充分必要条件的判
3、定.【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法（1）命题判断法：设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p 是 q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p 是 q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p 是 q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p 是 q的既不充分也不必要条件（2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合：p：Ax|p（x）成立，q：Bx|q（x）成立，那么：若 AB，则 p是 q的充分条件；若 AB 时，则 p是 q的充分不必要条件；若 BA，则 p是 q的必要条件；若 BA 时，则 p是 q的必要不充分条件；若 AB 且 BA
4、，即 AB 时，则 p是 q的充要条件（3）等价转化法：p是 q的什么条件等价于非 q是非 p的什么条件4由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ）yx2yxA B C4 D6103163【答案】B【解析】试题分析：画出草图由 解得 ，所以 ,所以曲线 ，直线 及 轴2yx4y(2)Myx2yx所围成的图形的面积 .34 2400 116()()|3sxdx【考点】定积分的几何意义及微积分基本定理.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与定积分的计算，定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力,定积分的计算通常有两类基本方法：一
5、是利用牛顿-莱布尼茨定理,利用此法关键被积函数的原函数，此外如果被积函数是绝对值函数或分段函数，则可利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应解析式，分别求得积分相加；二是利用定积分的几何意义利用面积求定积分.5已知定义在 上的函数 ，记 ， ，R2()5fx2(log5)af2(log3)bf，则 的大小关系为（ ）(1)cf,abcA、 B、 C、 D、bcac【答案】A【解析】试题分析：因为函数 为偶函数，在 单调递增，因为2()5fx(0,)，所以 ，又因为函数222log5l3log122log(l31ff为偶函数，所以 即 ，故选 A.2()5fx22(log5)(l3
6、)(1fffcba【考点】比较大小.6若 ,xy满足约束条件0143yx,则 zxy的取值范围是（ ）A.3， B.8， C.,9 D.89， 【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组的可行域，由 35zxy则 ，则315xz表示直线 35zxy在 轴上的截距，截距越大， 越大，结合图像，15z当 35zxy经过点 是 最小；当 35zxy经过点 是 最大，由AzCz可得 ，此时 ，由 可得 ，此时 ，40(,0)C9421A(,1)8z所以 ，所以 35zxy的取值范围是 89， .89z【考点】线性规划.7在等差数列 中， ，则数列 前 项的和 等于 （ ）na8162ana9SA.24
7、B.48 C.72 D.108【答案】D【解析】试题分析：设等差数列 公差为 ，又因为 ，所以nd8162，解得 ，解得 ，5513(6)2ad5513(6)2a5a.908s【考点】等差数列的性质.8已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为（ ）A.8 B.16 C.32 D.48【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，其底面积为 ，高 故体积为 故选 B.1(24)1s4,h16,3Vsh【考点】由三视图求体积.9要得到函数 y= cosx的图像，只需将函数 y= 2sin（2x+ 4）的图像
8、上所有的点的 （ ） A.横坐标缩短到原来的 21 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 8 个单位长度B横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4个单位长度C横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度D横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 8个单位长度【答案】C【解析】试题分析：将函数 y= sin（2x+ 4）的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度 可得到 ，再sin()4yx向左平行移动 4个单位长度可得到 的图像.sin()co4yx【考点】图像的平移及三角形的诱导公式.10在
9、平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 C的 方 程 为 ， 若 直 线 上 至xO28150y2ykx少 存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C有公共点，则 k的最大值是（ ）A B. C D.3443124【答案】A【解析】试题分析： 圆 C的 方 程 为 ， 即 ， 表 示 以2850xy2()1xy为 圆 心 ， 半 径 等 于 1的 圆 ， 要 使 直 线 上 至 少 存 在一点，使得以该点为圆(4,0)C2kx心，1 为半径的圆与圆 C有公共点，只需要 和 圆 有 公 共 点 ，y2(4)y即 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 即 解 得(4,0)C2ykx2|40
10、|1kd2340k则 k的最大值是343【考点】直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式.11已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）()ln2)fxaxaA、 B、 C、 D、 1(,41(0,1(0,)41(,)2【答案】C【解析】试题分析： 因为函数 则 ，因为函()ln2)fxax(ln4fxa数 有两个极值点，所以 ，在()ln2)fxax(l10f有两个实数根，令 ， ，当 时0,g(l41,xg)x在 无解，当 时，令 ，解得 则 ，g()x(,)00a4a4xa令 ，解得 ,函数 单调递减，令 ，解得 函数104xa()x()x1单调递增，所以当 时，函数 取得极大值，
11、要使 在()xg0g有两个实数根，则函数 ，解得 实数 的取值范围是0,1()ln04a14a.1()4【考点】利用导数求参数的取值范围.12已知方程 在 上有两个不同的解 ， （ ） ，则下面结论正cosxk0， +确的是 （ ）A 1tan4B tC 1tan4D t【答案】D【解析】试题分析：方程 在 上有两个不同的解 ， （ ） ，所cosxk0， +以直线 与 在 内相切，且切于点 ，又因为ykx|(,)2(,cos)，可得cosin1ta所以 ，选 D.tant14tan()41【考点】函数的零点与方程根的关系.13已知 F1，F 2是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，点 P在双
12、曲线上21xyab且不与顶点重合，过 F2作F 1PF2的角平分线的垂线，垂足为 A若|OA|b，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】试题分析：因为 F1，F 2是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，21xyab延长 交于 点 ，因为 是F 1PF2的角平分线，所以 因为点2FA1PQA2,PQF在双曲线上，所以 ， , 是的 中点，2PaO1是的 中点， 是的 的中位线，所以 中点，所1O1F1,Ab以 ，所以该双曲线的离心率为 .ab【考点】求双曲线的离心率.二、填空题14已知向量 夹角为 ，且 ；则 .,ab451,20abb【答案】 32【解析】试题分析：因为向量 夹角为 ，且 ，所
13、以,ab451,20ab，即222|10,()4()10,|()ab，因为 ，解得 .|6|b|b3【考点】向量模的运算.15已知 ， 且 ，则 的最小值为 .0xy2xy18xy【答案】9【解析】试题分析：因为 ， 且 ，所以02.18288()14549xyxyxxy【考点】基本不等式.16定义区间 长度为 ，已知函数21,x)(1212x的定义域与值域都是 ，则区间 取最大)0,()(2aRaxf nm,n,长度时 的值为_.【答案】3【解析】试题分析：因为 是已知定义域的子集，因为 ，nm, 0x或 所以函数 在nm,(,0),(0,)0,(1)(2aRaf上单调递增，所以 ，所以 是
14、 的同号相异的实, ()fn,n2x根，因为 ，所以 同号，只需 ，所以21na,m2(3)10a所以 的最大值为2243,()4an或 mn，此时 的值为 3.2【考点】函数的性质.三、解答题17设 f（x）= 2（x+ ）sincosx4（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC 中，角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f（ ）=0,a=1,求ABC 面2A积的最大值。【答案】 （） 的单调递增区间是 （ ） ，单调递减区间)(xf 4,kZ是 （ ） ， （）43,kZ32【解析】试题分析：（）利用降幂公式及两角和与差的公式，将函数解析式化为,把 看作整体，求出函数 f（x）
15、的单调区间； 1()sin2fx（）由 f（ ）=0 可得 由 A是锐角，可得 ，由余弦定理及基A1sin23cos2A本不等式可求出ABC 面积的最大值试题解析：（）由题意s()1()sin22xfxxsin21sin21由 kxkZ可得 44由 kxk232得 Z所以 的单调递增区间是 （ ）)(xf 4,kZ单调递减区间是 （ ）43,k（） 11()sin0sin22Af A由题意 A是锐角，所以 3co由余弦定理： Abas2213bcc可 得，且当 时成立2b3sin4bcA面积最大值为BC2【方法点睛】 （1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 的形xAysin式，.求解较复
16、杂三角函数的单调区间时，首先化成 形式，再i的单调区间，只需把 看作一个整体代入 相应的单xAysinxxysi调区间，注意先把 化为正数,这是容易出错的地方； （2）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（3）在三角形中，注意隐含条件 ；（4）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.CBA【考点】三角函数的单调区间及余弦定理三角形面积公式.18已知数列 na满足 11,2naN（1）求数列 的通项公式
17、;（2）设 nS为数列 21na的前 项和,求证: 41nS【答案】 （1） ， （2） n【解析】试题分析：（1）由 ，可得数列 1na是等比数列，从而得等1a比数列 na通项公式，也就可以得到数列 的通项公式；（2）先求出数列 21n的通项公式，写出 nS然后根据式子的特征，利用错位相减法求出数列 na的前 项和,利用放缩法求出证明出 .41nS试题解析：（1） 121na, )(21nna 又 , 0数列 na是首项为 2,公比为 2的等比数列. 21, 1n. （2） 1nna 2131nS 32n n -,得21122nnS 21nn 14nn ，0214S又 ， ，0231nn 3
18、21n 124n 【考点】求数列的通项公式及数列的前 项和，利用放缩法证明不等式【方法点睛】 （1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.（2）一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项nanbnba的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.19
19、如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形，侧棱 SA底面 ABCD，AB垂直于 AD和 BC，SA =AB=BC =2，AD =1M 是棱 SB的中点（）求证：AM面 SCD；（）求面 SCD与面 SAB所成二面角的余弦值；（）设点 N是直线 CD上的动点，MN 与面 SAB所成的角为 ，求 sin 的最大值【答案】 （）证明见解析；（） ；（）36735sinmax【解析】试题分析：（）由已知条件中的垂直关系，建立以点 A为原点，AD 为 轴；xAB为 轴 AS为 轴空间直角坐标系，写出 A,B,C,D,S,M的坐标，得到yz的坐标表示，求出平面 SCD的法向量是 可得 ，,AMSDC ,nxyz0Mn从而 .可得 AM平面 SCD. n（）将平面 SCD与平面 SAB所成二面角转化为两法向量夹角（或其补角） ，求出两平面的法向量，利用两向量的夹角的余弦公式求出即可
