1、哈师大附中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120 分钟 满分：150 分第卷（选择题 共 60 分）一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 ， ，那么集合|3Ax|20BxBAA B C D ,33,22已知不共线的向量 ， ， ，则,ab|()1ab|abA B C D3273等差数列 中， ，则这个数列的前 13 项和为n357103()()24A13 B26 C52 D1564右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是A B C D 131
2、25将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象()sin(0)fx4关于点 对称，则 的最小值是,4A B1 C D 213536 设 ，则 tan()2sin()cos()A B1 C3 D - 1137设 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和，已知 ， 则nanS24a37,S5A B C D 523448定义在 上的奇函数 满足 且 ，则R()fx(3)(,ffx1)f(013)(5)ffA - 2 B0 C2 D4 9已知函数 命题 ，则()3sin,fxx:(0,)2pfxA 是真命题， B 是真命题，p0:()2pfp:(0,)2xfxC 是假命题， D 是假命题，:(,)0f
3、xp00:(,)pxfx10已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是(12)3,1ln,axfRaA B C D ,21,210,211在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则C,A,abcos()cosaBbA的形状是BA等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 12已知函数 ，若 ，且 对任意 恒成立，则()lnfxxkZ(2)(xf2x的最大值为kA3 B4 C5 D6 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13等差数列 中， ，则 na1234,a56a14设 为锐角，若 则 cos()6sin()1215已知向
4、量 ， ，在 轴上存在一点 使 有最小值，则点,OA,(BxPBA的坐标是 P16在平面直角坐标系 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重xoy x合已知点 是角 终边上一点， ，定义 对于下,0Orryf列说法：函数 的值域是 ； 函数 的图象关于原点对称；f2,f函数 的图象关于直线 对称； 函数 是周期函数，其最小正周期34x为 ；2A1 B1 C1D1A BCDEPA B CDE函数 的单调递减区间是f32,.4kkZ其中正确的是 （填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 12
5、分）已知数列 的前 项和为 ，且 .nanS110,90naS（）求证： 是等差数列；lg（）设 ，求数列 的前 项和 .12(l)nnbanbnT18 （本题满分 12 分）已知向量 函数 m2(cos,3)x(1,sin2),x()fm（）求函数 的图象的对称中心和单调递增区间；f（）在 中，角 的对边分别是 ，且ABC, ,abc且 ，求 的值()3,123,fcabb,19（本题满分 12 分）四棱锥 P-ABCD 中，直角梯形 ABCD 中，ADCD，ABCD，APD=60，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面 PDA平面 ABCD，E 为 PC 的中点（）求证：PD平面 ABCD
6、；（）求直线 PD 与平面 BDE 所成角的大小20（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AA 1=1，E 为 BC 中点（）求证：C 1DD 1E；（）在棱 AA1 上是否存在一点 M，使得 BM平面 AD1E ? 若存在，求 的值；M若不存在，说明理由；（）若二面角 B1-AE-D1 的大小为 90，求 AD 的长OEDCBA21（本题满分 12 分）设函数 ，其中 1ln2xaxf 0a（）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；fy（）试讨论函数 极值点的个数；f（）求证：对任意的 ，不等式 恒成立*Nn312lnn请从下面所给的 22 , 23 ,2
7、4 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 .22 (本题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 已知 AB 是半圆 O 的直径，AB=4，点 C 是半圆 O 上一点，过 C 作半圆 O 的切线 CD，过点 A 作 ADCD 于 D，交半圆于 E，DE =1（）求证：AC 平分BAD；（）求 BC 的长23 (本题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，xoyx半圆 C 的极坐标方程为 2sin,0,.2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（）中:32
8、0lxy的参数方程，确定点 D 的坐标24 （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲（）已知不等式 的解集是 ，求实数 的值；28xt54xt（）已知实数 满足 ，求 的最大值,yz2219yzyz哈师大附中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、 15、（3，0） 16、 2117（1）当 时，由 ，得 ，相减得： n191nnSa109nSanna10当 时， ， ，1120)(*1Nnn， ，又nnnaalg)0lg(l1 lgl1nna1lga是首项为 1，公差为 1 的等差数列. 6nl L（2）
9、 ，则 = 2bn 1123nTn2n12L18、解：（1） 2()cos3incos213sin2fxxxsi()16x2L令 ， ， 对称中心为2,6xkZ,21kxZ4,1L令 ，22,6kxkZ,36kxkZ增区间： 6,3 LED CBAD1 C1B1A1MNzyxMA1 B1 C1D1A BCDE（2 ） ， ，()2sin136fCsin216C， ， 80Q, L，2222cos33cabababab1,23Qc， ，且 ， 3,12L19、解：（1） 2,1,60,oQPADPA， ，2 cs3D3D22PAD，又 平面 ，平面 平面 ，平面 平IBC面 ， 平面 ABCPA
10、BC6L（2 ） ， 以 分别为 轴， 轴 ， 轴，建立空间直角坐标Q,DPxyz系，设平面1(0,)(,)(0,)(3,0)2DPEB1(,)(3,10)2ururEDB的一个法向量为 ，则 ，令 ，B(,)rnxyzzxyx(,23)rn，设直线 与平面 所成的角为 ， ， 直23cos,14urDPPDBEsi2线 与平面 所成的角为 BE60.o12L20方法一：证明：（1）连 D1C，长方体中，EC平面 DCC1D1，ECDC 1AB=AA 1，正方形 DCC1D1 中，D 1CDC 1又 EC D1C=C， DC 1平面 ECD1D 1E 面 ECD1，C 1DD 1E 4L解：（
11、2）存在点 M 为 AA1 中点，使得 BM平面 AD1E证明：取 A1D1 中点 N，连 BM，MN ，NBE 为 BC 中点，ND 1 BE四边形 BED1N 是平行四边形，BN D 1E又 BN 平面 AD1E，D 1E 平面 AD1EBN平面 AD1EnnnnmmMN AD1，MN 平面 AD1E，AD 1 平面 AD1E2MN 平面 AD1EBNMN=N，平面 BMN平面 AD1EBM 平面 BMN，BM平面 AD1E此时， 812AML方法二：证明：（1）以 D 为原点，如图建立空间直角坐标系 D-xyz，设 AD=a，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，B
12、1(a,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E( ,1,0)，2 ， ，C 1DD 1E 411(0,),)2CEurur 0EurL解：（2）设 ，则 ， ，1AMh(,ah(0,1)Mhr，(,0),01)aEDurur设平面 AD1E 的法向量 ，则 ， (,)xyz102aAExyDzur平面 AD1E 的一个法向量 (2,)aBM平面 AD1E， ，即 ，BMur20ahur12即在存在 AA1 上点 M，使得 BM平面 AD1E，此时 81AML解：（3）设平面 B1AE 的法向量 ，(,)xyz(,0)(,1)2aBurur则 ，平面 B1AE 的一个法向量 1
13、02aAEyzur (,)a二面角 B1-AE-D1 的大小为 90， ， 240a0，a=2 ，即 AD=2 12L21解：（1）当 时， ，则 ，1l2xxf 1 xf0f曲线 在原点处的切线方程为 2xfy xyL（） ，令1,212 xaxaxf 1,2xaxg当 时， ，所以 ，则 ，所以 在 上为增函1a0gf f,数，所以无极值点；当 时， ，所以 ，则 ，所以 在 上为增函2xxfxf,1数，所以无极值点；当 时， ，令 ，则 ，21a0xf211a212ax当 时， ， ，此时有个极值点；2,1 ,当 时， ， ，此时有个极值点；0a,1x,0x综上：当 时，无极值点；2当
14、时，有个极值点；当 时，有个极值点； 8 0a L（）对于函数 ，令函数2ln(1)fxx332()ln(1)hxfxx则 ， ，所以函数322 ()3hx 0,)0h当 时 ，在 上单调递增，0,)又 时，恒有(,(0,)x()hx即 恒成立.23ln1x取 ，则有 恒成立，321n即不等式 恒成立. 12312lnnL22.解：(1)连接 OC, 因为 OA=OC,所以OAC=OCA因为 CD 为半圆 O 的切线, 所以 OCCD,因为 ADCD,所以 OCAD,所以OCA= CAD,OAC=CAD,所以 AC 平分 BAD 5 分 (2)连接 CE,有(1)知OAC=CAD, 所以 BC
15、=CE.因 A,B,C,D 四点共圆, 故ABC=CED,因为 AB 是半圆 O 的直径, 所以 ACB 是直角,RtCDE 相似于 RtACB,DE:CE=CB:AB,BC=2. 10 分23. 解 (I)半圆 C 的普通方程为; 20,1,xyx2 分半圆 C 的参数方程为 5cos,1in.2xy为 参 数分(II)设点 D 对应的参数为 ,则点 D 的坐标为 且cos,1in,2由(1)可知半圆 C 的圆心是 C(0,1),因半圆 C 在 D 处的切线与直线 垂直,故直线 DC 的斜率与直线 的斜率相等,l l8 分(1sin)33,tanco即 ,26所以点 D 的坐标为 10,2分24.解 (I) 8,0,8xttt得 所 以 824x由 的解集是 得fx5,45,1t(II)由柯西不等式得 22 21934yzyzxxyzA228,727xyzx当且仅当 即 ,30124949yzyzx0且亦即 时( ),77xyzmax7
