1、绝密启用2016 年第四次全国大联考【新课标卷】文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合 ， ,则 = （ 2|80AxxZ21(,|xyB()ABR）A. B. C.-1,2,3 D.-1,1,2,3(2,(1,4)13(2,(,4)2. 已知复数 z 的共轭复数为 ，且满足 ，其中 是虚数单位，则复数 z 的虚部z2i(izi为 （ ）A. B. C. D.6136131731733 . 下列函数既是奇函数又在（-1,1）上是减函数的是 （ ）A. B. C. D.xy
2、tan1xyxy2ln)3(1xy4. 已知命题 ： 是假命题，则实数 的取值范围为 （ pa5),32( a）A. ,+ ） B. C.（6，+） D.52），（ 9 52,(5. 执行如图所示的程序框图，输入 p10，则输出的 S 为 （ ）A-66 B12 C10 D166. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A. B. 38216C.24+ + D.216387.已知函数 = 的部分图象如图所示，)(xf)sin(A(0,|)2则 的单调增区间为 ( )coyA. ， B. ， 2,36kZk3,1kZC. ， D. ，1,5 6,58.已 知 、 分 别 为
3、 双 曲 线 （ ， ） 的 左 、 右 焦 点 ， P 是 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， 线 段1F22xyab0b与 以 该 双 曲 线 虚 轴 长 为 直 径 的 圆 相 切 于 点 M， 且 切 点 M 为 线 段 的 中 点 ， 则 该 双 曲 线 的 离P 2F心 率 为 （ ）A B5 C D35 529.在 中， , ， 成等比数列，则角 的取值范围是 ( )CsinAsinAA. B. C. D.(0,3(06,)6,10.已知函数 = （ ）的两个零点分别在区间（ ，1）和（1,2）内，则)fx2ab,R2的最大值为 （ zab）A.0 B. C. D.-641431
4、1.已知球 O 的体积为 ，则该球的内接圆锥的体积的最大值为 （ 36）A. B. C. D.32173231712.已知函数 = 恰有两个零点，则实数 的取值范围为 （ )(xfax2lna） A.（-，0） B.（0，+） C.（0,1）（1，+） D.（-，0）1第卷（共 90 分）外装订线请不要在装订线内答题内装订线二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量 是非零向量， ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 .ba, 2|a)(baa14. 已知数列 中， ， ，则数列 的前 20 项n121 *,)nnnN是 奇 数 （是 偶 数 n和为 .
5、15. 已 知 是 抛 物 线 上 一 点 ， 是 该 抛 物 线 的 焦 点 ， =5， 则 以 为 直 径 ,的 圆Pxy42F|PF的 标 准 方 程 为 .16.已知函数 = 的图象关于直线 对称，则函数 的值域为 .)(xf )(12ba3x)(xf三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 .anS2()na*N（）求数列 的通项公式；na（）若 = ，求数列 的前 n 项和 .b)1(log221nbT18. （本小题满分 12 分）中央政府为了应对因人口老龄化而
6、造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策” ，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在 1565 的人群中随机调查 50 人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（）由以上统计数据填下面 2 2 列联表，并问是否有 90的把握认为以 45 岁为分界点对“延迟退休”政策的支持度有差异；（）若从年龄在45，55） ，55，65 的被调查人中各随机选取 1 人进行调查，求 选中的 2 人中恰有 1 人支持 “延迟退休年龄政策 ”的概率参考数据：19. （本小题满分 12 分）如图，在直角三角形 ABC 中，BAC=6
7、0，点 F 在斜边 AB 上，且 AB=4AF，D ，E 是平面 ABC同一侧的两点，AD平面 ABC，BE平面ABC，AD=3，AC=BE=4.()求证：CD EF ；()若点 M 是线段 BC 的中点，求点 M 到平面 EFC 的距离. 20. （本小题满分 12 分）已知 、 分别是离心率为 的椭圆 ： 的1F221E)0(12bayx左、右焦点， 是椭圆 上一点，线段 的中点为 ， （O 为坐标原点）的周E1NF1长为 3.()求椭圆 的标准方程；()过 作与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点， ，若 ，求实数1FxlBA,)0,(mQ|QBA的取值范围.m21. （本小题满分 12
8、分）已知函数 （其中 ）.2()xfee2.718L()求 在 处的切线方程；)xf)1(,f()已知函数 ，若 ，则 ，求实数21ln()ln+gaf ax0)(xg的取值范围.a请 考 生 在 第 22， 23， 24 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 22 （本题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，点 P 是ABC 的外接圆 O 在 C 点的切线与直线 AB 的交点（）若ACB APC，证明： BCPC；（）若 D 是圆 O 上一点，BPC=DAC，AC = ，AB= ，PC4，求 CD 的长 223. （本题满分
9、10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ：xyx C=0，直线 过点 M(0,4)且斜率为-2.2sin4cosl（）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线 的标准参数方程；Cl（）若直线 与曲线 C 交于 、 两点，求 的值 .lAB|A24. （本小题满分 10 分）选修 41：不等式选讲() 若 , ,均为正数，且 .证明： ；abab1()9ab()若不等式 的解集为 ，求实数 的值.2|3|x|xa2016 年第四次全国大联考【新课标卷】文科数学参考答案第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12
10、 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【命题意图】本题主要考查函数的定义域、值域及集合运算，考查运算求解能力，是基础题.【答案】C2. 【命题意图】本题主考查复数的概念及复数的运算，考查运算求解能力，是基础题.【答案】D【解析】由题知 = = = ，所以 z= ,其虚部iz32)(i4)32(i617i617i3为 ，故选 D.1733 . 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查运用数学基础知识解决问题的能力，是基础题.【答案】C【解析】 是奇函数，但在（-1,1）上是增函数，故 A 不符合题意； 是奇函xytan 1x
11、y数，但在（-1,1）上不是单调函数，故 B 错； = 是奇函数，xy2ln)2ln()l(且在（-1,1）上是减函数，故 C 符合题意； 是奇函数，但在（-1,1）上是增)3(1xy函数，故选 C.4. 【命题意图】本题主要考查全称命题的否定、命题真假的应用、基本不等式，考查运算求解能力，是基础题.【答案】A【解析】 由题意知 ： 是真命题，即 ： 是真paxx5),32( pxax5),32(命题，即 （ ） ，因为 ，当且仅当 即min)5(xa52时取等号，所以 ，故选 A.x2a5. 【命题意图】本题主要考查简单程序框图，考查运算求解能力，是基础题.【答案】B【解析】第 1 次执行循
12、环体： =0-2+10=8 =0，是，10nSA= =8， =1 =10，否， = =2，ASnp2第 2 次执行循环体： =8-4+10=14 =8，是， = =14， =2 =10，否，Snp= =4，第 3 次执行循环体： =14-8+10=16 =14，是， = =16， =4 =10，否，102nSA= =8，n2第 4 次执行循环体： =16-16+10=10 =16，否， =8 =10，否， np= =16，第 5 次执行循环体： =10-32+10=-12 =16，否， =16 =10，是，此时跳102nSA出循环，输出， =-12，故选 B. 6.【命题意图】本题主要考查简单
13、几何体的三视图及其表面积的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是基础题.【答案】C外装订线请不要在装订线内答题内装订线7.【命题意图】本题主要考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，是基础题.【答案】A【解析】由五点作图法知， ，解得 ， ， ，所以32132A，令 ， ，解得 ，)2cos(xy kxkZ6kxk，所以 的单调增区间为 ， ，故选 A.Zk)cs(Ay 2,36Z8.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与性质，考查运算求解能力，是基础题.【答案】A【解析】有题意知|OM|= ，且 OM ，连接 ，则| |= ， ，由双曲b2PF11PF2b21PF线
14、定义知| | | |= ，| |= ， + = ，即1PF2aba|2|，即 = = ，即 = ， = =22()(bac2c22acba， = ，故选 A.5e9.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，是中档题.【答案】A【解析】 , ， 成等比数列， = ， ，sinBAsinC2sinAiBsnC2abc = = = （当且仅当 时，取等号） ，co22bca2bcbc1bc，0A ，故选 A.310.【 命题意图】本题主要考查考查函数零点、二次函数的图象与性质、简单线性规划的解法，考查转化与化归思想，运算求解能力，是中档题.【答案】B11.【命题意图
15、 】本题主要考查球的性质、球的体积公式、圆锥的体积公式、球与圆锥的切接问题、导数的应用，考查空间想象能力、运算求解能力，是难题.【答案】C【解析】设球内接圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，由球的体积公式可求得球的半径rhV为 3，由球的截面性质知， ，平方整理得， ，由 得，32226hr0r，所以 = = ， 所以60hVhr231)0)(6(= = ，当 时， 0，当 时， 0，所以V)4(2h)4(40hV64hV在（0,4）上是增函数，在（4,6）上是减函数，故当 =4 时，31606 h= ，故选 C.max212.【 命题意图】本题主要考查函数零点、利用导数研究函数的图象与性质
16、等综合问题，考查转化与化归思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题.【答案】C第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 【命题意图】本题主要考查平面向量垂直的充要条件、平面向量数量积的应用，考查运算求解能力，是基础题.【答案】-1【解析】 ， ， = ， =-2|a)(ba)2(ba0|2ba2|1a2，向量 在向量 方向上的投影为 =-1.b|14. 【命题意图 】本题主要考查等比数列、等差数列的定义与前 n 项和公式及分组求和思想，考查运算求解能力，是基础题.【答案】1123【解析】由题知数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列 是首
17、项为 1，公差na2 12na为 2 的等差数列，故数列 的前 20 项和为 =1123. 10)9（15. 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、圆的标准方程，考查运算求解能力，是基础题.【答案】 2222555()()()()44xyxy或16.【命题意图】本题主要考查函数的对称性、函数的值域，考查转化与化归思想、数形结合思想、运算求解能力，是难题.【答案】-36,+）【解析】由题知 ，因为函数 的图象关于直线 对称，所以0)1(,)(ff )(xf 3x且 ，即 ，解得 ，所(7)10f50524798ba（ 5,12ba以 = = = ，x)32)(2x)()1(xx )76)(2xx
18、设 （ ） ，则 = （ ）= -36，故函数的6tttf6tt3t值域为-36,+）.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、裂项相消法求和等，考查转化与化归思想、运算求解能力，是基础题.【解析】 （）当 n=1 时， ，解得 ，121aS1当 时， = = ，2na)(nn即 ，2 分1即 ，)(nn外装订线请不要在装订线内答题内装订线 ， ，021a01na 是首项为-2 ，公比为 2 的等比数列，4 分n = ，n18. 【命题意图】本题主要考查总体估计、独立性检验
19、、古典概型，考查阅读理解能力、运算求解能力，是基础题.【解析】()由频率分布直方图知，被调查的 50 人中年龄在 45 岁以上的人数为（0.01+0.01)1050=10，年龄在 45 岁以下的人数为 50-10=40，其中 45 岁以上支持“延迟退休”的人数为 3，45 岁以下支持 “延迟退休 ”的人数为 25，2 分2 2 列联表如下：年龄 45 岁以下人数 年龄 45 岁以上人数 合计支持 25 3 28不支持 15 7 22合 计 40 10 504 分2.7065 分2250(7153)48K49.所以有 90%的把握认为以 45 岁为分界点对“延迟退休年龄”政策的支持度有差异.6
20、分()由频率分布直方图知，被调查的 50 人中年龄在45,55)之间和年龄在55,65)之间的人数都为 0.011050=5，其中年龄在45,55)之间和年龄在55,65)之间支持“延迟退休”的人数分别为 2，1，设调查的 50 人中年龄在45,55)之间不支持“延迟退休”政策的人为 ，1A， ，支持“延迟退休”政策的人为 ， ，年龄在 55,65)之间不支持“延迟退休”A3 1B2政策的人为 ， ， ， ,支持“延迟退休”政策的人为 ， 8 分4A567 3B从年龄在45，55） ，55 ，65 的被调查人中各随机选取 1 人，有 ， ， , ，1A415A , ， , ， , ， ， ，
21、, ， , ， , ， ,161713B2A42526272， , , , , , , , ， ， ， , , , , ,3BA4356373B141B51, , ， ， ， , , , , , , , ， ， ，共6171242526A2723有 25 种不同取法，其中选中的 2 人中恰有 1 人支持“延迟退休年龄政策”的取法有 , ，1A , ， ， ， , ， , , , , , ， , , , ,2A3B31B4A51B6172B425 , , , ， 共 11 种不同取法，10 分627故选中的 2 人中恰有 1 人支持“延迟退休年龄政策”的概率为 . 12 分2519. 【命题意图
22、】本题主要考查空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力及运算能力，是中档题.()设点 M 到平面 CEF 的距离为 ，取 CF 的中点 N，连接 MN，MF.dM 为 BC 的中点，MN ，BF21/由()知，CF平面 ADF，BF=6， ，3CCFAB，CFEF ，MNCF，MN=3，在 RtFBE 中， BE=4，BF=6，EF= = ， 9 分2BFE13 ，ECFMCFEV即 ，dEFBN213213 = = ，d46点 M 到平面 CFE 的距离为 . 12 分1320.【 命题意图】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及直线与椭圆的位置
23、关系，考查运算求解能力、逻辑思维能力，是难题.外装订线请不要在装订线内答题内装订线21. 【命题意图】本题主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、导数的综合应用，考查运算求解能力、转化与化归思想，是难题.【解析】() 由题意得 ， ，1()+2xfeef1)( 在 处的切线斜率为 ，xf)1(,f )(f 在 处的切线方程为 ，即 . 4 分)( y0yx()由题意知函数 ，1()ln+gxaxa所以 = = ， 6 分21 2)(2)1(x若 ，当 时， ，所以 在1,+ ）上是减函数，故 =0； 0ax0)xg)(xg18 分若 ，则 ，当 时， 0 ，当 时， 0，所以 在1aa1)(a
24、（1 ， ）上是减函数，在（ ，+）上是增函数；故当 时， =0； aa1ax1)(xg110 分若 ，则 ，当 时， ，所以 在1,+）上是增函数，所以0x0)(xg)(g =0；)(xg1所以实数 的取值范围为1，+）. 12 分a请 考 生 在 第 22， 23， 24 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 22 （本题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲【命题意图】本题主要考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等平面几何知识，考查推理论证能力，是容易题.【证明】 （）由弦切角定理知，ABC =ACP，ACBAPC
25、， ACBAPC，BAC=CAP，BAC+CAP= ，180BAC=CAP=90，BC 是圆 O 的直径，又 PC 是圆 O 的切线，BCPC. 5 分（）由切割线定理知， ，即 ，PBAC2 )2(42PA即 ，解得 （负值舍去） ，0162PA由弦切角定理及同弧所对的圆周角相等知，ACP=ABC=CDA，BPC=DAC， CADAPC， ， = . 10 分CDA2)(AP24. （本题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，是基础题.直线 的标准参数方程为 ( 为参数）.5 分l 24xty（）由（）知直线 的标准参数方程为 ( 为参数） ，代入 整理得l 524+xty24yx，6 分250tt设 点对应的参数分别为 ， ，则 ，8 分BA, 1t2 20,5121tt则 = = = = .10 分|21t()4()4324. （本小题满分 10 分）选修 41：不等式选讲【命题意图】本题主要考查简单不等式的证明、基本不等式的应用、含绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题.
