1、绝密启用前2016 年第四次全国大联考【新课标卷】理科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 （ ）2,1,4A2|log|3,ByxABA B C D,0,0111,02如果复数 为纯虚数，则 （ ）()i()aRaA B C D23已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ）:1xpe2:log0qxpqA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图,输出的 值为（ ）sA. B. C.4 D.5103开始 ,sk?5k1ks2输
2、出 s结束否是5已知各项都为正的等差数列 中， ，若 成等比数列，na23415a1362,41a则 （ ）来源:10aA B C D906. 已知非负实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）,ab2+2ab+A B C D1,5,63,7 展开式中常数项为（ ）2(3)x-A252 B240 C160 D160 8若直线 经过曲线 的对称中心，则10(,)axbyab+-=1sin(3)(0)42yxxp=+F角为 的直线 交抛物线于 两点（点 在第一象限）al,A，且 ，则 （ ）来源:来源:学+科+ 网2AFBcos2aA B C D53793511四棱锥 的五个顶点都在球 的表面上，底面
3、为矩形， ， P-OABCD3=且 ， ，则球 的表面积为（ ）4C=A3PBp=A B C D173p5201712已知函数 ，存在 ， ，则22ln,eexf123x123fxffx321fx的最大值为（ ）A B C D12e1ee2e第卷（共 90 分） 来源:Z，xx，kCom来源:外装订线请不要在装订线内答题内装订线二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为_2yx2yx14已知 ， ，若 ，则 _.(1,)a=(1),b/()-ab+=a15设函数 在 处取极值，则 = xfsin0020cos)1(x16.平面直角
4、坐标系中有两定点 ，动点 满足 ，则点 到直线(,)3,OAMAOM的距离不大于 1 的概率为 来源:学科网210xy+=三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17. （本小题满分 12 分）在 中，用 所对的边分别为 函数ABC , ,cba的图象关于 对称()2cos()cos()fxxAxR6x（I）把函数 的图象向右平移 个单位，再纵坐标不变横坐标缩短到原来的 后得yf412到函数 的图象，求函数 的解析式()gx()ygx（II）若 且 ,求 的面积7a13cbABC18. （本小题满分 12 分）为了迎接班级组织的体育兴趣小组间的投
5、篮比赛，体育课上某小组内甲、乙两位同学进行投篮训练，甲投了 次，乙投了 次.甲和乙投篮命中率分别为 、2323，每次投篮是否命中互不影响，在这 5 次投篮中：12（I）求甲都命中且乙命中 2 次的概率；（II）求该小组内甲乙投篮命中总次数 的分布列与期望.19.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， 平面1ABC1A， ， . ABC112（）求证：平面 侧面 ； ABC1（）若直线 AC 与平面 所成的角为 ,求锐二面角 161ACB的大小.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ， 左、右焦点分别2:10xyCab12为 ，点 在椭圆 上，且 ， 的面积为 12,FM12F
6、M=1F 3（）求椭圆 的标准方程；C（）过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为,0l,ABxNAB定值？如果有，求出点 的坐标及定值；如果没有，请说明理由N21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()2)ln(1fx（I）当 时，证明： ；0x1()f（II）当 ，且 时，不等式 成立，求实数 的值1x()()kxfxk请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22.（本题满分 10 分） 选修 ：几何证明选讲41如图，在 中， ， 的外接圆交 于点 ， .ABCADE2CBEA
7、C2(I)求证： 是 的角平分线；D(II)当 ，求 的长.来源:6,323. （本题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点为xOy极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为x1C，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，射线 ，4sin2 cosinxmtyt0， 与曲线 交于（不包括极点 ）三点 41O,ABC（I）求证： ；|2|OBCA（II）当 时， 两点在曲线 上，求 与 的值512,2m24. （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲C1B1A1 CBA EDCB已知 ()21fxax（I）当 时，解不等式 ；a()4
8、f（II）若函数 有最小值，求实数 的取值范围()fx2016 年第四次全国大联考【新课标卷】理科数学参考答案第卷（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力【答案】C【解析】当 时， ，所以 ，故2,1,4x2log|3,21yxAB2,1选 C2 【命题意图】本题考查复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力【答案】C【解析】由已知得 ，且 ，解得 ，故选 C(1)0aa13 【 命题意图】本题考查充要条件、指数不等式和对数不等式解法等基础知识，意
9、在考查基本运算能力 【答案】B4 【命题意图】本题考查程序框图等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力来源:Z,xx,k.Com【答案】A【解析】程序在执行过程中， 的值依次为 ； ； ；,ks1,ks=,2k=0,3sk； ，程序结束，输出的 值为 ，故选 A3,4sk=-10,5s-=05 【命题意图】本题考查等差数列通项公式和性质、等比中项等基础知识，意在考查运算求解能力【答案】A【解析】设等差数列的公差为 ，且 d0 ， 23415a3a 成等比数列，16, ，231()() ，3916)ad ，解得 或 （舍去） 2(7)2d1 ，故选 A103596. 【命题意图】本题考查线性规
10、划、点到直线距离等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和运算求解能力【答案】C外装订线请不要在装订线内答题内装订线aba+=2a+2b=0BA12341343434O7 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查运算求解能力【答案】B【解析】由已知得 ，分子 展开式的 项为255(3)(1)2xx-+-=5(1)2x-x，故 展开式中常数项为 ，故选1451455C()()C0-25(3-+40-B8 【命题意图】本题考查基本不等式、三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查基本运算能力【答案】B【解析】令 ，则 （ ） ，由于 ，故 ，所以对3(Z)4xkp+=132kx=-Z102x
11、4=称中心为 ，由已知条件得 ， ，当且仅当 ，即1(,)2aba+8bab时取等号，故选 B. 2ab9 【命题意图】本题考查三视图、几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力【答案】C【解析】由题意知该几何体是放倒的圆柱，底面半径为 1，高为 2，右侧是一个半径为 1 的四分之一球组成的组合体，则该几何体的体积为 ，故选 C2347+=pp10 【命题意图】本题考查直线和抛物线位置关系、抛物线定义、三角恒等变形等基础知识，意在考查转化与化归思想、运算能力【答案】Cxy-p2p2x2=pyEB1 A1BAFO11 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球表面积、直线和平面垂直的判定等
12、基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力【答案】C【解析】因为 ，则 平面 ，将四棱锥补成为直三棱柱,BCABCAPPAB,则四棱锥 的外接球与三棱柱 的外接球相同，三棱柱如图APDE-PD- DEC-所示，取 底面外心 ，连接 ，并取 中点 ，则点 为其外接 的 ,MNMNO球球心，连接 ，在 中，由正弦定理得 ，则,OBRtB 32=2sinABP，又 ，故球 的半径 ,则球 的表面积为1M=225O=+=O，故选 C240RpONMEPD CBA12 【命题意图】本题考查分段函数的图象、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力来源:Z_xx_k.
13、Com【答案】C第卷（共 90 分）来源:Z，xx，kCom二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 【命题意图】本题考查定积分、一元二次方程等基础知识，意在考查运算求解能力【答案】 来源:学& 科&网29【解析】联立 ，解得交点坐标分别为 ，由定积分的几何意义得，来源:2yx=+ (2,4)1,-22231119()d()Sx14 【命题意图】本题考查平面向量的线性运算、模等基础知识，意在考查运算求解能力【答案】 35215 【命题意图】本题考查函数的极值、同角三角函数基本关系式等基础知识，意在考查转化与化归数学思想和运算求解能力【答案】 1【解析】因为 ，又函数
14、在 处取极值，所以()sincosfxx=+xfsin)(0，从而00000 coisi)(xf 0coi020cos)1(x1sco1s)coin(10202020 xx16.【命题意图】本题考查轨迹方程、点到直线距离公式、几何概型等基础知识，意在考查运算求解能力【答案】 12【解析】设动点 ，由题意得 ，化简得 ，故(,)Mxy22(3)xyxy-+=2(1)4xy+=动点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，圆心 到直线 的距离10- (1,0)- 0外装订线请不要在装订线内答题内装订线为 ，且圆的半径为 ，故满足条件的点 在半圆上，故点 到直线21d=2M的距离不大于 1 的概率为 0x
15、y+12P=xy-11x+y2+1=01O三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17. 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数图象变换、三角函数图象和性质、余弦定理和面积公式等基础知识，意在考查运算求解能力因为函数 的图象关于 对称，所以 （ ） ，得()fx6x26AkZ又 ，所以 .3AkZ（ ） 0A3所以 ，将函数 的图象向右平移 个单位得到32cosxf ()yfx4，再纵坐标不变横坐标缩短到原来的 后得()s(46yp5p=-=- 12)cos6gx5(II）由余弦定理得 .22cosaAb所以 ，又因为 ， ，所以 .2s1b
16、c13c740bc则 ABCS30in18. 【命题意图】本题考查独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验、离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，意在考查运算求解能力和分类讨论思想以及分析问题的能力（II） 的可能的取值： ， ， ， ， ， 012345，07PAPB，110712，02 0192 72PAB同理： ， ， ，537P49P58的分布列为012345P17272192572918.6E19.【命题意图】本题考查直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定以及直线与平面所成的角、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力【解析】 （）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
17、1ABCABC1B1AC， 平面 ， 平面 ，故 平面 ，又1AB=111平面 ，所以平面 侧面 C1（）由（I）知 且 ，所以以点 为原点，以 所在直AC1BAC、B1CBA、线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设 ，则 ，,xyzxyza(0,2)， ， ， ， ， ， (0)B(0,)a1(,2)(,0)a1(0,2).设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：1,2AABC1nxyz1BCn1A令 ，得 ，则 .设直线 与 所成的角0xyz1y0,xz1(0,)1BC、为 ，则 ，得 ，解得 ，即 , =612sin4ACa-p=+ 2a(,20)A又设平面 的一个法向量为 ，同理
18、可得 ，设锐二面角 的大小为1AC2(1,0)n1CB，则 ，且 ，得 , 锐二面角112cos,n,23的大小为 . -12 分.1B3zy xC1B1A1 CBA20.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程及其简单几何性质、直线和椭圆位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想以及运算求解能力（）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，l 1ykx12,AyBx22234134840xykxk则 ， .22=(8)()1)021283kx2143kx若存在定点 满足条件，则有,0Nm2 212112112ABxymxkx22 22248343851kkkmk外装订线请不
19、要在装订线内答题内装订线如果要上式为定值，则必须有2485413138m验证当直线 斜率不存在时，也符合l故存在点 满足 12 分1,08N564ANB21. 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题和解决问题的能力（II）原不等式等价于 (1)lnxkx当 时， ；当 时， 0x0l()x00ln(1)x不等式可化为 21nl()kx令 来源:Z&xx&k.Com2()gxx令 ln(1),mk1()2mxk当 时，有 0xx令 ，则 ，故 在上 是减函数，即 21k()0()g0,)()0gx因此 在 上是减函数，从而 ，()g,(xg所以，当 时，对于 ，有 .2k
20、0x21)ln()k当 时，有 10x1令 ，则 ，故 在 上是增函数，即 21k()0mx()gx1,0)()0gx因此， 在 上是减函数，从而， g,()0x所以，当 时，对于 有 .2k10x2)ln(1)k综上，当 时，在 ，且 时，不等式 成立12()2()1kxfx分请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22.【命题意图】本题考查圆的内接四边形性质、割线定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑推理能力(2)因为 ，所以 ，设 ，则 ， ，根据割线定理得=3AC2=6BACDt2BEt=62Ct+
21、， ，解得 （负值舍去） ，则 BDE()()tt-+33AD=ED CB A23. 【命题意图】本题考查圆的极坐标方程和直线参数方程等基础知识，意在考查运算求解能力【解析】 （I）依题意 ， ， |4sinOA|4sin()B|4sin()OC则 |i()()BC2co)2(sinco)2si|A（II）当 时， 两点的极坐标分别为 ， 化为直角坐标为512,BC2(3,)(,6， 是经过点 且倾斜角为 的直线，又因为经过点 的直线方程(3,)()B2(,0)m,BC为 ，所以 yx53,624. 【命题意图】本题考查绝对值不等式解法、分段函数等基础知识，意在考查运算求解能力和数形结合思想的运算
