1、性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,一、行列式的性质,说明：行列式中“行”与“列”具有同等地位。凡是对“行”成立的性质对“列”也成立。,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证略,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个
2、行列式之和：,例如,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,二、行列式的计算,1定义 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2 上三角行列式,下三角，对角,利用行列式性质计算行列式,方法：,注意：,灵活运用用行列式性质化行列式为 上（下）三角形、对角形行列式计算.,避免分数运算，以减少运算过程中的错误.,记号：,例1,应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,将第 都加到第一列得,特点：其每一行的元素之和相等。,解,例5,证明,证
3、明,例6,一阶行列式|a|=a,例7计算,解,由此递推，得,如此继续下去，可得,例8 证明n阶级(n2)范德蒙行列式,现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立, 则,证明: 当n =2时, D2 = (a2 a1).,= (a2a1)(a3a1)(ana1),三、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,（2）,例5：解方程组：,当D=0, 我们以后再讨论。,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零（D=0）.,解：方程组的系数行列式是,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有唯一的解，即零解.,性质 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即,第i行,第j行,=0,关于代数余子式的重要性质,
