1、行列式determinant, 行列式的定义, 行列式的性质, 行列式的计算, 行列式的展开,计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),a,c,d,b,计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),a,b,d,c,计算平行四边形的面积,(a,b),(c,d),a,b,d,c,c,d,a,b,(a,b),(c,d),a,b,d,c,c,d,a,b,cd/2,cd/2,ab/2,ab/2,bc,bc,(a,b),
2、(c,d),a,b,d,c,c,d,a,b,cd/2,cd/2,ab/2,ab/2,bc,bc,平行四边形面积 = (a+c)(b+d)-2bc-cd-ab = ad - bc.,平行四边形的面积 = ad-bc,(a,b),(c,d),2阶行列式,函数 f 定义为：,函数 f 有4个变量。,将 f 记作下述两行两列的形式：,函数 f 定义为：,函数 f 有4个变量。例,通常我们把 f 记作下述两行两列的形式：,二阶行列式：,主对角线,副对角线,元素,定义：三阶行列式,例,计算三阶行列式的例子：,行列式的记号最早由英国数学家Cayley提出，发表于 Cambridge Mathematical
3、 Journal, Vol. II (1841), p. 267-271,解,例,计算三阶行列式的例子：,三阶行列式的几何意义,三阶行列式的几何意义,三阶行列式的几何意义,(a1,a2,a3),(b1,b2,b3),(c1,c2,c3),0,平行6面体的体积 =,补充：1 阶行列式,1 阶行列式就是那个数本身，注意在 1 阶行列式中的记号，|x| 不是 数 x 的绝对值。 如果上下文中既有1阶行列式，也有数的绝对值，那么我们在使用这些记号时就需要特别声明该记号到底是行列式呢，还是绝对值，以避免混淆。 通常我们并不会遇到 1 阶行列式。如果没有特别说明，|a|表示数 a 的绝对值。,n 阶行列式
4、-定义,方阵的行列式,设 A 为 n 阶方阵，则可以对 A 取行列式，记作 |A| 或者 det(A).,例,矩阵与行列式是不同的数学对象。 行列式是一个数，而矩阵是一个表。,例,n 阶行列式-定义,主对角线,副对角线,在没有特别说明的情形下，对角线就是指主对角线。,记号,记号,n阶行列式-定义,第1行,第2行,一共 n 行。,n阶行列式-定义,第1列,第2列,一共 n 列。,特点：, n 阶行列式是 n! 项的代数和，是一个数，正、负 项各占一半，即都是 n!/2 项。, 每一项的 n 个元素取自不同行不同列，即每行每列必需且只需取一个元素。, n 阶行列式中有 个元素。, n 阶行列式是
5、n! 项的代数和，是一个数，正、负项各占n!/2., 2 阶行列式的表达式有 2=2！项，1正1负。, 3 阶行列式的表达式有 6=3！项，3正3负。, 4 阶行列式的表达式有 24=4！项，12正12负。, n 阶行列式是n!项的代数和。, n! 有多大？, 其中, n 阶行列式是 n! 项的代数和。, 当 n 较大时，n! 是一个非常大的数字，因而按照定义来计算行列式就要作很多次运算。行列式中每一项都是 n 个数的乘积，也就是说要做 (n-1) 次乘法，那么行列式的计算一般来说总共要做 (n-1) n! 次乘法。, n 阶行列式是 n! 项的代数和,物理学家认为宇宙中粒子的总数大约为,按照
6、定义直接计算一个 100 阶的行列式是不可能的。,n 阶行列式-定义,是一个非负整数。,是一个 n 阶排列。,其中,为该 n 阶排列的逆序数。,n 阶行列式-排列,n 阶排列总共有 n! 个。 全部 3 阶排列，共 6 个：123, 231, 312, 132, 321, 213. 全部 4 阶排列，共 24 个： 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432
7、1.,对于数码 is 和 it ：,逆序数：一个排列中逆序的个数，,计算逆序数的方法：从排列的第一个数起，找出后面比此数小的数的个数，累加起来，则得逆序数。,例 求 132 、436512 的逆序数。,解,n 阶排列：,排列与逆序,大前小后叫逆序,记为,例 排列 (123n) 的逆序数为 0. 所有的数都按照自然顺序排列着。,全部的逆序为43, 41, 42, 31, 32, 65, 61, 62, 51, 52.,逆序数为偶数的排列称为偶排列，,132 是奇排列，,436512 是偶排列。,但 312是偶排列，,634512、436521是奇排列。,排列与逆序,逆序数为奇数的称为奇排列。,可
8、见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性。,定理 对换改变排列的奇偶性。,定理 当 n2 时, 在全部 n! 个 n 阶排列中，奇偶排列的个数相同， 都有 n!/2 个。,证明：令 X 表示全部偶排列构成的集合，Y 表示全部奇排列构成的集合。我们证明 X,Y 之间有一一对应关系，于是二者元素个数相同。 设 i1i2i3in 为一个偶排列，将其映射为i2i1i3in . 这个映射实际上就是交换排列的前两个元素。 容易证明如下几点： 1，这个映射将偶排列映射为奇排列。 2，单射。即不同的偶排列映射为不同的奇排列。 3，满射。即任意奇排列都是某个偶排列的像。,定理 若集合 X, Y 之间有一一
9、对应，则集合 X, Y 中包含的元素个数相等。,某些原始社会的人，计数能力极为有限，最多可以数到 3，超过 3 就只能称为很多、太多、数不清了，等等。 一个随之而来的问题：如果两个原始人要进行一项交易，比如说，约定一头牛换一匹马，现在他们有很多牛和马要相互交换，比如其中一个人有 6 头牛，但这个原始人自己不知道到底是多少头牛。那么，他们就不能数出 6 头牛和 6 匹马来作交易，因为他们不知道 6 这个数字。但是交易仍然可以进行。他们在每一头牛的前面放一匹马，这样 6 头牛前就有了 6 匹马。这些原始人不知道有几头牛、几匹马，但他们知道牛和马的数目是相同的。 事实上，这些原始人是在牛和马之间建立
10、了一个一一对应关系，于是知道二者数目相同。,n 阶行列式定义,2 阶：,3 阶：,n 阶：,1 阶：,几种特殊行列式：,例,解 由定义，,只有,上三角形行列式等于对角线上元素之乘积,类似可得：,特别： 对角形行列式等于对角线上元素之乘积,例,例,历史上，对行列式的研究始于18世纪中叶，早于矩阵。矩阵 (matrix) 这个词是英国数学家 Sylvester 最早使用的，他在1850年的一个学术刊物上最先使用了这个名词。行列式和矩阵在 19 世纪受到很大的注意，有上千篇的关于这两个课题的文章，现在成为了最基本的数学工具和语言之一。,行列式的书写方式并不是一开始就是我们现在看到的那样。两条竖线是由英国数学家 Cayley 在 1841 年引进的。,接行列式的性质,
