1、2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1已知集合 A=x|x23x+2=0，B=x|log x4=2，则 AB=（ ）A 2，1，2 B1，2 C 2，2 D22若复数 z=（a 2+2a3）+（ a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值是（ ）A3 B3 或 1 C3 或1 D13已知向量 =（1，3） ， =（ 2，m） ，若 与 垂直，则 m 的值为（ ）A1 B1 C D4直线 x+（a 2+1）
2、y+1=0（a R）的倾斜角的取值范围是（ ）A0， B ，） C0 ， （ ，） D ， ） ，）5若数列a n的通项公式是 an=（ 1） n（3n2） ，则 a1+a2+a10=（ ）A15 B12 C 12 D156已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A6 B8 C D37如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是 27，则判断框处应填入的条件是（ ）An2 Bn3 Cn4 Dn58已知集合 A=1，2，3，4，B=5，6，7 ，C=8，9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素
3、的集合，则一共可以组成多少个集合（ ）A24 个 B36 个 C26 个 D27 个9如图，已知点 P（2，0） ，正方形 ABCD 内接于O：x 2+y2=2，M、N 分别为边 AB、BC 的中点，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围是（ ）A1，1 B ， C2，2D ， 10已知双曲线： =1，左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|+| |的最小值为（ ）A B11 C12 D1611已知球 O 半径为 ，设 S、A、B 、C 是球面上四个点，其中 ABC=120，AB=BC=2，平面 SAC平面 ABC，则棱锥 SABC
4、的体积的最大值为（ ）A B C D 312已知函数 f（x）=x 33x2+1，g（x）= ，则方程 gf（x）a=0（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设 a0，b0，若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 + 的最小值是 14在（x 2 ） 5 的二项展开式中，x 的一次项系数是 10，则实数 a 的值为 15设m表示不超过实数 m 的最大整数，则在直角坐标平面 xOy 上，则满足x 2+y2=50 的点 P（x，y）所成的图形面积为 16定义区间（c，d） 、 （c ，d、c，d
5、） 、c，d的长度均为 dc（dc） ，己知实数 p0，则满足不等式+ 1 的 x 构成的区间长度之和为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）17已知函数 f（x）= sin2xcos2x ， （xR）（1）当 x ， 时，求函数 f（x）的最小值和最大值；（2）设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c= ，f （C ）=0，若向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，求 a，b 的值18某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能
6、参加 5 次测试假设某学生每次通过测试的概率都是 ，每次测试通过与否互相独立规定：若前 4 次都没有通过测试，则第 5 次不能参加测试（）求该学生考上大学的概率（）如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测试的次数为 ，求变量 的分布列及数学期望 E19如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，AD=1，E 为 DC 的中点，现将DAE 沿 AE 折起，使平面 DAE平面 ABCE，连接 DB，DC ，BE （1）求证：BE平面 ADE；（2）求二面角 EBDC 的余弦值20已知 F1、F 2 分别为椭圆 C1： + =1（ab0）的上、下焦点，其中 F1 也是抛物线 C2：x 2=4
7、y 的焦点，点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点，且 |MF1|= （）求椭圆 C1 的方程；（）当过点 P（1，3）的动直线 l 与椭圆 C1 相交于两不同点 A，B 时，在线段 AB 上取点 Q，满足| |=| |，证明：点 Q 总在某定直线上21设函数 f（x）= +xlnx， g（x）=x 3x23其中 aR（1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点 P（1，f （1） ）处的切线方程；（2）若存在 x1，x 20，2 ，使得 g（x 1）g（x 2）M 成立，求整数 M 的最大值；（3）若对任意的 s，t ，2都有 f（s）g（t）成立，求实数 a 的取值范围选修 4-1
8、：几何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分）22选修 41：几何证明选讲如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，PA 是过点 A 的直线，且PAC= ABC（） 求证：PA 是 O 的切线；（）如果弦 CD 交 AB 于点 E，AC=8，CE ：ED=6：5， AE：EB=2 ：3，求 sinBCE选修 4-4：坐标系与参数方程23 （选做题）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin（+ ）= ，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数，r0）（）求圆心 C 的极坐标；（）当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为
9、 3选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|2x1|+|2x3|，xR（1）解不等式 f（x）5；（2）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1已知集合 A=x|x23x+2=0，B=x|log x4=2，则 AB=（ ）A 2，1，2 B1，2 C 2，2 D2【考点】并集及其运算【分析】先将 A，B 化简，再计算并集，得出正确选项【解答】解：A=x|x
10、 23x+2=0=x|（x 1） （x2）=0=1，2B=x|logx4=2=2AB=1，2故选 B2若复数 z=（a 2+2a3）+（ a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值是（ ）A3 B3 或 1 C3 或1 D1【考点】复数的基本概念【分析】由复数 z=（a 2+2a3）+ （a+3 ）i 为纯虚数，知 ，由此能求出实数 a【解答】解：复数 z=（a 2+2a3）+（a+3）i 为纯虚数， ，解得 a=1，故选 D3已知向量 =（1，3） ， =（ 2，m） ，若 与 垂直，则 m 的值为（ ）A1 B1 C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出向量 ，然后利
11、用向量垂直数量积为 0，求出 m 的值即可【解答】解：因为向量 =（ 1，3） ， =（ 2，m） ，所以 =（3，3+2m） ，因为 与 垂直，所以 （ ）=0 ，即（1，3）（ 3，3+2m）=0，即3+9+6m=0，所以 m=1故选 A4直线 x+（a 2+1）y+1=0（a R）的倾斜角的取值范围是（ ）A0， B ，） C0 ， （ ，） D ， ） ，）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程得 斜率等于 ，由于 0 1，设倾斜角为 ，则 0， 1tan0，求得倾斜角 的取值范围【解答】解：直线 x+（a 2+1）y+1=0（a R）的 斜率等于 ，由于 0 1，设倾斜角为 ，则
12、0， 1tan0， ，故选 B5若数列a n的通项公式是 an=（ 1） n（3n2） ，则 a1+a2+a10=（ ）A15 B12 C 12 D15【考点】数列的求和【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解【解答】解：依题意可知 a1+a2=3，a 3+a4=3a9+a10=3a1+a2+a10=53=15故选 A6已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A6 B8 C D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积，得
13、到最大值即可【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为 4，2，后面是等腰三角形，腰为 3，所以后面的三角形的高为： = ，所以后面三角形的面积为： =2 两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选 A7如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是 27，则判断框处应填入的条件是（ ）An2 Bn3 Cn4 Dn5【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情
14、况，可得答案【解答】解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）1=1；n=2，依次循环 S=（1+2 ）2=6，n=3；n=3，依次循环 S=（6+3 ）3=27，n=4，此刻输出 S=27故判断框处应填入的条件是 n3，故选 B8已知集合 A=1，2，3，4，B=5，6，7 ，C=8，9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（ ）A24 个 B36 个 C26 个 D27 个【考点】分步乘法计数原理【分析】从三个集合中取出两个集合，有 3 种情况，利用分步计数原理分别计算每种情况下各取出一个元素
15、，组成一个含有两个元素的集合的个数，再相加【解答】解：从三个集合中取出两个集合，有 =3 种取法，分别是集合 A、B；集合 A、C ；集合 B、C 当取出集合 A、B 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有 =12 个；当取出集合 A、C 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有 =8 个；当取出集合 B、C 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有 =6 个；集合 A、B、 C 的元素各不相同，一共可以组成 12+8+6=26 个集合故选 C9如图，已知点 P（2，0） ，正方形 ABCD 内接于O：x 2+y2=2，M、N
16、 分别为边 AB、BC 的中点，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围是（ ）A1，1 B ， C2，2D ， 【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先，根据 ，设 M（cos ，sin） ，N（sin ，cos） ，然后，写出向量=（cos 2，sin）和 =（sin ，cos） ，从而得到 =2sin，进而确定其范围【解答】解：设 M（cos，sin ） ， ， ，N（ sin，cos） ， =（ sin，cos） ， =（ cos，sin） ， =（cos 2，sin） ， =sin（cos2）+sincos=2sin，sin1，1 ，2sin2，2， 的取值范围是2，2故选：C10已知双曲线： =1，左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|+| |的最小值为（ ）A B11 C12 D16【考点】双曲线的简单性质
