1、2016 届辽宁省大连市八中高三 12 月月考数学（文）试题一、选择题1已知复数 则z（ ）(1)2,ziA、 B、 C、3 D、220【答案】B【解析】试题分析：由已知 ，所以 故选23zii310ziB【考点】复数的运算2若集合 ， ，那么 =（ ）2xAy2|0,BxxRAB（A） （B） （C） （D）0,31,33,0,13,【答案】C【解析】试题分析：由题意 ， ，所以|0Ay|或Bx故选 C|3x【考点】集合的运算3已知 （cos 40，sin 40） ， （sin 20，cos 20） ，则 等于（ abab）A1 B C D212【答案】B【解析】试题分析：由已知 故选 Ba
2、b 3cos40in2si40co2sin602【考点】向量的数量积的坐标运算，两角和的正弦公式4在等比数列中， ， ， ，则项数 为 （ ）1aq13naA3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析：由已知 ，解得 ，故选 C1()32n5【考点】等比数列的通项公式5已知向量 ，则“ ”是“ 与 b夹角为锐角”的（ (1,)(,)axb0xa）A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析： ， ， ，所以2(1)0abxx 12x5x在 时， 与 夹角为锐角， “ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不05且xab充分条件故选 C【考点】充分必
3、要条件，向量的夹角【名师点睛】（1）两个向量 与 的夹角为锐角，则有 0，反之不成立（因为夹角为 0，即两abab向量同向时不成立） ；（2）两个向量 与 的夹角为钝角，则有 ba，若向量（ab，1）和 （bc，1）平行，且 sin B ，当ABC 的面积为 时，mn 4532则 b（ ）A B2 C4 D2+3 3【答案】B【解析】试题分析：由 得 ，即 ，由 知 为锐/mnabcbacbaB角，所以 ，所以3cos422osB，即 ， ，由2616()55ac216()5c25c得 ， ，代入得 ， 故选 B1sinScB2a44b【考点】向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积11在平
4、面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点xOyPC2()5xy，其中 ，则线段 长度的最小值为（ ）Q(2,)aRaQA B C D553565【答案】A【解析】试题分析：显然点 是直线 上的点，圆心 ，(2,)Qa240xy(2,0)C半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，所以5C40xy65d长度的最小值为 故选 APQ65【考点】点到直线的距离【名师点睛】本题表面上考查两点间距离，实质上由圆的几何性质知，与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来，直线与圆相离时，圆心到直线的距离为 ，d圆半径为 ，则圆上的点到直线的距离的最大值为 ，最小值为 另外动点r drdr问题，要注
5、意的是动点必在某条曲线上，找到这条曲线后可借助曲线的性质分析、解决问题12已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，R)(xfy)(xfy0，若 ， ， ，则 的0)(xff 21a)2(fb)21lnlfccba,大小关系正确的是（ ）A B C D bcaca【答案】A【解析】试题分析：因为 是奇函数，所以 ，()fx2()(2bff，1lnl21lnl2c，设 ，则 ，ln2(l)f(ln2)f()gxf()()gxffx又 ，所以在 时， ，即此时 是 0x00g增函数，又 ，所以 ，即 故选 A10l21()ln2)(acb【考点】比较大小，奇偶性，导数与函数的单调性【名师点睛】
6、本题通过考查比较大小，考查函数的奇偶性与单调性，解题的关键是构造新函数 ，它的导数 可与已知条件联系起来，从()gxf()()gxffx而能判断出 ，即 是 上的增函数，利用增函数的定义比较出三数00,大小二、填空题13已知 ,则 的值为 sin2cos53tan【答案】 16【解析】试题分析： ，解得 sicst25n5o3an23tan16【考点】同角间的三角函数关系14已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值0,yx12yxmyx2范围为_【答案】 ),4(【解析】试题分析： ，当2142()xyxyxy428xy且仅当 时等号成立，所以 ，解得 4xy28m【考点】基本不等式，不等式恒
7、成立问题15已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 0,2log)(31xf 21)(afa【答案】 3,1【解析】试题分析： 时， ， ，当 时，0a13()log2fa1230()0a， ，综上所述 的取值范围是 1()2af0a31a【考点】分段函数指数不等式与对数不等式【名师点睛】分段函数“两种”题型的求解策略：（1）根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解（2）已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围16如图，F 1、F 2是双曲线 的左、右焦点
8、，过 F1的直线 与)0,(12bayx l双曲线的左右两支分别交于点 A、B.若 为等边三角形，则双曲线的离心率为 2BF【答案】 7【解析】试题分析：设 ， ，则 ，即ABm1Fn12()2AFmna，又 ，所以 ，在 中 ，2na212Fa4a1c，由余弦定理得 ，化16Am2()6()64os0c简得 ，所以 27c7cea【考点】双曲线的几何性质【名师点睛】1应用双曲线的定义需注意：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化
9、应用2凡是涉及到双曲线上的点到两焦点的距离时，一般要优先虑双曲线的定义，可以起到事半功倍的效果17设函数 21xxf（1）求不等式 的解集；（2）若 恒成立，求实数 的取值范围txfR2,t【答案】 （1） ；（2） 5或x1,5【解析】试题分析：（1）用分类讨论方法，让每个绝对值里式子等于 0，解得 值，x按这些值把实数分类，然后去绝对值符号；（2）先求 最小值（可作图象，也写()fx成分段函数形式求最小值） ，而题设不等式恒成立，则有 小于可等于这个最小21t值，解此不等式可得结论试题解析：（1）当 时，不等式化为-x-32，解得 x2，解得 x1，12，解得 x-1，x2，综上，不等式的
10、解集为15或x（2）由（1）得 ，若 xR， 恒成立，min2fx21fxt则只需 ，解得 ，综上，t 的取值范围为 in1ft151,52【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立三、解答题18已知函数 ， ，1cos2sin2)( xxaf 4)6(f（1）求实数 a 的值；（2）求函数 在 的值域。)(xf4,【答案】 （1） ；（2） 33【解析】试题分析：（1）这一题只要直接把 代入计算即可解得 值；（2）这6xa是三角函数的基本类型，方法是把函数化为一个角的一个三角函数，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为 ，然后再用正弦函数的性质解决()2sin()2fx问题试题解析：（1）由题意得
11、 ，即：2()icos1466fa，4253a解得： ； 。3的 值 为a（2）由（1）得： 1)2(cossin31cos2sin3)( xxxxf2)6sin(2cos2sin3xx，3,4,x令 ，则 ，6z 上 为 减 函 数在上 为 增 函 数在 322si zy，即4,)(,123)2sin( xfx则 4)(xf的 值 域 为【考点】二倍角公式，两角和的正弦公式，正弦函数的性质19对某校高中学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍 没有心理障碍 总计女生 10 30男生 70 80总计 20 110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别的关系？22()(nadbcK假设检验
12、中的临界值表： 20px050 040 025 015 010 005 002500100005000104550708132320722706384150246635787910828【答案】有 97.%的把握认为心理障碍与性别有关【解析】试题分析：根据总男生数，总女生数，总人数可分别计算填表，把数据代入题中给出的公式计算得 2K试题解析：有心理障碍 没有心理障碍 总计女生 10 20 30男生 10 70 80总计 20 90 110；2210(701)6.35.024389K所以有 9.5%的把握认为心理障碍与性别有关【考点】独立性检验20如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，
13、PA=2 ，BC=CD=2，ACB=ACD= （1）求证：BD平面 PAC；（2）若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC，求三棱锥 PBDF 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） 74【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，BD 与 AC 都在底面上，由 BCCD，ACB=ACD 可证得 BDAC，因此还要找一条直线与 BD 垂直，而题中有条件 PA底面 ABCD，则必有 PABD，与 BD 垂直的两条直线找到了，结论证得；（2）三棱锥 PBDF 的体积不易求，但可利用割补法，所求体积用三棱锥 PBCD 与三棱锥 FBCD 的体积相减得到，三棱锥 PBCD 的底面是
14、，高是 PA，三棱锥BCDFBCD 的底面也是 ，而高等于 ，这两个三棱锥的体积易求BCD18A试题解析：（1）证明：因为 BC=CD,所以BCD 为等腰三角形,又ACB=ACD,故 BDAC 因为 PA底面 ABCD,所以 PABD从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD平面 PAC（2）解：三棱锥 的底面 的面积P1sin2BCDSBCD12sin3由 PA底面 ABCD,得 13PBCDBVSA由 PF=7FC,得三棱锥 的高为 ,故F8P1132384FBCDBVSA所以 7PCDFBV【考点】线面垂直的判断，棱锥的体积【名师点睛】1证明线面垂直的常
15、用方法（1）利用线面垂直的判定定理.（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.（3）利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.（4）利用面面垂直的性质定理.2对于不规则几何体或底面、高不易确定的几何体常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解21已知定点 F（3，0）和动点 P（x，y） ，H 为 PF 的中点，O 为坐标原点，且满足2OH（1）求点 P 的轨迹方程；（2）过点 F 作直线 l与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，点 C（2，0） 连接 AC，BC 与
16、直线43x分别交于点 M，N试证明：以 MN 为直径的圆恒过点 F【答案】 （1） 2105xyx；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）求轨迹方程，最简单的是用定义法，本题中由已知条件，我们再取点 ，则有 ，可见 点轨迹是以 为焦点的双曲线(3,0)F4PFP,F的右支，由双曲线的标准方程易得方程；（2）要证明以 MN 为直径的圆过点 F，就是要证 ，即证 ，为此可设 ， ，本题是直线与MFN0F4(,)3Mm(,)Nn圆锥曲线相交问题，因此设直线 方程为 （为了表示斜率不存在的直线） ，ABxty同时设 ，把 代入曲线方程，由二次方程根与系数的关系12(,)(,)AxyBt可得 ， ，再
17、利用 共线，可求出 （用 表示） ，同理求出2,Fm1,xy（用 表示） ，下面只要计算 ，并把上面的结论代入，可得结果为 0，n,xyMN证得结论试题解析：（1）如图取 3,0F连接 P， 2OHF，4PF，由双曲线定义知，点 P 的轨迹是以 F， 为焦点的双曲线的右支 2,3ac， 22945bca， P点 的轨迹方程为：1045xyx（2）设 124,3AByMmNn，直线 l方程为 3xty，联立23540xty，整理得： 23250tyt，123054tyt，ACM、 、 三点共线， 1423ymx ， 123yx同理23ynx1244,3yNx，122,3yFMx 12549ytt122549ytt2254309154ttt
