1、2015-2016 学年福建省龙岩市上杭一中高三（下）期初数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）.1设集合 A=x|x3，B=x| ，则 AB=（ ）A B （3，4） C （2，1） D （4，+）2复数 （i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3阅读如图的程序框图若输入 m=4，n=6，则输出的 a，i 分别等于（ ）A12，2 B12，3 C24，2 D24，34已知点 A（4 ，1） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，设 C（1，0） ，COB=，则 tan=（ ）A B C
2、D5一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）A8 B4 C D6设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10：S 5=1：2，则 S15：S 5=（ ）A3：4 B2：3 C1：2 D1：37已知函数 ，则（ ）A函数 f（x）的周期为 2B函数 f（x）在区间 上单调递增C函数 f（x）的图象关于直线 对称D函数 f（x）的图象关于点 对称8设 F1，F 2 分别为双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点，A 为双曲线的一个顶点，以 F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 B，C 两点，若ABC 的面积为 ，则该双曲线的离心率
3、为（ ）A3 B2 C D9设 x，y 满足约束条件 ，当且仅当 x=y=4 时，z=ax y 取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A1， 1 B （ ，1） C （0，1） D （，1）（1，+）10 （x+1+ ） 6 的展开式中的常数项为（ ）A32 B90 C140 D14111设三次函数 f（x）的导函数为 f（x） ，函数 y=xf（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）Af（x）的极大值为 ，极小值为Bf（x）的极大值为 ，极小值为Cf（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（3）Df（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（ 3）12设函数 f（x）的定义域为 D
4、，若满足：f （x）在 D 内是单调函数； 存在m ，nD（n m） ，使得 f（x）在m，n上的值域为m ，n，那么就称 y=f（x）是定义域为 D的“成功函数“ ，若函数 g（x）=log a（a 2x+t） （a 0，a1）是定义域为 R 的“ 成功函数”，则 t 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）13在ABC 中，A=90 ， AB=3，AC=2， =2 ，则 = 14三棱锥 ABCD 中，BAAD，BCCD，且 AB=1，AD= ，则此三棱锥外接球的体积为 15设实数 a，b 均为区间0，1内的
5、随机数，则关于 x 的不等式 有实数解的概率为 16各项为正数的数列a n前 n 项和为 Sn，且 ，当且仅当n=1，n=2 时 Sn3 成立，那么 a2 的取值范围是 三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知点 A，B 分别在射线 CM，CN（不含端点 C）上运动，MCN= ，在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c（1）若 a，b，c 依次成等差数列，且公差为 2，求 c 的值：（2）若 c= ，ABC=，试用 表示ABC 的周长，并求周长的最大值18如图，在矩形 ABCD 中， ，沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折
6、起，使点 A 移至点 P，且点 P 在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上，（1）求证：BCPD；（2）若 M 为 PC 的中点，求二面角 BDMC 的大小19今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行” 的态度，随机抽查了 50 人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，7
7、5频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4（）完成被调查人员的频率分布直方图；（）若从年龄在15，25） ，25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望20已知点 P 是椭圆 +y2=1 上的任意一点，F 1，F 2 是它的两个焦点， O 为坐标原点，动点 Q 满足= + （）求动点 Q 的轨迹 E 的方程；（）若与坐标轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 A，B 两点且 OAOB，求三角形 OAB 面积S 的取值范围21已知函数 f（x）=（a 3b+9）ln （x+3）+ +（
8、b 3）x（1）当 a0 且 a1，f（1）=0 时，试用含 a 的式子表示 b，并讨论 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）有零点， f（ 3） ，且对函数定义域内一切满足|x|2 的实数 x 有f（x）0求 f（x）的表达式；当 x（3， 2）时，求函数 y=f（x）的图象与函数 y=f（x）的图象的交点坐标22如图，已知 AB 为圆 O 的一条直径，以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点，交圆 O 于 E、F 两点，过点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点（）求证：B、D、H、F 四点共圆；（）若 AC=2，AF=2 ，求 BDF 外接圆的半径23已知平
9、面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，A，B 在曲线 C 上，且 A，B 两点的极坐标分别为 A（ 1， ） ，B（ 2， ） （I）把曲线 C 的参数方程化为普通方程和极坐标方程；（）求线段 AB 的长度24已知函数 f（x）=|x l|+|x3|（I）解不等式 f（x）6；（）若不等式 f（x）ax1 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年福建省龙岩市上杭一中高三（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）.1设集合
10、 A=x|x3，B=x| ，则 AB=（ ）A B （3，4） C （2，1） D （4，+）【考点】交集及其运算【分析】求出集合 B 中不等式的解集，确定出集合 B，找出 A 与 B 的公共部分，即可求出两集合的交集【解答】解：由集合 B 中的不等式 0，得到（x 1） （x4）0，解得：x1 或 x4，B=（，1）（4，+） ，又集合 A=（3，+） ，则 AB=（4，+） 故选 D2复数 （i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的代数运算将 转化为 a+bi，即可判断它在复平面内的位置【解答】
11、解： = =1+2i，复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为（ 1， 2）位于第二象限故选：B3阅读如图的程序框图若输入 m=4，n=6，则输出的 a，i 分别等于（ ）A12，2 B12，3 C24，2 D24，3【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出 m，n 的公倍数 a 及相应的 i 值【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出 m，n 的公倍数及相应的 i 值m=4，n=6a=12则 a=12=43故 i=3故答案为 B4已知点 A（4 ，1） ，将 OA 绕坐标原点
12、O 逆时针旋转 至 OB，设 C（1，0） ，COB=，则 tan=（ ）A B C D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设直线 OA 的倾斜角为 ，则 tan= ，再根据 =+ ，求得 tan=tan（+）的值【解答】解：由题意，设直线 OA 的倾斜角为 ，则 tan= = ，=+ ，tan=tan（+ ）= = ，故选：D5一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）A8 B4 C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体【解答】解：由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体
13、，V=223 223=8故选 A6设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10：S 5=1：2，则 S15：S 5=（ ）A3：4 B2：3 C1：2 D1：3【考点】等比数列的性质【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件 S10：S 5=1： 2，可得出（S 10S5）：S 5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10：S 5=1：2，（S 10S5）：S 5=1：2，由等比数列的性质得（S 15S10）：（S 10S5）：S 5=1：（2）：4，所以 S15
14、：S 5=3：4故选 A7已知函数 ，则（ ）A函数 f（x）的周期为 2B函数 f（x）在区间 上单调递增C函数 f（x）的图象关于直线 对称D函数 f（x）的图象关于点 对称【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦【分析】将函数解析式去括号后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 的值，代入周期公式求出函数的周期，即可对于选项 A 作出判断；由 x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出函数的单调性，即可对于选项 B 作出判断；由正弦函数的对称轴为k+ ，kZ ，即可对于选项 C 作出判断；由正弦函数的对称中心为
15、 k，k Z，即可对于选项 D 作出判断【解答】解：f（x）=cosxsinx cos2x= sin2x （cos2x+1）=sin （2x ） ，=2 ，T=，故选项 A 错误；x ， ，2x ，0，当 2x+ ， 时，f（x）单调递减；当 2x+ ，0时，f（x）单调递增，故选项 B 错误；令 2x =k+ ，kZ ，解得：x= k+ ，kZ，当 k=1 时，x= ，即函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，故选项 C 正确；令 2x =k，kZ ，解得：x= k+ ，kZ，当 k=0 时，x= ，可得函数图象关于（ ， ）对称，故选项 D 错误，故选 C8设 F1，F 2 分别为双曲线
16、 =1（a 0，b0）的左、右焦点，A 为双曲线的一个顶点，以 F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 B，C 两点，若ABC 的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A3 B2 C D【考点】双曲线的简单性质【分析】利用ABC 的面积为 c2，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得 c= a，即可求出该双曲线的离心率【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y= x，即为 bxay=0，则 A（a，0）到渐近线的距离为 d= = ，由题意，ABC 的面积为 c2，则 2c = c2，即为 4a2b2=c4，即有 4a2（c 2a2）=c 4，即有 c2=2a2，即 c= a，则 e= = 故选：D9设 x，y 满足约束条件 ，当且仅当 x=y=4 时，z=ax y 取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A1， 1 B （ ，1） C （0，1） D （，1）（1，+）【考点】简单线性规划【分析】作出约束条件 所对应的可行域，变形目标函数可得 y=axz，其中直线斜率为 a，截距为z，由题意可得 a 的范围【解答】解：作出约束条件 所对应的可行域（如图阴影） ，变形目标函数可得 y=ax+z，其中直线斜率为 a，截距为z，z=axy 取得最小值的最优解仅为点 A（4，4） ，直线的斜率 a1，即实数 a 的取值范围为（，1）故选：B
