1、2016 届福建省泉州市高三 5 月质检数学（理）试题一、选择题1已知复数 ,则 等于（ ）1izzA B C D222【答案】B【解析】试题分析：因 ,故 ，故应选 B.iiz12|z【考点】复数的模2已知角 的终边经过 ,则 等于（ ）PcosA B C D3515535【答案】A【解析】试题分析：因 ,故 ，故应选 A.2tantan1cos2【考点】三角变换3已知命题“若直线 与平面 垂直, 则直线 与平面 内的任意一条直线垂直”, l l则其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是（ ）A B C D0123【答案】B【解析】试题分析：因该命题是正确的,故逆否命题也是正确的；由于
2、逆命题是正确的,而否命题也是逆命题的逆否命题,故也是正确的,应选 B.【考点】命题的四种形式及等价关系4 已知 ,若 ,则 等于5234501axbaxxax01,a2a（ ）A B C D108【答案】C【解析】试题分析：令 ,得 ,由于 ,0x1b5255()1axax因此 ,所以 ，故应选 C.2105a4252aC【考点】二项式定理及展开式5运行如图所示的程序框图, 则输出的 的值为（ ）SA B C D107912【答案】C【解析】试题分析：当 算得 ,由于6,5432,1n163,074,1S,所以应选 C.9)(0)7(41S【考点】算法流程图的识读6已知 满足 ,则 的最大值是
3、（ ）,xy5210y01zmxyA B C D1723m【答案】B【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,因 ,故移动直线10,当该直线经过点 时,在轴上的截距最大， ,故应选 B.mxy)50(A5maxz A(0,5)y=-mx2x-y-1=0x+y-5=0Oyx【考点】线性规划的知识及运用【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的运用问题,解答时先准确的画出不等式表示的平面区域,再搞清 的几何意义,将问题转化为zmxy求直线 在 轴上的截距的最大值问题.解答时借助 这一条件,平zmxyy 10行移动 ,借助图形很容易发现当该动直线经过点 时,直线)5(A在 轴上
4、的截距最大,其最大值为 .zmxyy 5maxz7已知抛物线 ,若等边三角形 中, 在 上, 在 的准线上, 为2:4CxPQFCF的焦点, 则 （ ）PFA B C D832【答案】B【解析】试题分析：设 ,则)1(,(0tQyx,由 可得 ,故 ,即20200),1tPxFPQFty0120x,所以 ，故应选 B.30 40x【考点】抛物线的几何性质及运用8如图, 网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体1的体积为（ ）A B C D68728490【答案】B【解析】试题分析：三视图所提供的信息可以看出该几何体是底部为正四棱柱,上部是两个四棱锥的组合体,因四棱
5、柱的底面积为 ,高 ,故16S4h,四棱锥的底面面积为 ,高 ,故体积为641V423，故该几何体的体积 ,应选 B.832 71V【考点】三视图及几何体的体积9已知函数 ,若 ,则函sin04,2fx263ff数 的单调递增区间为（ ）fA 5,2612kkZB ,216kkZC ,3D ,6kkZ【答案】D【解析】试题分析：由 可知 ,23ff )32(),6()minmax fxff 所以 ,所以 ,所以 ,由2632TT2si(f可得 ,由 可得)(maxff62kxk,所以函数的单调递增区间是 ，故63k ,36kZ应选 D.【考点】三角函数的图象和性质10已知函数 ,则下列判断错误
6、的是（ ）1xefA 20160ffB 5C 1ffD 2016【答案】D【解析】试题分析：因 ,故函数 是奇)(1)( xfeexf xx1xef函数, A，B，C 都是正确的,故应选 D.【考点】函数奇偶性及运用11已知 是圆 的一条直径, 点 在圆 上, 则21xyP22431xy的最小值为（ ）PA B C D157 5【答案】A【解析】试题分析：因 ,故,PAOBPO()()PABOAPB,由于 ，因此2 0,1OAB.又因为圆心 到坐标原点 的距离是 ,所以12 )34(C5,即 ,故应选 A.min|54PO 15(2minPBA【考点】向量的运算及圆的方程【易错点晴】本题重点考
7、查的是圆的有关知识及向量的知识和运算问题.解答时充分借助题设条件,将向量的数量积 进行巧妙地合理的转化和化归,从而将问题转化为求动点 到定点 的距离的最小值问题.解答时运用向量的乘法运算,并借助P等几何特征将问题的形式进行转化和化简,将问题转化为0,1OAB求 的最小值问题 ,最后再次将问题转化为求圆心与坐标原点的距离问题.整个解题过程充满了转化和化归思想的运用.12已知函数 有且仅有两个零点, 则实数 的取值范围221xfxae a是（ ）A B C D1,021,02【答案】A【解析】试题分析：由题设可得 有两个实数根,即1)12(xaex有两个实数根.令函数 ,则xea12xh2(,注意
8、到 ,因此当 时,12)(/ xeehx 21)021(x单调递增；当 时, 单调递减,所以函数)(,0/x)0()(0)(/h在 取最大值 ,所以 ,解之得xeh12)(1maxh1a,故应选 A.a【考点】函数方程思想及运用【易错点晴】本题考查的是函数零点为背景的综合性问题.求解时充分借助题设条件与已知条件,先函数有零点问题进行等价转化,即将零点问题转化为方程有两个实数根.进而转化为方程 有两个实数12)12(xaex xea12根.然后再构造函数 ,运用导数的知识求出函数的值域.最后解不等式xeh12)(使得本题获解.二、填空题13已知正方形的四个顶点分别为 ,将 轴、直线0,1,01O
9、ABCx和曲线 所围成的封闭区域记为 ,若在正方形 内任取一点 ,1x2:CyxOAP则点 落在 内的概率等于 P【答案】 3【解析】试题分析：因正方形 的面积为 ,区域的面积 ，OABC1310102xdS故几何概型的计算公式可得其概率 .3P【考点】几何概型公式及计算14已知双曲线 的一条渐近线的方程为2:10,xyCab是 上一点, 且 的最小值等于 ,则该双曲线的标准方程为 20,xyPOP2【答案】214【解析】试题分析：由题设可知 ,故 ,所以其标准方程为21ab2,b.214xy【考点】双曲线及基本量之间的关系15正四棱锥 中, 为底面 的中心, 以 为直径PABCD60,PHA
10、BCDPH的球 分别与 交于 ,若球 的表面积为 ,则四边形O,AO3的面积等 ,A【答案】 98【解析】试题分析：由球的面积公式可得 ,则 ,所以342R23,R,由此可得正方形 的边长为 .由图形的对称性可知：1,3HCAPABCD2点 构成的四边形也是正方形且与四边形 相似.设该四边形的边长BD为 ,则 ,解之得 ,故四边形 的面积为xRx2)(2423x/DCBA.89)43(22【考点】球的有关知识及球心距与球半径之间的关系的运用 【易错点晴】本题考查的是几何体的外接球为背景的综合性计算问题.解答时应充分借助题设条件,将问题进行合理转化与化归,最后借助相似三角形的相似比相等,求出四边
11、形的边长 ,最终再依据其形状是正方形求出其面积为 .解ABCD 89)423(x答本题的难点是搞清球的半径和球心的位置,解答时充分借助题设三角形是相似求出其半径是解答本题的关键.16 中, 于 ,则 边上中线45,ABC ,2,3DCA的长等于 BE【答案】 852【解析】试题分析：如图,由题意设 ,则xECAhDcAB,即 .在 中,由余弦定理得9422xch52,将 代入并化简可得 ,解之c5cx 08452c得 ,所以 ,再在 中运用余弦定理可得02c452xAEB,所以 .48521042 BE 2EBDCA【考点】余弦定理及运用【易错点晴】本题重点考查的是运用余弦定理解三角形的边长问
12、题.求解时借助题设条件,先运用勾股定理建立关于 的等量关系,再运用余弦xECAhDcAB,定理建立关于 方程,求出 的值,最后再次运用余弦定理求出 的边长 .解答c AEB时充分借助题设条件,将问题进行合理转化与化归,最后借助求出的有关量使得问题获解.三、解答题17已知数列 的前 项和为 .na11,2nnSa（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ,且 ,求实数nb12.nbna12.nkbaN:的最大值.k【答案】 （1） ；（2） .na【解析】试题分析：（1）运用等比数列的通项公式与定义求解；（2）借助题设条件及等差数列的求和公式和裂项法求解.试题解析:（1）当 时, ；当 时,
13、1n22,4Sa2n2,nSa-, 得 ,整理, 得 ,又 ,故 ,所以数1nna12na112naN列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以 即 .na224nn（2）因为 ,且 ,所以 ,11.212.nn112.nba112nb故 即 ,又 ,nbnb所以 .12111. .223n n由 ,得 ,记 ,12.nkba: 1nk1c则 ,所以 ,故数列21 1140n nnc 1nc为递增数列,n所以 ,所以 的最大值为 .12Ck2【考点】数列及等比数列的有关知识及运用18某公司采用众筹的方式募集资金, 开发一种创新科技产品, 为了解募集资金（单位：万元） 与收益率 之间的关系, 对
14、近 个季度筹到的资金 和收益率xy6ix的数据进行统计,得到如下数据表：1yx2.0.2.603.40.856（1）通过绘制并观察散点图的分布特征后, 分别选用 与 作yabxlgycdx为众筹到的资金 与收益率 的拟合方式,再经过计算,得到这两种拟合方式的回归方xy和下表统计数值, 试运用相关指数比较以上两0.34.2,0.714lgyx回归方程的拟合效果；yabxlycd261ii:261ii:261ii0.50.30.（2）根据拟合效果较好的回归方程,解答：预测众筹资金为 万元时的收益率.（ 精确到 ）50.1若众筹资金服从正态分布 ,试求收益率在 以上的概率.2N075附： 相关指数
15、；:221()niiiiyR若随机变量 ,则 ,2XN:0.682PX；20.954,33.974P参考数据：lg31lg.71【答案】 （1）方程 .2yx的拟合效果更好；（2） 0.5；0.3.【解析】试题分析：（1）运用回归方程和提设中提供的相关数据分析求解；（2）借助题设条件和方差正太分布等知识求解.试题解析:（1）由已知，得对于方程 ,相关指数0.342yx；20.3.15R对于方程 ,相关指数 ,274lgyx2.10.93.15R所以方程 的拟合效果更好.0.（2）当 时, ；5x17l50.y 个季度的众筹到资金 的平均数 ,6ix2.63.24.9方差 2222222.9.9
16、.69.9.0.49S 由正态分布, 得 .令 ,得 ,解得2.,07.57y0.2147lg0.5x,5x又 ,且 ,由正态分布的性质, 得333.9PX,记事件“收益率在1012PX以上为事件 ”,075.A则 ,所以收益率在 以上的概率等于 .5075. 03【考点】回归方程和正太分布等相关知识及运用19如图,四棱锥 中, 平面PABCD,ABCD, 12,BA.2A（1）在平面 内, 过点 作直线 ,使得 平面 （保留作图痕迹）,并加以PABl:PCD证明；（2）求直线 和平面 所成角的正弦值.CD【答案】 （1）证明见解析；（2） .1520【解析】试题分析：（1）运用线面平行的判定和性质求解；（2）借助题设条件构建空间直角坐标系,运用向量的数量积公式求解.试题解析:（1）分别取 的中点 ,连结 . 则 ,PDAEF,CFB1,2EADF又 ,故四边形 为平行四边形, 所2,BCB C以 , FE又 平面 ,故 平面 ,所以直线 为所求作直线 . PDl
