1、2016 届福建省晋江市季延中学高三数学（理）寒假测试试题一、选择题1已知等差数列 na中， 1203581a，则 109a的值是（ ）A20 B22 C24 D82数列 n是等差数列，若 98a，且它的前 n 项和 nS有最大值，那么当 nS取得最小正值时，n 等于（ ）A17 B16 C15 D143已知数列 na， b满足 1a，且 1,na是函数 nxbf2)(2的两个零点，则 10b等于（ ）A24 B32 C48 D64 4已知函数 f(n) ，且 anf(n)f(n1)，则 a1a 2a 3a 2014等于( )A2013 B2014 C2013 D20145将正方形 ABCD
2、沿对角线 BD 折叠成一个四面体 ABCD，当该四面体的体积最大时，直线 AB 与 CD 所成的角为（ ）A90 B60 C45 D306某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直） ，则制作该工件用去的铁皮的面积为（ ） （制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）A100（3+ ）cm 2 B200（3+ ）cm 2 C300（3+ ）cm 2 D300cm 27已知两条直线 ,ab，两个平面 ,，下面四个命题中不正确的是（ ）A ,/ B /,/abC /,aba D /,/ab8已知三棱锥 ABCD的四个顶点都在球 O的表面上,若 3AB，4A, ,
3、平面 ， 12B，则球 的半径为（ ）A 3172 B 210 C 3 D 0二、填空题9已知数列a n的前 项和为 nS，且 123n，则数列a n的通项公式 a 10已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 nS，若 1,23nna是 偶 数 ，是 奇 数 ，且 329S，则 2015 11已知正方体 1ABCD中，点 E 是棱 1AB的中点，则直线 AE 与平面 1BD所成角的正弦值是_.12已知矩形 的周长为 8，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 三、解答题13已知数列 na的前 n 项和为 nS，且 13(),naZ（1）求出数列 的通项
4、公式；（2）设数列 nb满足 13()2nabna，若 nt对于任意正整数 n 都成立，求实数 t 的取值范围14已知数列 n的首项 1，且满足 )(0)1(1Nann （1）求数列 a的通项公式；（2）设 nac3，求数列 nc的前 n 项和 nS15已知a n的前 n 项和 Sn，a n0 且 an2+2an=4Sn+3（1）求a n的通项公式；（2）若 bn= ，求b n的前 n 项和 Tn16设数列 na的前 项和为 nS，已知 12a， 8， 145nnSS（ 2） ， nT是数列2log的前 项和（1）求数列 n的通项公式；（2）求满足 231109()()26nTT的最大正整数
5、n的值17如图，四边形 ABCD是正方形， PAB与 D均是以 A为直角顶点的等腰直角三角形，点 F是PB的中点，点 E是边 上的任意一点（1）求证： AFE；（2）求二面角 PCB的平面角的正弦值18如图，四棱锥 D中，侧面 PC是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD是菱形，60AD，点 在底面 A上的射影为 AD的重心，点 M为线段 P上的点（1）当点 M为 PB的中点时，求证： /PD平面 ACM；（2）当平面 CD与平面 所成锐二面角的余弦值为 32时，求 BP的值19矩形 A与矩形 EF的公共边为 B，且平面 D平面 AEF，如图所示， 2D，1,3EF.（1）证明： AE平面 F
6、CB；（2）求异面直线 D与 所成角的余弦值；（3）若 M是棱 的中点，在线段 上是否存在一点 N，使得 NA平面 ？证明你的结论20如图，已知长方形 ABCD中， 2,1A， M为 DC的中点，将 AM沿 折起，使得平面 ADM平面 （1）求证： ADBM；（2）若点 E是线段 DB上的一动点，问点 E在何位置时，二面角 EAMD的余弦值为 5高三年理科数学寒假复习卷（数列与立几） 参考答案18CCDD BADC 9 164na2 10 4725 11 10 12 313解（1）由已知 3nS，令 可得 1a，又 11132n nnaa，所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，所以
7、13()2n（2）由已知可求得 1()3nnb，1(nb，所以 max24()nb，则 t14解（1）整理得 11na， 所以数列 na是以首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 n)(1，所以 na（2）由（1）知， nc3， nnS32， 143 3)1(n， -有 23nn ，解得： 4)1(nS15解（1）证明：3+4S n=an2+2an ，3+4S n+1=an+12+2an+1，两式相减整理可得（a n+1+an） （a n+1a n2）=0，n1 时，a n0，a n+1a n2=0，a n+1a n=2，n=1 时，a 1=1（舍去） ，a 1=3a n成等差数列，首项为
8、3，公差为 2，a n=2n+1（2）b n= ，b n= =b n的前 n 项和 Tn= = =16解析：（1）当 2时， 145nnSS， 14()nnS， a 12a， 8， 214a，数列 a是以 为首项，公比为 4 的等比数列， n（2）由（1）得： 212loglnn， 212ln nTa3(21)n(21)2n所以 12()()nT221()2 223422345(1)1nn，令 1096n，解得 108n故满足条件的最大正整数 的值为 100817解析：（1）证明： F是 PB的中点，且 AB， FP PAB与 D均是以 A为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， D平面 C， A
9、B平面 CD， 平面 C B平面 C， P 四边形 是正方形 PA， 平面 PA， 平面 AB， B平面 F平面 ， F C， B平面 C， 平面 PC， AF平面 P E平面 ， AEHEFD C BAP zyx EFD CBAP（2）以 A为坐标原点，分别以 ,ABP所在直线为 轴， y轴， z轴 ，建立空间直角坐标系 xyz，设 1，则 0,1P， ,0B， ,C, 0,D 0,1， 1,0BC设平面 的法向量为 ,mxyz（，由 ,PBC 得 .yzx令 1y ，得 z， 0,1为平面 的一个法向量 PA平面 BCD， PA平面 ， 平面 A平面 BCD连接 ，则 平面 平面 ， 平面
10、 A， 平面 平面 的一个法向量为 1,0设二面角 APCB的平面角为 ，则 1cos,2mBD 23sin1cos 二面角 APC的平面角的正弦值为 318解析：（1）设 AC， BD的交点为 I，连结 MI， ， 分别为 BD， P的中点， /PDMI，又 I平面 ， /平面 ；（2）设 C的中点为 O，分别以 A，OC为 x轴， y轴，过 O点垂直平面 AC的直线为 z轴建立空间直角坐标系，则 (3,0)，)0,23(B， ),1(， )0,(， )36,(P，设 (01)BP，则 CMBCBP2326(,1,)，(0,2)D， (3,10)，设平面 的法向量 mxyz，则 CM且 mD
11、，1111326()()0320xy，令 1x，则 2(,)4m，设平面 CB的法向量为 2(,)nyz，则 CMn且 B，222236()(1)030xyzy，令 21x，则 (,3)n， |cos,mn2321344186或 3， 14BMP或 319解析：（1）证明：矩形 ABCD与矩形 EF有公共边 A，平面 CD平面 AEF，可得BC平面 AEF， E.又 2,1,3D， 23，矩形 为正方形， .而 、 是平面 CB内的两条相交直线， AE平面 FCB.（2） AEA，平方可得：143622D，即 00cos,36cos15B，故有 36cos,124BEA，异面直线 BD与 AE
12、所成角的余弦值 64.（3）分别取 PQ、 为 DC及 F的中点，得 /MPC，且 /QF，故面 /M面 ，从而 N为平面 与 F的交点，易知 N为 的中点，故在线段 FD上存在中点 N，使得 /M平面 FCB成立20解析：（1）因为面 A面 ， 2,1AD， M为 C的中点，AM，取 的中点 O，连结 ，则 O面 ，取 AB的中点 N，连结 ON，则 ，以 为原点如图建立坐标系，根据已知条件得2222,0,0,0,B，则,AD， ,，所以 0ADBM，故 AB（2）设 EB，因为平面 A的一个法向量 ,1n，22,M， 2,0设平面 AE的一个法向量为 ,mxyz， 0210xyz，取 1y，得 20,1xyz，所以 0,，因为 5cos,nm，求得 12，所以 E为 BD的中点
