1、1 1 平面直角坐标系 对应学生用书P1 自主学习 1平面直角坐标系与曲线方程 (1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对 是一一对应的 (2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系： 曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解； 以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上 那么，方程f(x，y)0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)0的曲线 (3)一些常见曲线的方程： 直线的方程：axbyc0； 圆的方程：圆心为
2、(a，b)，半径为r的圆的方程为(xa) 2 (yb) 2 r 2 ； 椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆方程 为 1； x2 a2 y2 b2 双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线 方程为 1； x2 a2 y2 b2 抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为 的抛 p 2 物线方程为y 2 2px. 2平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生 影响 合作探究 1如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：如果图形有对称中心
3、，选对称中心为坐标原点； 如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；2 使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上； 如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程 2平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小 对应学生用书 P1 平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用 例1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且G上一点 3 2 到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程 (2)在边长为2的正ABC中，若P为ABC内一点，且|PA| 2 |PB| 2 |PC| 2 ，求点P 的轨迹方程，并画出
4、方程所表示的曲线 思路点拨 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结 合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等解答此题中(1)需要根据已 知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求 解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线 精解详析 (1)由已知设椭圆方程为 1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则2a12，知a6.又离心率e ，故c3 . c a 3 2 3 b 2 a 2 c 2 36279. 椭圆的标准方程为 1. x2 36 y2 9 (2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面
5、直角坐标系， 设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|2，B(1,0)，C(1,0)，则A(0， )； 3 |PA| 2 |PB| 2 |PC| 2 ， x 2 (y ) 2 (x1) 2 y 2 (x1) 2 y 2 . 3 化简得x 2 (y ) 2 4. 3 又P在ABC内，y0. P点的轨迹方程为x 2 (y ) 2 4(y0) 33 其曲线如上图所示为以(0， )为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤 3 1求曲线方程的方法： (1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法； (2)求动点轨迹方程常用的方法有： 直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直 接
6、求曲线的方程，步骤如下： a建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； b写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)； c用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0； d化简方程f(x，y)0； e检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的， 则e可以省略 定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程 代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x 1 ，y 1 )，而Q(x 1 ，y 1 )又 在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x 1 ，y 1 的方程组，利用x，y表示x 1 ，y 1 ，把 x
7、 1 ，y 1 代入已知曲线方程即为所求 参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得 其轨迹方程 2根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线， 但要注意是曲线的全部还是局部 1在ABC中，底边BC12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适4 当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程 解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立 平面直角坐标系， 则B(6,0)，C(6,0)，|BD|CE|30， 可知|GB|GC| (|BD|CE|)20， 2 3 重心G的轨迹是以(6,0)，(6
8、,0)为焦点，2a20的椭圆，且y0，其轨迹方程为： 1(x10) x2 100 y2 64 利用坐标法解决平面几何问题 例2 如图，以RtABC的两条直角边AB，BC向三角形外作正方形ABDE和正方形 BCFG，连接EC，AF，且EC，AF交于点M，连接BM.求证：BMAC. 思路点拨 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题 中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线 的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM k AC 1，即可 精解详析 如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角 坐标系设正方形ABDE和正方形BCF
9、G的边长分别为a，b，则A(0，a)， B(0,0)，C(b,0)，E(a，a)，F(b，b) 直线AF： ， yb ab xb 0b 即(ab)xbyab0； 直线EC： ， y0 a0 xb ab 即ax(ab)yab0. 解方程组Error! 得Error! 即M点的坐标为 . ( a2b a2abb2 ， ab2 a2abb2 )5 故k BM .又k AC ， b a 0a b0 a b k BM k AC 1， BMAC. 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问 题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题； 第
10、三步，把代数运算结果翻译成几何结论 2已知正ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA| 2 |PB| 2 |PC| 2 最小，并求 出此最小值 解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标 系， 则A ，B ，C . ( 0， 3 2 a ) ( a 2 ，0 ) ( a 2 ，0 ) 设P(x，y)， 则|PA| 2 |PB| 2 |PC| 2 x 2 2 2 y 2 2 y 2 ( y 3 2 a ) ( x a 2 ) ( x a 2 ) 3x 2 3y 2 ay 3 5a2 4 3x 2 3 2 a 2 a 2 ， ( y 3 6 a ) 当且仅当x
11、0，y a时，等号成立， 3 6 所求最小值为a 2 ，此时P点坐标为P ，它是正ABC的中心 ( 0， 3 6 a )6 平面直角坐标系中的伸缩变换 例3 在下列平面直角坐标系中，分别作出 1的图形 x2 25 y2 9 (1)x轴与y轴具有相同的单位长度； (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍； (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 倍 1 2 思路点拨 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想， 解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出 图形即可 精解详析 (1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则 1
12、的图形如图. x2 25 y2 9 (2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 ，则 1 1 2 x2 25 y2 9 的图形如图. (3)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 ，则 1的图 1 2 x2 25 y2 9 形如图. 一般地，在平面直角坐标系xOy中： (1)使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k0)，则当k1时，x轴与y轴具7 有相同的单位长度；即为Error!的伸缩变换，当 k1时，相当于x轴上的单位长度保持不变， y轴上的单位长度缩小为原来的 ，即为Error!的伸缩变换，当 00，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx 2
13、上运动，点 Q满足BQ QA ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点 P满足QM MP ，求点P的轨迹方程 命题立意 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、 性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力， 全面考核综合数学素养 自主尝试 由QM MP 知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上， 故可设P(x，y)，Q(x，y 0 )，M(x，x 2 )， 则x 2 y 0 (yx 2 )，即 y 0 (1)x 2 y. 再设B(x 1 ，y 1 )，由BQ QA ， 即(xx 1 ，y 0 y 1 )(1x,1y 0 )， 解得Error!8 将
14、式代入式，消去y 0 ，得 Error! 又点B在抛物线yx 2 上，所以y 1 x ， 2 1 再将式代入y 1 x ， 2 1 得(1) 2 x 2 (1)y(1)x 2 ， (1) 2 x 2 (1)y(1) 2 x 2 2(1)x 2 ， 2(1)x(1)y(1)0. 因0，两边同除以(1)，得2xy10. 故所求点P的轨迹方程为y2x1. 对应学生用书 P4 一、选择题 1方程x 2 xy0的曲线是( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 解析：选C 方程变形为x(xy)0，x0或xy0，而方程x0，xy0表 示的是直线，C正确 2已知ABC的底边BC长为12，且
15、底边固定，顶点A是动点，且sin Bsin C sin A，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨 1 2 迹方程是( ) A. 1 B. 1(x3) x2 9 y2 27 x2 9 y2 27 C. 1 D. 1(x3) x2 27 y2 9 x2 27 y2 9 解析：选B 由题意知，B(6,0)，C(6,0) 由sin Bsin C sin A得bc a6， 1 2 1 2 即|AC|AB|6. 所以点A的轨迹是以B(6,0)，C(6,0)为焦点，2a6的双曲线的左支且y0.其方 程为 1(xac，b，a，c成等差数列时，顶点A的轨迹方程 (2)在x轴上的
16、单位长度为y轴上单位长度的 倍的平面直角坐标系 1 2 中作出(1)中轨迹 解：(1)b，a，c成等差数列， bc2a224. 即|AB|AC|4|BC|2符合椭圆定义条件 动点A(x，y)的轨迹是椭圆，且 Error!Error! A点的轨迹方程是 1. x2 4 y2 3 由于bc，即|AC|AB|，可知A点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0， )， 3 (0， ) 3 A，B，C构成三角形，必须除去点(2,0)12 所求轨迹方程为 1 (2b0，a，b为常数)，动圆 x2 a2 y2 b2 C 1 ：x 2 y 2 t ，bt 1 a.点A 1 ，A 2 分别为C 0 的左、右顶点，C
17、 1 与 2 1 C 0 相交于A，B，C，D四点 (1)求直线AA 1 与直线A 2 B交点M的轨迹方程；13 (2)设动圆C 2 ：x 2 y 2 t 与C 0 相交于A，B，C，D四点，其中 2 2 bt 2 a，t 1 t 2 .若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t t 为定值 2 1 2 2 解：(1)设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 1 ，y 1 )，又知A 1 (a,0)，A 2 (a,0)，则直线A 1 A的方程为 y (xa)， y1 x1a 直线A 2 B的方程为y (xa) y1 x1a 由得y 2 (x 2 a 2 ) y2 1 x2 1a2 由点A(x
18、 1 ，y 1 )在椭圆C 0 上，故 1.从而y b 2 ，代入得 x2 1 a2 y2 1 b2 2 1 ( 1 x2 1 a2 ) 1(xa，y0) x2 a2 y2 b2 (2)设A(x 2 ，y 2 )，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得 4|x 1 |y 1 |4|x 2 |y 2 |， 故x y x y . 2 1 2 1 2 2 2 2 因为点A，A均在椭圆上，所以 b 2 x b 2 x . 2 1 ( 1 x2 1 a2 ) 2 2 ( 1 x2 2 a2 ) 由t 1 t 2 ，知x 1 x 2 ，所以x x a 2 .从而y y b 2 ， 2 1 2 2 2 1 2 2 因此t t a 2 b 2 为定值 2 1 2 2
