1、1 1.3 曲线的极坐标方程 对应学生用书P8读教材填要点 1曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极坐 标(，)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标 方程 2直线的极坐标方程 (1)当直线l过极点，从极轴到l的角是 0 ，则l的方程为 0 . (2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为cos d. (3)当直线l过点M(d， )，且平行于极轴时，l的方程为sin_d. 2 (4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为，此时直线l 的方程为cos_()d. 小问题大思维 1在直角坐标
2、系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程那么，在极坐标系中， 曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？ 提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内， 曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如，给定曲线，设点P的一极坐标为 ，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标 ( 4 ， 4 ) 就不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线 ( 4 ， 9 4 ) C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可 2在直线的极坐标方程中，的取值范围是什么？ 提示：的取值范围是全体实数 对应学生用书P82 极坐标方程与直角坐
3、标方程的互化 例1 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2 4x；(2)y 2 x 2 2x10； (3)cos 2 1；(4) 2 cos 24；(5) . 2 1 2cos 思路点拨 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式 精解详析 (1)将xcos ，ysin 代入y 2 4x， 得(sin ) 2 4cos . 化简，得sin 2 4cos . (2)将xcos ，ysin 代入y 2 x 2 2x10， 得(sin ) 2 (cos ) 2 2cos 10. 化简，得 2 2cos 10. (3)cos 2 1， 2 1， 1cos 2 即cos 2 x2. x2y2 化简，
4、得y 2 4(x1) (4) 2 cos 24， 2 cos 2 2 sin 2 4， 即x 2 y 2 4. (5) ， 1 2cos 2cos 1. 2 x1. x2y2 化简，得3x 2 4y 2 2x10. 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通3 过变形，构造形如cos ，sin ， 2 的形式，进行整体代换其中方程的两边同 乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同 解，因此应注意对变形过程的检验 1求极坐标方程cos 1所表示的直角坐标方
5、程 ( 6 ) 解：将cos 1化为 cos sin 1. ( 6 ) 3 2 1 2 将cos x，sin y代入上式，得 x 1， 3 2 y 2 即 xy20. 3 求曲线的极坐标方程 例2 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为cos 1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点 ( 3 ) (1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程 思路点拨 (1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程 (2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程 精解详析 (1)由cos 1 ( 3 )
6、 得 1. ( 1 2 cos 3 2 sin ) 从而C的直角坐标方程为 x y1， 1 2 3 2 即x y2. 3 当0时，2，所以M(2,0) 当 时， ，所以N . 2 2 3 3 ( 2 3 3 ， 2 ) (2)M点的直角坐标为(2,0)， N点的直角坐标为 ， ( 0， 2 3 3 )4 所以P点的直角坐标为 . ( 1， 3 3 ) 则P点的极坐标为 ，所以直线OP的极坐标方程为 (R) ( 2 3 3 ， 6 ) 6 2设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MPMA交OA于P，求P 点的轨迹方程 解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图 设定圆O的半
7、径为r，OMa，P(，)是轨迹上任意一点 MPMA，|MA| 2 |MP| 2 |PA| 2 . 由余弦定理，可知|MA| 2 a 2 r 2 2arcos ， |MP| 2 a 2 2 2acos .而|PA|r， 由此可得a 2 r 2 2arcos a 2 2 2acos (r) 2 . 整理化简，得 . aarcos acos r 求直线的极坐标方程 例3 求出下列直线的极坐标方程： (1)过定点M( 0 ， 0 )，且与极轴成弧度的角； (2)过定点M( 0 ， 0 )，且与直线 0 垂直 思路点拨 本题考查直线的极坐标方程的求法解答本题需要根据已知条件画出极 坐标系，然后借助平面几
8、何的知识建立与间的关系 精解详析 (1)设P(，)为直线上任意一点(如图)，且记 OPM1，OMP2， 则1，2( 0 ) 在OMP中应用正弦定理得 ， sin 2 0 sin 15 即 0 0 . sin2 sin 1 sin0 sin 即直线方程为sin() 0 sin( 0 ) (2)设P(，)为直线上任意一点(如图所示)，OMP为直角三 角形，显然有cos ( 0 ) 0 .这就是所求直线方程 求直线极坐标方程的步骤： (1)设(，)为直线上任一点的极坐标 (2)写出动点满足的几何条件 (3)把上述条件转化为，的等式 (4)化简整理 3求过A 且和极轴所成角为 的直线方程 ( 3， 3
9、 ) 3 4 解：如图所示，A ， ( 3， 3 ) 即|OA|3，AOB . 3 设M(，)为直线上任一点， 由已知得MBx ， 3 4 OAB . 3 4 3 5 12 OAM .OMAMBx .在MOA中，根据正弦定理， 5 12 7 12 3 4 得 . 3 sin ( 3 4 ) sin 7 12 sin sin ， 7 12 ( 4 3 ) 2 6 4 将sin 展开，化简上面的方程， ( 3 4 )6 可得(sin cos ) . 3 3 2 3 2 过A 且和极轴所成角为 的直线方程为 ( 3， 3 ) 3 4 (sin cos ) . 3 3 2 3 2 对应学生用书P10
10、一、选择题 1极坐标方程cos (0)表示的曲线是( ) 2 2 A余弦曲线 B两条相交直线 C一条射线 D两条射线 解析：选D cos ， 2k(kZ) 2 2 4 又0，cos 表示两条射线 2 2 2在极坐标系中与曲线C：4sin 相切的一条直线的方程为( ) Acos 2 Bsin 2 C4sin D4sin ( 3 ) ( 3 ) 解析：选A 4sin 的普通方程为x 2 (y2) 2 4，cos 2的普通方程为 x2，圆x 2 (y2) 2 4与直线x2显然相切 3直线和直线sin()1的位置关系是( ) A垂直 B平行 C相交但不垂直 D重合 解析：选B 直线化为直角坐标方程为y
11、xtan ，sin()1化为 sin cos cos sin 1，即yxtan .所以两直线平行 1 cos 4过点A(5,0)和直线 垂直的直线的极坐标方程是( ) 47 Asin 5 Bcos ( 4 ) ( 4 ) 5 2 2 Csin Dsin ( 4 ) 5 2 2 ( 4 ) 5 2 2 解析：选C 直线 即直线yx，过点A(5,0)和直线 垂直的直线方程 4 4 为yx5，其极坐标方程为sin . ( 4 ) 5 2 2 二、填空题 5在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点 到直线l的距离为 ( 2， 6 ) _ 解析：将直线l的极坐标方程sin 3化为直角坐标方程为y3，
12、点 在直 ( 2， 6 ) 角坐标系中为( ，1)，故点 到直线l的距离为2. 3 ( 2， 6 ) 答案：2 6在极坐标系中，圆4被直线 分成两部分的面积之比是_ 4 解析：直线 过圆4的圆心，直线把圆分成两部分的面积之比是11. 4 答案：11 7在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点 的极坐标为_ 解析：由2sin ，得 2 2sin ， 其普通方程为x 2 y 2 2y. cos 1的普通方程为x1. 联立Error!解得Error! 点(1,1)的极坐标为 . ( 2， 3 4 ) 答案： ( 2， 3 4 ) 8在极坐标系中，定点A(1， )，点B在直线l：c
13、os sin 0上运 2 动当线段AB最短时，点B的极坐标是_8 解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点 A 化为直角坐标得A(0,1)如图，过A作AB直线l于B.因为AOB为等腰直角三 ( 1， 2 ) 角形，又因为|OA|1， 则|OB| ， ，故B点的极坐标是B . 2 2 3 4 ( 2 2 ， 3 4 ) 答案： ( 2 2 ， 3 4 ) 三、解答题 9求过(2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)， 即2xy70. 设M(，)为直线上任意一点， 将xcos ，ysin 代入直角坐标方程 2xy70，得2cos sin
14、 70. 这就是所求的极坐标方程 10在极坐标系中，曲线C：10cos 和直线l：3cos 4sin 300 相交于A，B两点，求线段|AB|的长 解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆C：x 2 y 2 10x，即(x5) 2 y 2 25，圆心C(5,0) 直线l：3x4y300. 因为圆心C到直线l的距离d 3， |15030| 5 所以|AB|2 8. 25d2 11如图，点A在直线x4上移动，OPA为等腰直角三角形， OPA的顶角为OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨 迹方程，并判断轨迹形状 解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x4的极坐标方程为 cos 4. 设A( 0 ， 0 )，P(，)9 点A在直线cos 4上， 0 cos 0 4. OPA为等腰直角三角形，且OPA ， 2 而|OP|，|OA| 0 ，以及POA ， 4 0 ，且 0 . 2 4 把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为 cos 4. 2 ( 4 ) 由 cos 4得(cos sin )4. 2 ( 4 ) 点P轨迹的普通方程为xy4，是过点(4,0)且倾斜角为 的直线 3 4
