1、1高中数学：递推数列经典方法全面解析类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加)1nfan法)求解。例:已知数列 满足 ， ，求 。na21nan21na类型 2 f)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)1fan求解。例:已知数列 满足 ， ，求 。na321nn1na例:已知 ， ，求 。31a)(类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann )01(pq例:已知数列 中， ， ，求 .132nan变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去fpann1 nb带来的差异nf类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 nnqpa1 )0
2、1)(qp（ ,其中 p，q, r 均为常数） 。r例:已知数列 中， , ，求 。na651 11)2(3nnana类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。特q2征根法在求递推数列通项中的运用2各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08 年广东高考）设 p、q 为实数，、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列x n满足 x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)1）2）求数列x n的通项公式。3）若 ， ，求数列x n的前 n 项的和
3、snp41q(09 年江西高考)各项均为正数的数列 中a，都 有的 正 整 数且 对 满 足 qpnmqpnmba ,1 )1(mna，)(qp1）当 。时 ， 求 通 项54,2bana像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为 （其中 p，q 均为非零常数） 。nnqapa123先把原递推公式转化为 ，其中 满足)(1212 nnnn axax 21,x，显然 是
4、方程 的两个非零根。qxp21 21,x0qp1） 如果 ，则 ， 成等比，很容易求通012a12nnaxn项公式。2） 如果 ，则 成等比。公比为 ，012ax12nnax2x所以 ，转化成：121)(nn，12212 axxann( I )又如果 ，则 等差，公差为 ，2112nx)(12ax所以 ，即：)(12212 aaxn211 )(nn xa可以整理成通式：122 nn ax1)(nnBAaIi)如果 ，则令 ， ， ,就有21x12nbxaAx2Bax)(12，利用待定系数法可以求出 的通项公式BAbnn1 nb211212 )()(xaxann 4所以 ，化简整理得：22112
5、12 )()( nnn xaxa，21121)(nnnx小结特征根法：对于由递推公式 ，nnqapa12给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特21,ana0xn征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通21,x 21a项为 ，其中 A，B 由 决定（即把nnBAa 1,a和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组）21,x, 2nnxa；当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由n 12)(nn决定（即把 和 ，代入 ，得21,a21,xa, 12)(nnxa到关于 A、B 的方程组） 。简例应用（特征根法）：数列 ：na， 的特征方程是：),0(25312 Nnaan b21,x32,1
6、x。又由 ，于是21nnBAa1)(nba21,故)(3bab 1)3(3nn下面再看特征根法在 08 年广东高考题中的应用：设 p、q 为实数，、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列5xn满足 x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)1）2）求数列x n的通项公式。3）若 ， ，求数列x n的前 n 项的和 snp41q解：2）显然 xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是 x2-px+q=0，而 、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，所以可以直接假设：1 当 = 时，设 ，因为 x1=p,x2=p2-q，所以1)(n
7、nBAx解得qpBA2)(pqP2nx 222)(np2 当 时，设 ，因为 x1=p,x2=p2-q，所以11nBAx解得 ，qpBA2qp2 qpB+nx1n12np3） ， 时， ，由第 2）小题的项可以直接得到1p4q，可以用错位相减法求和顺利拿下第2BAnnx21)(3）小题。本题是 08 年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，6给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力
8、拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答：类型二、 hraqpnn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有1aNn（其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，hraqpnn1 rharqph1,0那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果rx 0x则 ；如果 则 是等差数列。当特征方程有01xa0n01a01nx两个相异的根 、 时，则 是等比数列。 （证明方法如同类1x212n型一，从略）例：已知数列 na满足性质：对于 且 求,324,N1nna,1的通项公式. na7解: 数列 na的特征方程为 变形得 其根为,324x,042x故特征方
9、程有两个相异的根，则有.2,1.N,)21(3)( 11221 nrpacnn.N,)5(n 即.N,1)5(212 ncann .N,)5(24nan例：已知数列 满足：对于 都有 （1）若n, .31nn求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些,51a;n,1a;n,6a;1a值时，无穷数列 不存在？n解：作特征方程 变形得.325x,02512x特征方程有两个相同的特征根 .(1) 对于 都有.,511a,Nn;5na(2) 3rpb)1(1 513)(31n令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不,82n0n5na存在，当 4， 时， .nN517nban(3) ,561a.1
10、 .,81)(1 Nnrp令 则 对于 ,0nb.7.0,n8.N,7435811nnban(4)、显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第1a（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当51ana时，则有 令5a .N,815)(11 rpnbn则得 且 2.,0nbN,31当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便anna不存在。于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无1a3,:15n穷数列 都不存在。n变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分 12 分）数列记).1(0521681 naaannn且满 足 ).1(2nabn（）求 b1、 b2、 b3、 b4的
11、值；（）求数列 的通项公式及数n列 的前 n 项和na.nS解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得,na8165 x81652或21x45,nnaa816)2(1 na816)45(219, 45211nnaannna24)1(45211451na)1(3bn ,2nnnbb得由naaS21故 12()nb 1(2)53n1(2)3n下面再欣赏用特征根法解决 09 年江西高考真题各项均为正数的数列 中na，都 有的 正 整 数且 对 满 足 qpnmqpmba ,1 )1(mna，)(qp1）当 时 ， 求 通 项54,2bana解：由 得)1(mn )1(qp)1(an )1(2an化间得
12、，作特征方程 ， ， 。21na2x12x所以 31nn nna313na从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，许多同学只能是望题兴叹！其实从网络上搜索便10知特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用。解法一（待定系数迭加法）:数列 ：na， ，求数列 的通项公),0(25312 Nnaann ba21, n式。解法二（特征根法）：数列 ： ， na ),0(25312 Nnann 的特征方程是： 。ba21, 0x, 。又由 ，3,x121nnBAx1)3(nba21,于是故)(322
13、baBAba 1)32(23nnba例:已知数列 中， , , ，求 。n12 nnn12n类型 6 递推公式为 与 的关系式。(或 )Sna(Sfa解法：这种类型一般利用 与)2(11nSnn例：已知数列 前 n 项和 .（1）求 与 的关系；a24na1na（2）求通项公式 .na11类型 7 banpn1 )01(、ap解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出 ,从而转)()1(1 yxnapynxa yx化为 是公比为 的等比数列n。例:设数列 ： ，求 .na)2(,13,411 nan na【例】 、已知数列 满足 ， ，则通项公式n )(3ana
