1、2015-2016 学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=1，2 a，B=a，b，若 ，则 AB 为（ ）A B C D2设 i 是虚数单位，复数 z= ，则|z|=（ ）A1 B C D23下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （ ）A B C D4等比数列a n中，a 3a5=64，则 a4=（ ）A8 B8 C8 或 8 D165已知函数 f（x）= ，若 ff（0）=a 2+4，则实数 a=（ ）A0 B2 C
2、 2 D0 或 26一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C2+4 D3+47若动圆与圆（x+2） 2+y2=4 外切且与直线 x=2 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）Ay 212x+12=0 By 2+12x12=0 Cy 2+8x=0 Dy 28x=08执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A4 B9 C7 D59已知 ， ，若 ，那么向量 的夹角等于（ ）A B C D10函数 y= 的图象大致为（ ）A B C D11以双曲线 （a0，b0）上一点 M 为圆心的圆与 x 轴恰相切于双曲线的一个焦点 F，且与 y 轴交于 P、Q 两点若MPQ 为正三角
3、形，则该双曲线的离心率为（ ）A4 B C D12对于任意实数 a，b，定义 mina，b= ，定义在 R 上的偶函数 f （x）满足f （x+4）=f（x） ，且当 0x 2 时，f （x）=min2 x1， 2x，若方程 f （x） mx=0 恰有两个根，则 m 的取值范围是（ ）A1， 1（ ln2， ）（ ，ln2 ） B 1， ）C1，1（ln2， ）（ ，ln2） D （ ， ） （ ， ）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13若 x，y 满足不等式组 ，则 z= x+y 的最小值是 14 （xy） （x+ y） 8 的展开式中 x2
4、y7 的系数为 （用数字填写答案）15已知数列a n满足 a1=3，a n+1an=2n，则 an= 16在四面体 ABCD 中，已知 AB=AC=3，BD=BC=4 ，BD面 ABC则四面体 ABCD 的外接球的半径为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 =2csinA（1）确定角 C 的大小；（2）若 c= ，且ABC 的面积为 ，求 a+b 的值18袋中装有 4 个白棋子、3 个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得 2 分，取到一个黑棋子得 1 分，从袋中任取 4 个棋子（1）求得分 X 的分
5、布列；（2）求得分大于 6 的概率19直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=AB=AC=1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA 1B1，D 为棱 A1B1 上的点（1）证明：ABAC；（2）证明：DFAE；（3）是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1，F 2，且|F 1F2|=2，点（1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且AF 2B 的面积为 ，求以 F2
6、 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程21已知函数 （）函数 f（x）在区间（0 ，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当 x0 时， 恒成立，求整数 k 的最大值；（）试证明：（1+1 2） （ 1+23）（1+34）（1+n（n+1） ）e 2n3四.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑） 选修 4-1：几何证明选讲22如图所示，锐角三角形 ABC 的内心为 I，过点 A 作直线 BI 的垂线，垂足为 H，点 E为圆 I 与边 CA 的切点（1）求证 A，I，H，E 四点共圆；（2）若C=50，求
7、IEH 的度数选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的方程为（ 为参数） ，曲线 C2 的极坐标方程为 C2：cos +sin=1，若曲线 C1 与C2 相交于 A、B 两点（1）求|AB|的值；（2）求点 M（ 1，2）到 A、B 两点的距离之积选修 4-5：不等式选讲24 （1）已知实数 a，b 满足|a|2，|b|2，证明：2|a+b|4+ab|；（2）已知 a0，求证： a+ 22015-2016 学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
8、60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=1，2 a，B=a，b，若 ，则 AB 为（ ）A B C D【考点】子集与交集、并集运算的转换；并集及其运算【分析】由集合 A 与 B 的交集求出 a，b 的值，再求出集合 A、B 和它们的并集【解答】解：由 得， ，A=1 ， ，B=1， ，AB=1，1， 故选 D2设 i 是虚数单位，复数 z= ，则|z|=（ ）A1 B C D2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z= = =i（1i ）=i+1，则|z|= 故选：B3下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具
9、有较强线性相关关系的是 （ ）A B C D【考点】变量间的相关关系【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是和【解答】解：两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和 故选 B4等比数列a n中，a 3a5=64，则 a4=（ ）A8 B8 C8 或 8 D16【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意和等比数列的性质可得 a42=64，解方程可得【解答】解：等比数列a n中，a 3a5=64，由等比数列的性质可得 a42=a3a5=64，解得
10、 a4=8，故选：C5已知函数 f（x）= ，若 ff（0）=a 2+4，则实数 a=（ ）A0 B2 C 2 D0 或 2【考点】分段函数的应用【分析】由分段函数的表达式，先求 f（0） ，再求 ff（0），解关于 a 的方程即可【解答】解：函数 f（x）= ，f（0）=2 0+1=2，ff（0）=f（2）=4+2a=a 2+4，a=0 或 a=2故选：D6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C2+4 D3+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何
11、体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为S 几何体 =12+12+22=3+4故选：D7若动圆与圆（x+2） 2+y2=4 外切且与直线 x=2 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）Ay 212x+12=0 By 2+12x12=0 Cy 2+8x=0 Dy 28x=0【考点】轨迹方程【分析】令动圆圆心 P 的坐标为（x，y） ，C 1（2，0） ，动圆得半径为 r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得 P（x，y）到 C1（2，0）与直线 x=4 的距离相等，化简可求【解答】解：设圆（x+2） 2+y2=4 的圆心 C1（ 2，0） ，动圆圆心 P 的（x，y） ，半径为 r，作x=4，x=2
12、，PQ直线 x=4，Q 为垂足，因圆 P 与 x=2 相切，故圆 P 到直线 x=4 的距离PQ=r+2，又 PC1=r+2，因此 P（x，y）到 C1（2，0）与直线 x=4 的距离相等，P 的轨迹为抛物线，焦点为C1（2，0） ，准线 x=4，顶点为（1，0） ，开口向右，可得 P=6，方程为：y 2=12（x 1） 故选：B8执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A4 B9 C7 D5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 n=1 时，执行循环体后，
13、T=2 ，S=18，n=3，不满足退出循环的条件，当 n=3 时，执行循环体后，T=8 ，S=36，n=5，不满足退出循环的条件，当 n=5 时，执行循环体后，T=32 ，S=54，n=7，不满足退出循环的条件，当 n=7 时，执行循环体后，T=128 ，S=72，n=9，满足退出循环的条件，故输出的 n 值为 9，故选：B9已知 ， ，若 ，那么向量 的夹角等于（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】代入向量夹角公式计算【解答】解：设向量 的夹角为 ，则 cos= = = 故选：A10函数 y= 的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】根据函数的定义域，特殊
14、点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可【解答】解：由 lnx0 得， x0 且 x1，当 0x1 时，lnx0，此时 y0，排除 B，C，函数的导数 f（ x）= ，由 f（x）0 得 lnx1，即 xe 此时函数单调递增，由 f（x）0 得 lnx1 且 x1，即 0x1 或 1xe，此时函数单调递减，故选：D11以双曲线 （a0，b0）上一点 M 为圆心的圆与 x 轴恰相切于双曲线的一个焦点 F，且与 y 轴交于 P、Q 两点若MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A4 B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可设 F（c，0） ，MFx 轴，可设 M（c，n） ，n0，设 x=c，代入双曲线的方程，可得 M 的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2 ，再由等边三角形的性质，可得 a，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，MF x 轴，可设 M（c，n） ，n0，设 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b = ，
