1、炎德 英才大联考雅礼中学 2016 届高三月考试卷（五）数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是虚数单位，复数 （ ）i i13A B C D422i21i22.若 ， 是第三象限的角，则 （ ）5cos)4sn(A B C D10101071073.下列说法中，正确的是（ ）A数据 的众数是2,534,4B一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C数据 的标准差是数据 的标准差的一半, 10,86D频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5.执行如图所示的程序框图，若
2、输出的结果为 ，则输入的正整数 的可能取值的集合是（ ）2aA B C D5,43216,5432,15,4326,54326.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 的值是（ ）xA B C D232297.若函数 满足 ，则函数 的单调递增区间是（ ）)sin()xf )3(fx)(xfA B3,6Zkk )65,ZkkC D)( (8.函数 的图象向左平移 个单位得函数 的图象，则函数 的)cossin21)( xxxf3)(xg)(xg解析式是（ ）A B)si()(g xg2cos)(C D32cox )in(9.设 分别是 的边 ， 上的点， ，且 ，若ED,
3、ABCAB21CE32为实数） ，则 的值为（ ）2121,(ACBDE21A B C D3410.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线与双曲线)0,(12bayx 1F2e2F的右支交于 ， 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）ABABF1 A B C D2124252311.设 是由任意 个人组成的集合，如果 中任意 个人当中都至少有 个人认识其余 个人，那S)5(nS413么，下面的判断中正确的是（ ）A 中没有人认识 中所有的人B 中至多有 人认识 中所有的人S2SC 中至多有 人不认识 中所有的人D 中至多有 人认识 中所有的人112.若 满足
4、 ， 满足 ，则 （ ）x52x2 5)1(log2x21xA B C D25374第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 的二次展开式中， 的系数为_.)2(x2x14.观察下列等式：113329266331041104153225323. .可以推测： _.（ ，结果用含有 的代数式表示）33321nNnn15.设 为实数，若 ，则 的取值范围为m8)2()(,)0(4),( yxymyx m_.16.已知 ，若存在 ，满足 ，则称 是 的一个“友ABC1B1sincoisinco11CBA1CBA好”三角形.若等腰 存在 “友好”三角形
5、，则其顶角的度数为_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）在等比数列 中， ， .na239S（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，且 为递增数列，若 ，求证： .126lognnabnb1nnbc 41321ncc18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， 底面ABCDPABCADBC P， ， ， 是 的中点.ABC42aP2E（1）求证：平面 平面 ；E（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.AP36A19.（本小题满分 12 分）名学生干部（
6、名单见表 ）进行内部评优，每人根据评分标准为自己和其他人打分，分值取 到 的102 01整数.对某名干部的得分 计算均值 和标准差 ，计区间 内的得分我“有效)10,.(ixxs)2,(sx得分” ，则这名干部的最终得分为其有效得分的平均分，最终得分最高的前 名干部评为优秀干部.4（1）表 为贝航的原始得分，请据此计算表 中 的值（保留两位小数） ，并判断贝航是否被评为了优秀2a干部；（2）现从这十名干部中随机抽取 人前往香港大学进行为期两天的交流访问，设所选取的 人中女生人数3 3为 ，优秀干部人数为 ，求概率 .XY）且 1(YXP表 1姓名 1x23x45x67x89x10贝航 9 9
7、10 8 9 9 6 9 9 7表 2姓名 贝航 黄韦嘉 李萱 刘紫璇 罗迪威 王安国 肖悦 杨清源 袁佳仪 周紫薇性别 女 男 女 女 男 男 女 男 女 女最终得分 a 9.22 8.50 8.81 8.43 8.91 8.12 7.95 9.31 7.79参考数据： .24520.（本小题满分 12 分)如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，点 的轨迹为 .M)0,1(FyFMFH（1）求曲线 的方程；H（2）一条直线 经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点；ABHABC1x求证： 不可能是钝角；C是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，
8、求点 的坐标；否则，说明理由.C21.（本小题满分 12 分）已知函数 .)0(1ln)(2axxf（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个极值点 ，证明： .)(xf21,x2ln3)(21xff请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线ABCBOACBPBAC分别交 和圆 于点 ，若 .OED,102P（1）求证： ；ABC2（2）求 的值.DE23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 为参数)
9、， 为参数).tyx(sin3co4:1(sin3co8:2yxC（1）化 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；21,C（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 的中点 到直线P2tQ2PQM为参数)距离的最小值.tyx(3:24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .)(12)(Raxxf （1）当 时，求函数 的最大值；3af（2）解关于 的不等式 .x0)(x参考答案1.B 【解析】 ，故选 B.iiii 213)1(32.C.【解析】由题意 ，53sin，故选 C.10275424sicoi)4sin( 4.B【解析】 ，故选 B.617)2
10、31()2(21 ttdts5.C 【解析】依次执行循环体的值为 ； .此时跳出循环，所以,ia2,3)(ia且 ，得 ，所以 的可能取值为 ，故选 C.32a)(a51546.B【解析】由三视图可得此几何体的立体图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥， 底面 ， ，底面是一个上下边长分别为 和 ，PABCDxPA12高为 的直角梯形，体积 ，所以 ，故选 B.2 32)1(3xV7.D【解析】由题意 时， 取最小值，即 ，xf 1)32sin()(f ， ，)(23Zk67Zk不妨令 ，取 ，即 .0k67)2sin(xf令 ，得 ，故选 D.)(kx )(653Zk8.A【解析】化简函
11、数，)62sin()sin(2i2cos)3(sin21)( xxxxf的图象向左平移 个单位得函数 的图象，则)(xf3)(xg，)2sin()2(sin2)sin26(2sin) xxg故选 A.9.B【解析】易知 ，ACBACBABED 361)(3131， .32,612110.C【解析】设 ，则 ， ， ，mAFF21 am22amF22 ， ， ，B2 a4A)1(2 为直角三角形， ， ，2122121A2)5(c ， ， ，故选 C.ma428)5(4ac5e11.D 【解析】反证法，假设每个人都有不认识的，先随机选 个人 ，则他必须有一个不认识的人 ；1AB如果不存在两人都认
12、识的人，那么如果选的四个人包含 ， ，对 ， 而言不认识对方，对其他人而B言不能同时认识 ， ，故条件不成立；如果有 分别和 ， 认识，那么 还有一名不认识的，那么ABCC四人中每人都有不认识的人，又不满足条件，所以可知 中至少有 个人认识其余所有人.CB, S112.C 【解析】 ， ，即 ， ，作出xx25x25)1(log2xx251 x25)(log2， ， 的图象（如图） ， 与 的图象关于 对12xyyy 1y称，它们与 的交点 、 的中点为 与 的交点 ， ，xABx21C4721x.271x13. 4014. 【解析】根据所给等式 ，)1(2n13， ，223)(2233 )(
13、6，.，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底3)41(041数，推测： .4)1()2(222333 nn15. 【解析】集合 表示的是以 为顶点的直1,0( )0(),(myx )4,()0,(mBAO角三角形内部（含边界） ，由题意这个三角形在圆 内部，则 ，8)2(y 8)2()(2又 ，所以 .0m116. 【解析】设 ，由已知得 ，4BA11siniBA， ， ，则 ，所以 ， ，1sincoA1sincocosC21A21B（舍）或 ， ， ，解得 .2C221214C17.【解析】 （1） 时， ； .2 分q3na时， . .4 分q1)(6na（2）由题意知：
14、， .6 分2n . . .8 分nn)4(1b ， .10 分)1(4)1()2( ncn . .12 分321 cn18.【解析】 （1） 平面 ， 平面 ， .PCABDCABDPC ， ， .4AB2D2 ， ，2 平面 ，平面 平面 . .4 分CEACPB（2）如图，以点 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系，CCPDA,xyz则 ，设 ，则 .)0,2(),(),0(BAC)0(2,aP),1(aE，),1(,2CEaP设 ，则 ， 为面 的法向量.)1(mmAC设 为面 的法向量 ，则 ，,zyxnA0En即 ，取 ，则 ，0a2,zayx )2,(a于是
15、 ， .)2,(n)4,(P设直线 与平面 所成角为 ，则 ，AEC32,cosinnPA即直线 与平面 所成角为 . .12 分P3219.【解析】 （1）计算得 ，则有效得分区间为 ，包含表 中除去 的1.5,.8sx )74.1026(17x其余 个得分，计算其均值的最终得分 .由表 知，贝航最终得分排名第 ，没有被评为优秀干部.978a25（2）事件 有 种基本事件，事件 有 种基本事件，且两事件互斥.0X43C0Y36C . .12 分0)P(Y-)(X-XPYP10(1( ）或）且 54131064C20.【解析】 （1）设 ，因为点 在圆 上，且点 关于圆心 的对称点为 ，),yxF ),(FMFMF则 ，而 ，则 ，)2,(yxM21(y 2)1(2xyx
