1、2016 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学（文）试题一、选择题1若全集 ，集合 ， ，则 （ UR124xA10BxUAB）A B 01xC D 12x【答案】A【解析】试题分析： ，40xAx，101Bxx，故选 AU21Ax【考点】集合的交集、补集运算2已知 ， ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ aRbiai2bi2abi）A B C D54i54i34i34i【答案】D【解析】试题分析：由已知得， ，即 ，所以2,1ab2ai选 D22()()34,abiii【考点】复数的四则运算，复数的概念3已知命题 ；命题 若 ，则 则下列命题为真命题01xp： ， q：
2、xy2的是（ ）A B C Dqppq【答案】B【解析】试题分析：命题 为真命题，命题 若 ，则 为021x： ， ： xy2假命题， （如 ） ，故 为真命题，则 为真命题故选：B03xy， qpq【考点】复合命题的真假4在区间 上随机地抽取一个实数 ，若 满足 的概率为 ，则实数2,4x2xm56的值为（ ）mA B C D349【答案】D【解析】试题分析：如图试卷第 2 页，总 17 页区间长度是 ，区间 上随机地取一个数 ，若 满足 的概率为 ，所以624， x2xm56故选：D9m【考点】几何概型5已知 在 上是奇函数，且满足 ，当 时，fxR4fxf0,2x，则 （ ）2f7fA
3、B C D 29898【答案】B【解析】试题分析：由题意知 是周期为 4 的奇函数，故fx2)1()427() ff【考点】1函数的奇偶性；2周期性6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 的直角三角形，2俯视图是半径为 的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）1A B C D31236343【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体为圆锥的 ，圆锥的底面半径为 1，母线长1为 2，圆锥的高为 故选 A314332V【考点】由三视图求面积、体积7下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 ， ， 的值分别为
4、， ， ，则输出 和 的值分别abi680ai为（ ）A ， B ， C ， D ，04032423【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得： ， ，不满足680abi， ， 1i，不满足 ，满足 ，满足ab862abi， ， ， ，不满足 ，满足 ，输出 的值为 的值为24i， ， ba，故选：D4【考点】程序框图8设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为2fxgxygx1,，则曲线 在点 处切线的斜率为为（ ）21yyf1,fA B C D44212【答案】A【解析】试题分析：由题意可知， ，所以 1 gfxgx，所以得直线斜率为 4124fg【考点】导数的几何意义9已知 ，且 ，函
5、数 （ ）的图象的相3sin5,sinfx0邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 的值为（ ）24fA B C D3553545【答案】B【解析】试题分析：根据函数 的图象的相邻两条对称轴(0)sinfx之间的距离等于 ，可得 由 ，且 ，可得22T， 3si5,2试卷第 4 页，总 17 页， ，则34arcsino5， 3sin2arcsin)5(fx，故选：B34iarcsinori254f【考点】正弦函数的图象10已知 的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，ABCABC0,12,0,为坐标原点，动点 满足 ，则 的最小值是（ ）OP1OPA B C D31311【答案】A【解析】试题
6、分析：由 及 可得 的轨迹方程为 ，即1C0,222xy，cosin2xy，cos,in1OABP22 2（cossii43cos423 ， ） ， 633in1OABP【考点】1向量模的几何意义；2点和圆的位置关系【一题多解】设 ，由 ，可知 ，所以点 的轨迹是以,Pxy1CP22xyP为圆心，1 为半径的圆上的点，又 的最0,C 221OABxy小值，表示点 与点 之间的距离的最小值，由点和圆的位置关系可知，2,的最小值为 OABP22013111过双曲线 （ ， ）的一个焦点 作一条渐近线的垂线，垂足21xyababF为点 ，与另一条渐近线交于点 ，若 ，则此双曲线的离心率为（ ）2BA
7、A B C D23 5【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由已知 的斜率为 ，直线 的方程为FabF由 解得 ，即 由().ayxcb()ayxcb2axcby2abAc（ ， ） ；解得 ，即 ，又 ，所以，()yxcba22acxby22(,)acBbFAB，选 223,1eC【考点】1直线的斜率、直线的方程；2双曲线的几何性质【一题多解】如图因为 ，所以 为线段 的中点， ，又2FBAFB24，所以 故1390， 132360ba故选：C22()4beea12已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角SABABC1形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）C2A
8、 B C D2636232试卷第 6 页，总 17 页【答案】A【解析】试题分析：取 的中点 ，连接 ，作 ，则ABDSE， SC,所以 面 ，因为 为球 的直径，且 ，所,ABSDCCO2以 ，所以 ，所以 ，903213-=D，在三角形 SDC 中，213-=C所以 ,所以223cosSDCS， 46sin3SDC,所以棱锥的体积 1sin22SDC=12SCVAB【考点】1棱锥的体积公式；2三棱锥的外接球【思路点睛】求椎体的体积，要适当的选择底面和高。做本题的关键是是把棱锥的体积转化为 ；此题的难度较大，考查了学生分析问题，解决SAB13SDCAB问题的能力。同时也考查了学生的空间想象能
9、力二、填空题13某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，现要用分层抽样的5:43方法抽取一个容量为 的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 240【答案】80【解析】试题分析：高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，抽取:一个容量为 240 的样本，则所抽取的二年级学生的人数 ，故答案2408053为：80【考点】分层抽样方法14若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是 xy240xyxy【答案】 13,2【解析】试题分析：由约束条件 作出可行域如下图，204xy求得 利用斜率公式得结合图形可知 的取值范围是 ，所以312AB， ， ， yx2,3的取值范围是 xy,【考点】简
10、单的线性规划15设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中nan24nnSa为数列 的前 项和，则数列 的通项公式为 nSa【答案】 2【解析】试题分析：当 时，由 ，得 ，当 时，1n21140Sa， 12n由 ，得 ，24n nnaSa10na因为 ，所以 ，故 1012【考点】数列递推式【思路点睛】本题考查数列的通项公式及前 项和的求法，注意解题方法的积累；在n解答过程中采用数列的递推式 ，当 时，得 ；当1,2nnSa112a时，由 ，得 ，从而可得结论2n14nnaS116已知以 为焦点的抛物线 上的两点 ， 满足 ，则弦 中F24yxA2FBA点到抛物线准线的距离为 【答案】
11、 94【解析】试题分析：令 ， ，其中点 ， ，由1,Axy2,By0,Dxy1,得， ，2AFB21试卷第 8 页，总 17 页，故 ， ，两式相减得1230xy12203xxy214yx，故 ，1212124x1221yykxxA，即 ，又 ，2122y24y24，得 ， ， 中点到抛物线准线距离4xx035AB09d【考点】抛物线的简单性质【一题多解】设 ，由抛物线的定义知 ， 中，BFm112m， ABCV， ，直线 方程为 与抛物线方程3AC， 2ABkAByx联立消 得 ，所以 中点到准线距离为 y250x1294三、解答题17设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有nSna
12、12an21（1）求数列 的通项公式；n（2）若数列 的前 项和为 ，求证： 42nann12n【答案】 （1） ；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）因为 ，然后再利用采用数列的递推式1nnSa，即可求出结果；（2）因为 ， ，1,nnSa 2n42nnba，所以 ，然后再利用裂项相消即可求411bn出 ，然后再根据 的单调性即可证明结果nn试题解析：证明：（1）因为 ，2nnSa当 时， ，21nSa两式相减，得 ，12nnaa即 ，1所以当 时， n所以 1na因为 ，所以 12n（2）因为 ， ， ，所以na42nnba4121nb所以 12 11. .23nn nTbn因为 ，所以
13、 01因为 在 上是单调递减函数，所以 在 上是单调递增函数fn1nN所以当 时， 取最小值 1n2所以 2n【考点】1等差数列；2裂项相消【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一: 型，通过拼凑法nkafc裂解成 ；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘1ncnckada和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有 ；对数运算nkaffnc11nn本身可以裂解；阶乘和组合数公式型要重点掌握11logll
14、ognaanan和 !11mmnnC18 “冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在 小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战） ，并且不能重复参加24该活动若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，试卷第 10 页，总 17 页然后便可以邀请另外 个人参与这项活动假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可3能的，且互不影响（1）若某参与者接受挑战后，对其他 个人发出邀请，则这 个人中至少有 个人接332受挑战的概率是多少？（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：根据表中数据，
15、能否有 %的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？90附： 22nadbcd【答案】 （1） ；（2）详见解析【解析】试题（1）分别列出 3 人参加活动的所以可能结果，和其中至少有 3 人接受挑战的情况种数，然后根据古典概型的概率计算；（2）根据列联表中的数据计算观测值 ，然2k后和表中的 进行比较，大于就表示有关，小于表示没有 90%的把握认为“冰桶挑706.战赛与受邀者的性别有关” 试题解析：（1）这 个人接受挑战分别记为 ， ， ，则 ， ， 分别表示这3AC个人不接受挑战3这 个人参与该项活动的可能结果为： ， ， ，,A， ， ， ， ，共有 种,CA,C8其中，至少有 个人接受挑战的可能结果有： ， ， ，2,C,C，共有 种,4根据古典概型的概率公式，所求的概率为 4182P（2）根据 列联表，得到 的观测值为：2220564730nadbcd
