1、长郡中学 2016 届高三月考试卷（六）数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集 ，集合 ， ，则 （ ）UR124xA10xUAA B C D01x 1x22.已知 ， ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）aRbiai2bi2abiA B C D54i54i34344.在区间 上随机地抽取一个实数 ，若 满足 的概率为 ，则实数 的值为（ ）2,4x2xm56mA B C D3495.已知 在 上是奇函数，且满足 ，当 时， ，则 （ fxRff0,22fx7f
2、）A B C D2298986.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 的直角三角形，俯视图是半径为2的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）1A B C D32363437.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 ， ， 的值分别为 ， ， ，则输出 和 的值分别为（ ）abi680aiA ， B ， C ， D ，04324238.设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线2fxgxygx1, 21yx在点 处切线的斜率为为（ ）y1,fA B C D442129.已知 ，且 ，函数 （ ）的图象的
3、相邻两条对称轴之间的3sin5,2sinfx0距离等于 ，则 的值为（ ）24fA B C D355354510.已知 的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ， 为坐标原点，动点CA0,12,0,满足 ，则 的最小值是（ ）C1AA B C D3131111.过双曲线 （ ， ）的一个焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为点 ，与另一条渐2xyab0abFA近线交于点 ，若 ，则此双曲线的离心率为（ ）FAA B C D232512.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直CSCA1CS径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）A B C D2636232第卷（共 90
4、 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为5:43的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 24014.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是 xy204xyxy15.设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中 为数列 的前 项nan24nnSanSna和，则数列 的通项公式为 na16.已知以 为焦点的抛物线 上的两点 ， 满足 ，则弦 中点到抛物线准线的距F24yxAF2A离为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5、） 17.（本小题满分 12 分）设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有 nSna12an21nnSa（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ，求证： 42nann12n18.（本小题满分 12 分）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在 小时内接受挑战，24要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战） ，并且不能重复参加该活动若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外 个人参与这项活动假设每个人接受挑3战与不接受挑战是等可能的，且互不影响（1）若某参与者接受挑战后，对其他 个人发出邀请，则这 个人中
6、至少有 个人接受挑战的概率是多少？32（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：根据表中数据，能否有 %的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？90附： 22nadbcd19.（本小题满分 12 分）如图甲， 的直径 ，圆上两点 、 在直径 的两侧，使 ， 沿直A2CDAC4D3A径 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙） ， 为 的中点， 为 的中点根据图乙解F答下列各题：（1）求证： ；CD（2）在 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明AGF/CDAG理由20.（本小题满分 12 分）定圆
7、 ，动圆 过点 且与圆 相切，记圆心 的轨迹为 :2316xyF3,0（1）求轨迹 的方程；（2）设点 ， ， 在 上运动， 与 关于原点对称，且 ，当 的面积最小时，求ACACAC直线 的方程21.（本小题满分 12 分）已知函数 （ ） ，其导函数为 2lnfxaxRfx（1）求函数 的极值；1gf（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围xx0fxa请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， ， 于点 ，以 为直径的 与 交于点 C90ADADAC（1）求证：
8、 ；（2）若 ，点 在线段 上移动， ， 与圆 相交于点 ，求 的最大值4F90 F23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数） :l123xty1C:cosinxy（1）设 与 相交于 ， 两点，求 ；l1CA（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设点1 12322C是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值2 l24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知定义在 上的函数 ， ，存在实数 使 成立Rfxmxx2f（1）求实数 的值；m（2）若 ， ， ，求证： 14
9、ff13长郡中学 2016 届高三月考试卷（六）数学（文科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B D B A C A B A C A10A 【解析】由 及 可得 的轨迹方程为 ，即 ，C10,2221xycosin2xy，cos,in1 2cos（ ，222cosii423cos43 6） ， 3sin31A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13. 14. 15.8013,22n16. 94【解析】令 ， ，其中点 ， ，由 得， ，1,xyA2,y0D,xyF1,2FA12x
10、y，故 ， ，两式相减得 ，1230xy12203xxy214yx1212124yyx故 ， ，即 ，又 ，12214kxyxA212241yx24yx2yx，得 ， ， 中点到抛物线准线距离 224035A0914d三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【解析】证明：（1）因为 ，1nnSa当 时， ，2n1nSa两式相减，得 ，1n即 ，1n所以当 时， 21na所以 1n因为 ，所以 6 分1an（2）因为 ， ， ，2n42nnba因为 ，所以 10n1n因为 在 上是单调递减函数，所以 在 上是单调递增函数f1n所以当 时， 取最小值 1n2所以 12
11、分2n18.【解析】 （1）这 个人接受挑战分别记为 ， ， ，则 ， ， 分别表示这 个人不接受挑3AC3战1 分这 个人参与该项活动的可能结果为： ， ， ， ， ，3,CA,CA,CA， ， ，共有 种3 分,CA,8其中，至少有 个人接受挑战的可能结果有： ， ， ， ，共有2,种5 分4根据古典概型的概率公式，所求的概率为 6 分4182（2）根据 列联表，得到 的观测值为：228 分20564730nadbcd10 分251.794因为 11 分06所以没有 %的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关” 12 分19.【解析】 （1）在 中， ， ， 为正三角形，又 为 的DA60
12、DAA中点， ， 两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ， 平面CD 6 分CA（2）存在， 为 的中点证明如下：连接 ， ， ， ， 为 的直径，GAGFGA， ， 平面 ， 平面 ， 平面 D/DDACDA/C在 中， ， 分别为 ， 的中点， ，FC/平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 ，FC/FF/又 平面 ， 平面 12 分GG20.【解析】 （1）因为点 在圆 内，所以圆 内切于圆 1 分F3,0:2316xy因为 2 分4所以点 的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆3 分,0且 ， ，所以 4 分24a3c1b所以轨迹 的方程为 5 分2xy（2）当 为长轴（或短轴）时，依题意
13、知，点 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点） ，AC此时 6 分C12S当直线 的斜率存在且不为 时，设其斜率为 ，直线 的方程为 ，0kAykx联立方程 ，得 ， ，7 分214xyk224xA241yA所以 8 分22214kxyA由 知， 为等腰三角形， 为 的中点， ，CCCA所以直线 的方程为 ，由 ，1yxk214yxk解得 ， ， 9 分2C4kxC24yk221410 分222C 4121kkkSA 由于 22245114kkk所以 ，C85SA当且仅当 ，即 时等号成立，此时 面积的最小值是 11 分214k1kCA85因为 ，所以 面积的最小值为 ，此时直线 的方程为 或 12 分85yx21.【解析】 （1）由题知 ， ，则 ，0xln21fxa21ln1gfax，当 时， ， 为增函数；当 时， ，gx10gxx0g为减函数所以当 时， 有极大值 ， 无极小值5 分1xgxx
