1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 若 ,则实数 的取值范围是（ ）2 2|0,|log,AxBxmABmA B C D0,41,10,1,22. 已知复数 满足 ,则复数 在复平面上对应的点在（ ）z3520iizA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3. 已知 为等差数列 的前 项和, , 则 等于 （ ）nSna24,1aS6A B C D3239 454. 已知直线 过双曲线 的一个焦点, 且与双曲线的一条渐近线垂20xy20,xyba直, 则
2、双曲线的实轴长为（ ）A B C D2 2345. 已知 ,则 等于 （ ）20,sincos34xxtanxA B C D12 226. 已知 ,则 等于（ ）5 2501.1xaxaax01234aaA. B C D31 37. 执行如图所示的程序框图, 已知命题 ,输出 的值为 命题 ,则输出 的:46pkS:5qkS值为 ,则下列命题正确的是（ ）4A B C Dqpqpqpq8. 已知函数 , 若 对 恒成立, 则 的最2sin12fxx1fx,3124f小值是（ ）A B C D1219. 已知函数 的定义域为 ,对任意 ,有 ,且 ,则不等式fxR12x212fxfx34f的解集
3、为（ ）1122log3log3xxfA B C D,0,1,2,0,210. 一个几何体的三视图如图所示, 在该几何体的体积为（ ）A B C D4512611. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,点 是椭圆 与圆2:10xyMab1F2AM在第一象限的交点, 且点 到 的距离等于 .若椭圆 上一动点到点224:9CxybmA23m与到点 的距离之差的最大值为 ,则椭圆 的离心率为（ ）1F2aMA B C D131223212. 已知函数 是奇函数, 且函数 有两个零点, 则实数 的取值3fxxa1gxfkk范围是（ ）A B,31,C D,34,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5
4、 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如果实数 满足条件 ,则 的最大值为 ,xy021xy12zyx14. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试, 根据平时训练的经验, 甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为 ,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 34515. 在 中, , 若 ,则 ABC90,3,1ABC2ABCDBA16. 已知正项数列 的前 项为 ,当 时, , 且 ,设 ,nanS11nnaSa12log3nnab则 12.b三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）在 中, 角
5、 的对边分别为 ,且 .ABC,abc3sin2siAaC（1）若 ,求 的值；3ACsin（2）若 的面积为 ,求 .,c32a18. （本小题满分 12 分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段, 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康, 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位: 小时), 分别从这两个班中随机抽取 名6同学进步调查, 将他们最近一周我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字), 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过 小时, 则称为“过度熬夜”21.（1）请根据样本数据, 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习
6、时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取 个数据, 求恰有 个数据为“过度熬夜”的概率；21（3）从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取 名学生的数据, 记“过度熬夜”的学生人数为 ,写 的分X布列和数学期望 .EX19. （本小题满分 12 分）如图, 在四棱锥 中, 是边长为 的正三角形, 底面PABCD2PC.23.,ABCDP（1）求证： ；（2）若 ,求二面角 的正弦值.ABPD20. （本小题满分 12 分）焦点为 的抛物线 上有一动点 ,且点 抛物线 的准线F2:0CypxPC与点 的距离之和的最小值为 .0,2D5（1）求抛物线 的方程；C（2）过点 作直线交抛物线 于不
7、同 的两点 ,若直线 分别交直线,1QC1,2RAB,R于 两点, 求 最小值时直线 的方程.:lyxMN21. （本小题满分 12 分）已知函数 .,0lnxfa（1）若 在 上是减函数, 求实数 的最小值；yfx1a（2）若存在 ,使 成立, 求实数 的取值范围.2e14fx请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 已知 为圆 的直径 , 为圆 上一点, 连接 并延长使 ,连接 并延长交圆 于ABOCACPBO点 ,过点 作圆 的切线, 切点为 .DPE（1）证明： ；2（2）若 ,求 的
8、长度.5,4EB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合, 设点 为坐标原xO点, 直线 (参数 )与曲线 的极坐标方程为 .:2xtlytRC2cosin（1）求直线 与曲线 的普通方程；lC（2）设直线 与曲线 相交于 、 两点, 证明： .AB0OAB24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21,fxgxa（1）当 时, 解不等式 ；0af（2）若存在 ,使得 成立, 求实数 的取值范围.xRxa湖南省郴州市 2016 届高三第四次教学质量检测数学（理）试题参考
9、答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5.CABAD 6-10.CDBDA 11-12.BC二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16.1223122n三、解答题17.解：（1） ,由 得 ,2ABCBC3sin2sibAaC23sincoC解得 ,3cos.216 632in1,sini2sinco23CBC（2）由 得 , 的面积为3sisinbAaC2bc3,cbAB18. 解：（1）甲班样本数据的平均值为 ,由此估计甲班学生每周平均熬1932047196夜时间 小时；乙班样本数据的平均值为 ,由此估计乙班学生每周平9 15362均熬夜时间 小时.
10、2（2）因为从甲班的 个样本数据中随机抽取 个的数据为“过度熬夜”的概率是 ,所以从甲班样本数据中6 1有放回的抽取 个的数据, 恰有 个数据为“过度熬夜”的概率为 .2112439PC(3) 的可能取值为 . ,X0,342 121434436 660,575CPXX,22134367CP.21122343 36 61,4575CXPX的分布列是：X01234P25675175. 3EX19. 解：（1）证明：连接 交 于 , 底面 ,ACBDOPCABD平面 ,则,PCABP,即 ,233,tan30,60,90AOB即 平面 .,DB,ACPBD（2）由（1）知 是 的中点 , 过 作
11、交 于 ,以 为坐标原点, 建立如图所示的空间直OBDOFPCAFO角坐标系, 则 ,3323,0,10,0,0A P则 ,设平面 的一个法向量 ,23,2,DBPPBDnxyz则 ,即 ,令 ,则 .0nA320yxz12,01x取 的中点 ,连接 ,则 平面 ,PB1,6E,CEPBCEPABP向量 是平面 一个法向量, ,3,2CA2310cos 5nA二面角 的正弦值为 .ABPD1520. 解：（1）连接 ,则由拋物线定义可得 , 点 到拋物线 的准线的距离等于 , 当 、 、PFPCPFD三点共线时, 取最小值 ,即 ,解得 , 拋物线 的方程为FD5254pDF2pC. 24yx
12、（2）设 ,直线 的方程为 ,由 ,消去 整12,AyBxAB10xmy214xmyx理得 .设直线 的方程为 ,由122440,ymAR1yk,解得点 的横坐标 ,又1ykxM1Mkx,11 11 1242,2yx y同理点 的横坐标 ,N2Nxy2 21212121 1241,555MNyyymxy,令 ,则 ,8554m0tmt, .2211tMNt21325154Nt即当 时, 即 时, 取最小值为 ,此时直线 的方程为 .tmMAB20xy21. 解：（1） 在 上为减函数, 故 在 上恒成立, 所以当fx12ln1 0xfa时, . 又 ,xmax0f22ln11 lnlln4xf
13、a axx故当 ,即 时, , , 于是 ,故 最小值为 .1ln22eax4f 04a（2） “若存在 ,使 成立” 等价于， “当 时, 有 ”.1x12xemin14fx当 时, 由(1) 得, 在 上为减函数, 则 ,4afx2e2minffae故 .当 时, 由于 在 上为增函数,214ae104a21ln4fxa2e故 的值域为 ,即 .由 的单调性和值域知, 存在唯一 ,fx2,fe,4afx20xe使 ,且满足：当 时, 为减函数；当 时, 0f0x0,fxf20xe为增函数； ,fxf 200min 1,l4ffax,20111ln4ln4ae与 矛盾, 不合题意 . 综上,
14、 得 .24ae22. 解：（1）连接 , 为圆 的直径, .BCAO90,BCACPAB是圆 的切线, 是圆 的割线,EPOPD22.PDEE（2） 是圆 的切线, 是圆 的割线,.2 2,23,4ACACAAC,得 .20164BB23. 解：（1）由直线 的参数方程消去 得普通方程 ,由曲线 的坐标方程两边同乘 ,得曲lt2yxp线 的普通方程 . C2xy（2）设 ,由 ,消去 得 ,12,AB2xy240x,2112124,4xxyA.120OAB24. 解：（1）当 时,由 得 ,两边平方整理得 ,afxg21x23410x解得 或 , 原不等式解集为 .x3,3（2）由 得 ,令 ,则 ,fxg21ax21hxx1,23,01xhx故 ,从而所求实数 的取值范围为 .min12hxa12a
