1、2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（理）试题一、选择题1若集合 ，集合 ，则 等于（ ）2|30Ax|38xBABA B,3,1C D3log8【答案】C【解析】试题分析： ，2|0=(-,1)(3,+)Ax， 。故选 C。3|38(log,)xBB【考点】集合运算。2复数 的实部与虚部之和为（ ）2izA-3 B4C3 D-11【答案】D【解析】试题分析： ，复数23(47)47iiiz i的实部和虚部是 。故选 D。23iz1【考点】复数的四则运算。3已知函数 的最小正周期为 ，则 等于（ sin0fx12f）A B C D1212332【答案】A【解析】试题分析：由题意知
2、 ， ，,sin2sinfxx。故选 A。1sin126f【考点】正弦型函数的性质。4命题： ，直线 与双曲线 有交点，则下列表述正确:0,2pkykx2194yx的是（ ）A 是假命题，其否定是： ，直线 与双曲线 有交点p2,kykx2194yxB 是真命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点0,2C 是假命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点p,2kykx2194yxD 是真命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点,2【答案】B【解析】试题分析：若直线 与双曲线 有交点，由双曲线的渐近线为ykx2194yx，焦点在 轴上，可得 或 ，故 ，直线 与双32yx30,2kykx曲线
3、有交点为真命题，其否定是： ，直线 与双曲线194 ,无交点。故选 B。2yx【考点】1.含有一个量词的命题的否定；2.双曲线的几何性质。5袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出 1 个小球，则至少有 2 次摸到白球的概率为（ ）A B C D2073179【答案】A【解析】试题分析：袋子中装有大小相同的 个小球， 红 白，现从中有放回的624随机摸球 次，每次摸出 个小球，每次摸到红球的概率都是 ，摸到白球的概率都113是 ，至少有 次摸出白球的概率为： 。故选 A。23 230P()()7C【考点】概率计算。【思路点睛】因为袋子中装有大小
4、相同的 个小球， 红 白，所以每次摸到红球的64概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，由此利用 次独立重复试验中事件 恰好发生13n次的概率计算公式能求出至少有 次摸出白球的概率。本题主要考查概率的求法，k2属于基础题，解题时要认真审题，注意 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概Ak率计算公式的合理运用。6如图是一个程序框图，则输出 的值是（ ）SA5 B7C9 D11【答案】C【解析】试题分析：模拟程序框图的运行过程，如下： ，38,1sn不成立；1928,12,sn不成立； 不3035s528,57,snsn成立； 成立，退出循环，输出 的值为 。故选479,s n9C。【考点】程序框图。7
5、函数 的图象大致是（ ）21xyeABCD【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 为偶函数，所以图象2()1)()xfxef()fx关于 轴对称，故排除 B，当 时， ，故排除 A，当 时，yy1，故排除 D。故选 C。0y【考点】函数的图象。8若 ，则 的最大值为（ ）5,412x2cosin4xfxA1 B2C3 D4【答案】A【解析】试题分析：，2cosincos(incs)incos1422tan2xxxxfx， ， ， 当 时，5,412ta31tax=tx.故选 A。maxf【考点】三角函数的最值。9已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 可以是b、 2,3abab13a
6、b:（ ）A4 B-3 C D-2【答案】D【解析】试题分析：由已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为ab、 2,3bab，则 ，即 ，131()493ab:2132a:所以 或 。故选 D。2469【考点】平面向量数量积的运算。10已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点210xyab12,0,Fc、且斜率为 的直线 交直线 于 ，若 在以线段 为直径的圆2Fbl2xyM12上，则椭圆的离心率为（ ）A B C D13123【答案】C【解析】试题分析：设过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，与2Fbal2()byxca联立，可得交点 ， 在以线段 为直径的圆上，20bxay(,)cM12F，即 ，
7、 ， 。故选 C。22()cbca23=4ba221c4ba1=2ce【考点】椭圆的简单性质。11如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 803B 7C23D24【答案】A【解析】试题分析：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥 和CABNM三棱锥 组合体。由三视图可知 平面 ， 平面 ，MBCAND四边形 是边长为 的正方形， ，几何体的体积BC42,4M。故选 A。1180(2)4333V【考点】由三视图求面积、体积。【思路点睛】根据三视图作出几何体的直观图，该几何体为四棱锥 和三棱CABNM锥 组合体，由三视图可知 平面 ， 平面 ，四边MACDBCAND形 是边长为
8、 的正方形， ，再利用椎体体积公式求得两个椎B42,4M体的体积之和即可。本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，分析几何体的组成是关键，属于中档题。12已知函数 ，若存在 ，使得2lnxbfR1,2x，则实数 的取值范围是（ ）0fxfA B C D3,29,4,3,2【答案】B【解析】试题分析： ，定义域为 ，2lnxbf0,，构造函数 ，则22ln1=xbf =()hxf，存在 ，使得 ，21()xhff1,20fxf存在 ，使得 ，即 ，设 ，则1,2x20bbx1=2g， 在 上是减函数，22(1)()=xh,在 上是增函数，而 ， ， ， 。故选2,94g3()94maxhbB。【
9、考点】利用导数研究函数的单调性。【思路点睛】存在 ，使得 ，也就是函数 在1,2x0fxf=()hxf区间 上有单调增区间，因此先求出 的导数 ，再分离出变量1,2 =()hfx，构造函数 ，只需 ，利用导数法求出 的bx1=2gxmaxbggx最大值即可求出实数 的取值范围。本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，b考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题。二、填空题13 的展开式中的常数项为 。523x【答案】 40【解析】试题分析： 52025124232323424555533()()()()()()xCxCxxCxx ，017253455 5521486C 的展开式中的
10、常数项为 。所以答案应填：23x 350Cx。40【考点】二项式定理。14在三棱锥 中， 底面 ，则该三棱1ABC11,BCA,2C锥的外接球的表面积为 。【答案】 8【解析】试题分析：由三棱锥 中， 底面 ，将三棱锥1A11,B补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为 ，半径为2，外接球的表面积 。所以答案应填： 。2248SR8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。【方法点睛】由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性：几
11、何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等本题将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积。本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，得出将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径是解题的关键。15在 中，角 所对的边分别是 ， ，且ABC、 、 abc、 、 5os23C，cos2ab则 面积的最大值为 。【答案】 5【解析】试题分析： ， ，5cos23C2251cos1()
12、9C， ，214sin()9CaBbA， ，2222acbc2c， （当且仅当 时2211699abab9432ab等号成立） ， ，故 的面积最大值为45sin22ABCSABC。所以答案应填： 。525【考点】1.正弦定理；2.基本不等式；3.余弦定理。【思路点睛】利用二倍角公式，将已知的 的值代入即可求出 值，利用同cos2CcosC角三角函数间的基本关系求出 的值，再利用余弦定理分别表示出 和 ，sinCcosBA代入到已知的等式中，化简后即可求出 的值，然后利用余弦定理c，把 及 的值代入后，利用基本不等式即可求出 的22cocabo ab最大值，利用三角形的面积公式表示出 的面积，
13、把 的最大值及 的值代ABabsinC入即可求出面积的最大值。此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式。熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题。三、解答题16在等差数列 中， ，其前 项和为 等比数列 的各项均为正数，na26nnSnb，且 ， 。1b243S2b（1）求 与 ；n（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求使不等式 成立的最小cnT54ncba6nTS正整数 的值。【答案】 （1） ；（2） 。13,nnab【解析】试题分析：（1）先设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，根据等nadnbq差数列和等比数列的通项公式， ， ，联立解方程组，解得 和
14、 ；231S32Sd（2）分别写出等比数列和等差数列的前 项和 、 ， ， ，解nT15360154nTS得 。5n试题解析：（1）数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，则 ，nadnbq23b，得 （舍） ， ， 。29316qd103,q31,nna（2）由（1）得 ，由 ，得154, 60122nnTS154nTS，解得 ，使不等式 成立的最小正整数 的值为 。38n5154nT【考点】1.等差、等比数列的通项公式；2.数列的求和。17某技术公司新开发了 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等,AB于 82 为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，
15、检测结果统计如下：测试指标 70,6,82,8,94,10产品 A8 12 40 32 8产品 B7 18 40 29 6（1）试分别估计产品 ，产品 为正品的概率；AB（2）生产一件产品 ，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损 10 元；生产一件产品 ，B若是正品可盈利 100 元，次品则亏损 20 元，在（1）的前提下，记 为生产 1 件产品X和 1 件产品 所得的总利润，求随机变量 的分列和数学期望。ABX【答案】 （1） ， ；（2）分布列见解析， 。45332【解析】试题分析：（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品 ，产品 为正品的概率；（2）随机变量 的所有取
16、值为 ，分180,963， -别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 。XEX试题解析：（1）产品 为正品的概率为 。产品 为正品的概率约为A4032415B。4029634（2）随机变量 的所有取值为 ， ；X80,963， -318045PX； ； 。19052P45P120所以，随机变量 的分布列为：180 90 60 -3030。31189603125250EX【考点】1.离散型随机变量的期望与方差；2.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；3.离散型随机变量及其分布列。18在四棱锥 中， 平面 是正三角形， 与 的PABCD,ABCDACBD交点为 ，又 ，点 是 的中点。M04,
17、12N（1）求证：平面 平面 ；PMNAB（2）求二面角 的余弦值。AC【答案】 （1）证明见解析；（2） 。7【解析】试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理先证明 平面 ，即可证MNPAB明平面 平面 ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用利PMNAB用向量法即可求出二面角 的余弦值。PC试题解析：（1）证明：在正三角形 中， ，在 中，ABCD，易证 ， 为 中点，点 是 的中点，ADCABDCMANCD， 面 ， ， ，/MNPPD012， ， ，即 ，030609B ， 平面 ， 平面 ，又 ，ABANPABMNP平 面平面 。PN平 面（2）分别以直线 为 轴， 轴， 轴
18、建立空间直角坐标系，如下图所示，,DPxyz 。434,02,30,0,4BCDP，由（1）可知， 为平面 的一个法向量，,AC，设平面 的一个法向量为 ，则2,34,04PCPB PB,nxyz，即 ，令 ，解得 ，则平面0n:2xyz3,3xy的一个法向量为 ， ，由题知二面角PB3,n 7cos,nDB:为锐二面角，二面角 余弦值为 。ACAPC7【考点】1.平面与平面平行的判定；2.二面角的平面角及其求法。【方法点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定和二面角的求法，属于中档题证明面面垂直的关键是证明线线垂直，再证明线面垂直，常用方法有定义法，面面垂直的判定定理，向量法；证明线线垂直常用的方法是等腰三角形底边上的高线，菱形对角线互相垂直，勾股定理，线面垂直的定义。用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。19已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线 于2:0CxpyF20xyC两点， 是线段 的中点，过 作 轴的垂线交抛物线 于点 。AB、 PABPxQ
