1、2015-2016 学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，合计 60 分）1己知集合 M=x|2x3N=x|lgx0，则 MN=（ ）A（2 ，+ ） B1，3） C（ 2，1 D（2，3）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：由 N 中 lgx0，即 lgxlg1，得到 x1，即 N=1，+），M=（2，3），MN=1，3），故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2命题“存在 xZ 使 x2+2x+m
2、0”的否定是（ ）A存在 xZ 使 x2+2x+m0 B不存在 xZ 使 x2+2x+m0C对任意 xZ 使 x2+2x+m0 D对任意 xZ 使 x2+2x+m0【考点】命题的否定【分析】根据命题“存在 xZ 使 x2+2x+m0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“ 任意的 ”， “改为“” 可得答案【解答】解：命题“ 存在 xZ 使 x2+2x+m0”是特称命题否定命题为：对任意 xZ 使 x2+2x+m0故选 D【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化注意：全称命题的否定是特称命题3函数 f（x）=asin 2x+b +c（a，bR），若 f（2015）=2013，则
3、 f（2015）=（ ）A2018 B2009 C2013 D2013【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用解析式，代入计算，即可得出结论【解答】解：f（x）=asin 2x+b +c，f（ 2015）=asin 2（2015）+b +c=2013，f（ 2015）=asin 2（2015）+b +c=2013，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础4设 xR，则“ x2+x20” 是“ 1x3”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分
4、析】先求出不等式的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：解不等式 x2+x20 得：x1 或 x2，x 1 或 x 2 是 1x3 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题5设函数 f（x）（xR）满足 f（x+）=f（x）+sinx当 0x 时，f（x）=0，则 f（）=（ ）A B C0 D【考点】抽象函数及其应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可【解答】解：函数 f（x）（ xR）满足 f（x+）=f（x）+sinx 当 0x 时，f（x）=0，f（ ）=f（ ）=f（ ）+sin=f（
5、 ）+sin +sin=f（ ）+sin +sin +sin=sin +sin +sin=故选：A【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力6已知直线 y=x+m 是曲线 y=x23lnx 的一条切线，则 m 的值为（ ）A0 B2 C1 D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出 m 的值【解答】解：曲线 y=x23lnx（ x0）的导数为：y=2x，由题意直线 y=x+m 是曲线 y=x23lnx 的一条切线，可知 2x=1，所以 x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以 m=1+
6、1=2故选：B【点评】本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力7函数 f（x）=2sin（ x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A B C D【考点】y=Asin （x+ ）中参数的物理意义【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期T= =，解得 =2由函数当 x= 时取得最大值 2，得到 += +k（kZ），取k=0 得到 = 由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值， x= 时取得最小值，函数的周期 T 满足= = ，由此可得 T= =，解得 =2，得函数表达式为
7、 f（x）=2sin（2x+）又 当 x= 时取得最大值 2，2sin（2 +）=2，可得 += +2k（k Z） ， 取 k=0，得 =故选：A【点评】本题给出 y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数 y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题8要得到函数 的导函数 f（x）的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）B向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍（横坐标不变）C向右平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）D向左平移 个单位，再把各
8、点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）【考点】简单复合函数的导数；函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】由题意可得 f（x）=2cos（2x+ ）= =2sin2（x+ ）+ ，而由 y=sin（2x+ ）y=2sin2（x+ ）+ =f（x），分析选项可判断【解答】解： 的导函数 f（x） =2cos（2x+ ）=2sin2（x+ ）+ 而由 y=sin（2x+ ）y=2sin2（x+ ）+ =f（x）故选 D【点评】本题主要考查三角函数的平移复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减9偶函数 f（x）满足 f（1x ）=f （x+1），且 x0，1
9、时，f（x）=x+1，则关于 x 的方程f（x）= ，在 x0， 3上解的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】指数函数的图象与性质；奇偶性与单调性的综合【专题】常规题型；数形结合【分析】首先有已知条件推导函数 f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解【解答】解：设方程 的根的个数，即为函数 的图象交点的个数f（ 1x）=f（x+1）原函数的对称轴是 x=1，且 f（ x）=f（x+2 ）又 f（x）是偶函数f（ x）=f（x）f（ x）=f（x+2）原函数的周期 T=2又 x0，1 时，f（x）=x+1由以上条件，可画出 的图象：又因为当 x=时，y 1y 2，
10、当 x=1 时 y1y 2在 内有一个交点结合图象可知，在0，3上 共有 4 个交点在 0，3 上，原方程有 4 个根故选 D【点评】本题考察函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想属较难题10若函数 f（x）= 在 x（， +）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）A2，3 B（1，8） C（1，5 D4 ，8）【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】若函数 f（x）= 在 x（，+）上单调递增，则，解得实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）= 在 x（，+）上单调递增， ，解得 a4，8），故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理
11、解分段函数的单调性，是解答的关键11已知函数 f（x）满足 f（x）=f（x），且当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0 成立，若 a=（2 0.1） f（2 0.1），b= （ ln2）f（ln2 ），c=（log 2）f（log 2），则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bc ba Ca cb Dcab【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小【专题】导数的综合应用【分析】构造函数 h（x）=xf（x），由 y=f（x）是 R 上的偶函数，y=x 是 R 上的奇函数，得 h（x）=xf（x）是 R 上的奇函数， h（x）在（ ，0）递减，在（ 0，+）递增，得32 0.11
12、，0ln21，|log 2|2 0.2ln2 推出结果【解答】解：构造函数 h（x）=xf（x），由 y=f（x）是 R 上的偶函数，y=x 是 R 上的奇函数，得 h（x）=xf（x）是 R 上的奇函数，又 x（，0）时，h（x）=f（x）+xf（x）0 成立，h（ x）在（ ，0）递减，在（0，+）递增，3 20.11，0ln21， |log2|=32 0.1ln2 ，a=（2 0.1）f （2 0.1），b= （ln2）f（ln2 ），c=（log 2）f（log 2）即 bac，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题12已知函数 f（x）=ax
13、33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（ ）A（1，+） B（2，+） C（ ，1） D（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意可得 f（x）=3ax 26x=3x（ax2），f（0） =1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax 33x2+1，f（x）=3ax 26x=3x（ax2）， f（0）=1；当 a=0 时，f（x）=3x 2+1 有两个零点，不成立；当 a0 时， f（x）=ax 33x2+1 在（，0）上有零点，故不成立；当 a0 时， f（x）=
14、ax 33x2+1 在（0，+ ）上有且只有一个零点；故 f（x）=ax 33x2+1 在（ ，0）上没有零点；而当 x=时，f （x）=ax 33x2+1 在（，0）上取得最小值；故 f（）= 3 +10；故 a2；综上所述，实数 a 的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分）13曲线 y=x2 与直线 y=0，x=0 ，x=1 所围成的封闭图形的面积为 【考点】定积分【专题】导数的概念及应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为
15、 0，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0，曲线 y=x2 与直线 y=0，x=0 ， x=1 所围成的封闭图形的面积 S=01x2dx=x3| =故答案为：【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数14若函数 f（x）=sin（2x ），x ， ，则 f（x）的最小值是 【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】利用 x 的范围，求出相位的范围，然后求解三角函数的最值【解答】解：根据 x 的取值范围为 ，可得到 的取值范围是，再由正弦函数 y=sinx 在 的取值情况，可知当 ，即 时，f（x）取 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的最值的求法，考查计算能力15若 tan=tan ，则 = 2 【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的求值
