1、2015-2016 学年湖南省衡阳一中高三（下）第十次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z1=1+i，z 2=1i，则 =（ ）A B C i Di2 （5 分）命题：“若 a2+b2=0，则 a=0 且 b=0”的逆否命题是（ ）A若 a2+b2=0，则 a=0 且 b 0 B若 a2+b20，则 a0 或 b0C若 a=0 且 b=0，则 a2+b20 D若 a0 或 b0，则 a2+b203 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不
2、同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 m ，n，则 mnC若 m，n，则 m n D若 m ，m，则 4 （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为 15万元家庭年支出为（ ）A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元5 （5 分）为得到 y=cos（2x ）的图象，只需要将 y=sin2x 的图象（ ）A向右平移
3、个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位6 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则该人最后一天走的路程为（ ）A24 里 B12 里 C6 里 D3 里7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间 ， 内，则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A （，2） B 2，1 C 1，2 D （2，+）8 （5 分） （理科）
4、已知两点 A（0，3） ，B（4，0） ，若点 P 是圆 x2+y22y=0 上的动点，则ABP 面积的最小值为（ ）A6 B C8 D9 （5 分）设 x，y 满足约束条件： ，则 z=x2y 的最大值为（ ）A3 B3 C4 D210 （5 分）函数 y=xln|x|的大致图象是（ ）A B C D11 （5 分）设点 P 为双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是左右焦点，I 是PF 1F2的内心，若IPF 1，IPF 2， IF 1F2 的面积 S1，S 2，S 3 满足 2（S 1S2）=S 3，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C4 D12 （5 分）设等差数列a n满足： =1，公
5、差 d（1，0） 若当且仅当 n=9 时，数列a n的前 n 项和 Sn 取得最大值，则首项 a1 取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C ， D ， 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把试题答案填写在答题卡的相应位置上）13 （5 分）已知函数 f（x） =ax3+x+1 的图象在点（1，f （1） ）处的切线过点（2，7） ，则 a= 14 （5 分）在区间1，1上随机取一个数 x，则 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 15 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是 16 （5 分）设 f（x）是定义域在 R 上的
6、偶函数，对 xR，都有 f（x 2）=f（x+2） ，且当 x2，0时，f（x）=（ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）至少有两个不同的实数根，至多有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生从中选择一题作答；请在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知向量 ，设 （I）求函数 f（x）的解析式及单调增区间；（）在ABC 中，a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，且 a=1，b+c=2，f
7、（A）=1，求ABC 的面积18 （12 分）2016 年 1 月 19 日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期 5 天的国事访问某校高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班 50 名同学中，对此事关注的同学有 30 名，该班在本学期期末考试中政治成绩（满分 100 分）的茎叶图如图（1）求“对此事不关注者” 的政治期末考试成绩的中位数与平均数；（2）若成绩不低于 60 分记为“及格”，从“ 对此事不关注者” 中随机抽取 1 人，该同学及格的概率为 P1，从“对此事关注者” 中随机抽取 1 人，该同学及格的概率为 P2，求 P2P1 的值；（3）若成绩不
8、低于 80 分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量补充下面的 22 列联表；政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计对此事关注者（单位：人）对此事不关注者（单位：人）合计是否有 90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？参考数据：P（ K2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中 n=a+b+c+d19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点
9、 F（）求证：ABEF；（）若 PA=AD，且平面 PAD平面 ABCD，试证明 AF平面 PCD；（）在（）的条件下，线段 PB 上是否存在点 M，使得 EM平面 PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（ 2，0） ，点B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程；（）在 x 轴上是否存在点 P，使得无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，请说明理
10、由21 （12 分）已知函数 f（x） =ax（lnx1） （a R 且 a0） （1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）当 a0 时，设函数 g（x）= x3f（x） ，函数 h（x）=g （x） 若 h（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；证明：ln（12 3n） 2e1 2+22+32+n2（nN *）选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，圆 O 的直径 AB=10，P 是 AB 延长线上一点，BP=2 ，割线 PCD 交圆 O 于点C，D，过点 P 做 AP 的垂线，交直线 AC 于点 E，交直线 AD 于点 F（1）求证：PEC=PDF；（2）求 PEPF 的
11、值选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x 2+y2=1，以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：（2cos sin）=6（1）将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2，试写出直线 l的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程；（2）在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值选修 4-5：不等式选讲24已知关于 x 的不等式|x |+|x1| （a0） （1）当 a=1 时，求此不等式的解集；（2）若此不等式
12、的解集为 R，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省衡阳一中高三（下）第十次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 云南一模）已知 i 为虚数单位，复数 z1=1+i，z 2=1i，则 =（ ）A B C i Di【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z1=1+i，z 2=1i，得 = ，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2 （5 分） （2016 山东校级模拟）命题：“若 a2+b2=
13、0，则 a=0 且 b=0”的逆否命题是（ ）A若 a2+b2=0，则 a=0 且 b 0 B若 a2+b20，则 a0 或 b0C若 a=0 且 b=0，则 a2+b20 D若 a0 或 b0，则 a2+b20【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“ 若q，则p” ，写出它的逆否命题即可【解答】解：命题“若 a2+b2=0，则 a=0 且 b=0”的逆否命题是：“若 a0 或 b0，则 a2+b2 0”故选：D【点评】本题考查了四种命题的关系与应用问题，是基础题目3 （5 分） （2016 安庆校级模拟）已知 m，n 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 ，
14、则 B若 m ，n，则 mnC若 m，n，则 m n D若 m ，m，则 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若 ，则 与 相交或平行，故 A 错误；若 m，n，则由直线与平面垂直的性质得 mn，故 B 正确；若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误；若 m，m，则 与 相交或平行，故 D 错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养4 （5 分） （2015 福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3
15、 11.9支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为 15万元家庭年支出为（ ）A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元【分析】由题意可得 和 ，可得回归方程，把 x=15 代入方程求得 y 值即可【解答】解：由题意可得 = （8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，= （6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得 =80.7610=0.4，回归方程为 =0.76x+0.4，把 x=15 代入方程可得 y=0.7615+0.4=11.8，故选：B【点评】本
16、题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题5 （5 分） （2016 云南一模）为得到 y=cos（2x ）的图象，只需要将 y=sin2x 的图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【分析】由条件利用诱导公式，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：y=cos（2x ）=sin（2x + ）=sin（2x+ ）=sin2 （x+ ） ，将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，可得 y=cos（2x ）的图象，故选：D【点评】本题主要考查诱导公式，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题6 （5 分） （2
17、016 安庆二模）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“ 三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则该人最后一天走的路程为（ ）A24 里 B12 里 C6 里 D3 里【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为a n，可知a n是公比 的等比数列，由 S6=378，得 ，解得：a
18、1=192， ，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是基础的计算题7 （5 分） （2014 秋 洪湖市期末）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间 ， 内，则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A （，2） B 2，1 C 1，2 D （2，+）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x）= 的函数值根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 ， 内，即可得到答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x）= 的函数值又输出的
19、函数值在区间 ， ，即2 2，2 1内，x2 ， 1故选：B【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题8 （5 分） （2015 宁夏校级二模） （理科）已知两点 A（0，3） ，B（4，0） ，若点 P 是圆 x2+y22y=0 上的动点，则ABP 面积的最小值为（ ）A6 B C8 D【分析】求ABP 面积的最小值，即求 P 到直线 AB 的最小值，即为圆心到直线 AB 的距离减去半径利用三角形的面积公式可得结论【解答】解：求ABP 面积的最小值，即求 P 到直线 AB 的最小值，即为圆心到直线 AB 的距离减去半径直线 AB 的方
20、程为 ，即 3x4y12=0，圆 x2+y22y=0，即 x2+（y 1） 2=1，圆心为（0，1） ，半径为 1圆心到直线 AB 的距离为 d= = ，P 到直线 AB 的最小值为 =|AB|=5，ABP 面积的最小值为 =故选 B【点评】本题考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9 （5 分） （2016 哈尔滨校级一模）设 x，y 满足约束条件： ，则 z=x2y 的最大值为（ ）A3 B3 C4 D2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x2y，得 y= ，平移直线 y
21、= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A（3，0）时，直线 y= 的截距最小，此时 z 最大，此时 zmax=320=3故选：B【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法10 （5 分） （2014 兴庆区校级一模）函数 y=xln|x|的大致图象是（ ）A B C D【分析】容易看出，该函数是奇函数，所以排除 B 项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究 x0 时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断【解答】解：令 f（x）=xln|x|，易知 f（x）=xln| x|=xln|x|=f（
22、x） ，所以该函数是奇函数，排除选项B；又 x0 时，f（x）=xlnx，容易判断，当 x+时，xlnx+，排除 D 选项；令 f（x）=0 ，得 xlnx=0，所以 x=1，即 x0 时，函数图象与 x 轴只有一个交点，所以 C 选项满足题意故选：C【点评】函数图象问题就是考查函数性质的问题不过，除了分析定义域、值域、单调性、奇偶性、极值与最值等性质外，还要注意对特殊点，零点等性质的分析，注意采用排除法等间接法解题11 （5 分） （2016 杭锦后旗校级二模）设点 P 为双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是左右焦点，I 是PF 1F2 的内心，若IPF 1，IPF 2， IF 1F2 的面积 S1，S 2，S 3 满足 2（S 1S2）=S3，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C4 D【分析】先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S 1S2）=S 3，化简可得|PF 1|PF2|= |F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率【解答】解：如图，设圆 I 与 PF 1F2 的三边 F1F2、PF 1、PF2 分别相切于点 E、F、G，连接 IE、IF、IG ，
