1、2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）试题一、选择题1若集合 ，集合 ，则 等于（ 3,102,4A2|xlog3BRAB）A B C D2,4, ,100,24【答案】C【解析】试题分析： ， ，又2|xlog32|log3RBx， 。故选 C。3,102,4=,0RA【考点】集合运算。2复数 的实部与虚部之和为（ ）ziiA-3 B-11 C6 D4【答案】B【解析】试题分析： ，复数 的实231=7 ziii231zii部与虚部之和为 。故选 B。1【考点】复数的四则运算。3如下图是某班 50 们学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： ，则图中 的值
2、等于（ 405,6,07,8,09,1， ， x）A0.012 B0.018 C0.024 D0.016【答案】C【解析】试题分析：由图得 ，解得30.6+10.54+10x。故选 C。0.18x【考点】频率分布直方图。【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致。但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数。本题主要考查由样本频率分布直方图，估计
3、总体的平均数以及古典概率，属于基础题。4已知函数 的最小正周期为 ，则 等于（ sin0fx12f）A B C D1212332【答案】A【解析】试题分析：由题意知 ， ，,sin2sinfxx。故选 A。1sin126f【考点】正弦型函数的性质。5命题： ，直线 与双曲线 有交点，则下列表述正确:0,2pkykx2194yx的是（ ）A 是假命题，其否定是： ，直线 与双曲线 有交点,kykx2194yxB 是真命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点p0,22C 是假命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点,kykx2194yxD 是真命题，其否定是： ，直线 与双曲线 无交点p2,2
4、【答案】B【解析】试题分析：若直线 与双曲线 有交点，由双曲线的渐近线为ykx2194yx，焦点在 轴上，可得 或 ，故 ，直线 与双32yx30,2kykx曲线 有交点为真命题，其否定是： ，直线 与双曲线194 ,无交点。故选 B。2yx【考点】1.含有一个量词的命题的否定；2.双曲线的几何性质。6如下图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（ ）A B C D34141238【答案】C【解析】试题分析：由图可知，该几何体是底面腰长为 的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，其体积是原正方体的 。故选 C。2【考点】由三视图求面积、体积。7如
5、下图是一个程序框图，则输出 的值是（ ）SA5 B7 C9 D11【答案】C 【解析】试题分析：模拟程序框图的运行过程，如下：， 不成立；38,1sn218,23,snsn不成立； 不920,35s528,57,sn成立； 成立，退出循环，输出 的值为 。故选479,s 9C。【考点】程序框图。8函数 的图象大致是（ ）21xyeA B C D【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 为偶函数，所以图象2()1)()xfxef()fx关于 轴对称，故排除 B，当 时， ，故排除 A，当 时，yy1，故排除 D，故选 C。0【考点】函数的图象。9若 ，则 的最大值为（ ）5,412x2cosin
6、4xfxA1 B2 C3 D4【答案】A【解析】试题分析：，cosincos(incs)incos14222tan2xxxxfx， ， ， 当 时，5,41ta31tax=tx.故选 A。maxf【考点】三角函数的最值。10已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 可以是b、 2,3abab13ab:（ ）A4 B-3 C D-2【答案】D【解析】试题分析：由已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为ab、 2,3bab，则 ，即 ，131()493ab:2132a:所以 或 。故选 D。2469【考点】平面向量数量积的运算。11已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点210xyab12,0,F
7、c、且斜率为 的直线 交直线 于 ，若 在以线段 为直径的圆2Fbl2xyM12上，则椭圆的离心率为（ ）A B C D13312【答案】C【解析】试题分析：设过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，与2Fbal2()byxca联立，可得交点 ， 在以线段 为直径的圆上，20bxay(,)cM12F，即 ， ， 。故选 C。2()cc23=4b224b=e【考点】椭圆的简单性质。【思路点睛】由已知得出过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，与2Fbal2()byxca联立，可得交点 ，代入以线段 为直径的圆的方程，即20bxay(,)cM12F可得 的关系式，在计算出出离心率 。本题考查椭圆的几何性质
8、，考查， =e学生的计算能力，熟练掌握椭圆的离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键，属于中档题。12若函数 在区间 上存在单调递增区间，则实2lnfxbR1,2数 的取值范围是（ ）bA B C D3,29,439,243,2【答案】B【解析】试题分析：函数 在区间 上存在单调增区间，函数 在fx1,fx区间 上存在子区间使得不等式 成立。而 ，1,2 0f21=bfx，即 即 ，由题意知，存在 ，有0fx210xb12x,2成立，只需 即可，设 ，则1bx()max1=hx， 在 上是减函数，在221(1)=h2,上是增函数，而 ， ， ， 。故选2,94h3()94maxhbB。【考点
9、】利用导数研究函数的单调性。【思路点睛】函数 在区间 上存在单调增区间，也就是不等式fx1,2在区间 上有解解集，因此先求出 的导数 ，再分离出变0fx,2fxfx量 ，构造函数 ，只需 ，利用导数法求出 的最大值即b1=hxmaxbhh可求出实数 的取值范围。本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题。二、填空题13如果实数 满足条件 ，则 的最大值为 。,xy302xyyzx【答案】 2【解析】试题分析：作出平面区域如图所示，由平面区域可知当直线 过 点时，ykxA斜率最大。解方程组得 得 。 的最大值为 。所以答案应230yx(1,2)
10、Az21填： 。2【考点】简单线性规划。14在 中， ，则 的面积为 。ABC2,sin4sibCBAC【答案】 2【解析】试题分析： ， ，即 2ii24bc42bc1sin42ABCSbc:。所以答案应填： 。2【考点】正弦定理。15设函数 ，则不等式 的解集为 。31,0xf2fxf【答案】 2,【解析】试题分析： 在 上单调递增， 在 上是常数，31yx0,21y(,0)由分段函数的性质可知， ， 或 ，解得，2ffxx2x或 ， 。所以答案应填： 。01x20x1,1【考点】分段函数的应用。【思路点睛】由题意 在 上单调递增， 在 上是常数，31y,2y(,0)利用 ，可得 或 ，解
11、不等式组即可求。分段2fxf20x20x函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集。分段函数是热点问题，本题主要考查了利用分段函数的单调性求解不等式，解题的关键是确定函数的单调性，属于基础题。16在三棱锥 中， 底面 ，则该三棱1ABC11,BCA,2C锥的外接球的表面积为 。【答案】 8【解析】试题分析：由三棱锥 中， 底面 ，将三棱锥1A11,B补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为 ，半径为2，外接球的表面积 。所以答案应填： 。2248SR8【考点】棱柱、棱锥、
12、棱台的侧面积和表面积。【方法点睛】由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性：几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。本题将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积。本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，得出将三棱锥补成长方体，它
13、的对角线是其外接球的直径是解题的关键。三、解答题17在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数，na13nnSnb，且 ， 。1b23S2bS（1）求 与 ；n（2）设数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的最小正整数 的值。nT154nTSn【答案】 （1） ；（2） 。13,nnab5【解析】试题分析：（1）先设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，根据等nadnbq差数列和等比数列的通项公式， ， ，联立解方程组，解得 和 ；231S32Sd（2）分别写出等比数列和等差数列的前 项和 、 ， ， ，解nT15360154nTS得 。5n试题解析：（1）数列 的公差为 ，数
14、列 的公比为 ，则 ，nadnbq231bS，得 （舍） ， ， 。29316qd103,q31,nna（2）由（1）得 ，由 ，得154, 60122nnTS154nTS，解得 ，使不等式 成立的最小正整数 的值为 5。38n5154nT【考点】1.等差、等比数列的通项公式；2.数列的求和。18为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 的含量（单位：毫克） 当产,xy品中的微量元素 满足 ，且 时，该产品为优等品已知甲厂该天生,xy175y产的产品共有 98 件，下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1
15、2 3 4 5x169 178 166 175 180y75 80 77 70 81（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出取上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品至少有 1 件的概率。【答案】 （1） ；（2） ；（3） 。31470【解析】试题分析：（1）利用频率= ，能求出乙厂该天生产的产品总数；（2）频 数总 数由频率= ，能求出样品中优等品的概率和乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从频 数总 数乙厂抽出的上述 件产品中，随机抽取 件，求出基本事件总数，乙厂的 件产品中优5 5等品有两件，由此利用对
16、立事件概率计算公式能求出抽取的 件产品中优等品至少有2件的概率。1试题解析：（1）乙厂该天生产的产品总数为 。 （2）样品中优等品的频率145398为 ，乙厂该天生产的优等品的数量为 。 （3）设从乙厂抽出的 5 件产品分25别为 从中随机抽取 2 件，则有：,BCD,EA共 10 个,ABCDECDE基本事件，其中 2 件产品中优等品数至少有 1 件的基本事件有 7 个，则所求概率。710P【考点】1.随机抽样；2.列举法计算基本事件数及事件发生的概率。19在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，且ABCPABC分别是棱 的中点。2,EFPAD,PCAD（1）求证： 平面 ；/EFPAB（2
17、）求证： 平面 。C【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析。【解析】试题分析：（1）设 是 的中点，连接 ，由已知条件能推导出G,AGF是平行四边形，从而能够证明 平面 ；（2）由已知条件推导出AG/EFPB， ， ，从而得到 ，由此能够证明 平PBBACEF面 。C试题解析：（1）设 是 的中点，连接 ，P, 分别是 的中点，,EF,AD ，1/2GBC ， 是平行四边形，AEF ，/ ，,PBAGPB平 面 平 面 平面 /（2） ， ， 平面 ， ，CD又 ， 平面 ， ，BA 与 相交于点 ， 平面 ，PBAGPBC 平面 。EF【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.直线与平面平
18、行的判定。【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直、平行判定的判定，属于中档题。证明线面垂直的方法主要有定义法，判定定理法；证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是利用三角形、梯形的中位线，对应线段成比例，构造平行四边形，平行线的传递性，线面垂直的性质定理，面面平行的性质定理。20在平面直角坐标系 中，直线 截以原点 为圆心的圆所得的弦长xOy10xyO为 。6（1）求圆 的方程；（2）若直线 与圆 切于第一象限，且与坐标轴交于点 ，当 长最小时，求l ,DE直线 的方程；l（3）设 是圆 上任意两点，点 关于 轴的对称点 ，若直线 分别,MPOMxN,MP交 轴于点 和 ，问
19、是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说x0m,n明理由。【答案】 （1） ；（2） ；（3）是， 。2y20xy2【解析】试题分析：（1）求出 点到直线 的距离，进而可求圆 的半径，O1O即可得到圆 的方程；（2）设直线 的方程，利用直线 与圆 相切，及基本不等式，ll可求 长最小时，直线 的方程；（3）设 ，则DEl12,MxyP，求出直线 ， 分别与 轴交点，进而可2211,NxyxyNx求 的值。mn试题解析：（1）因为 点到直线 的距离为 ，所以圆 的半径为O1012dO，故圆 的方程为 。226 2xy（2）设直线 的方程为 ，即 ，由直线 与圆l10,xyab0abl相切，得 ，即 ，O2ab2，当且仅当 时取等号，此时直线22218DEab2ab的方程为 ，所以当 长最小进，直线 的方程为 。l0xyDEl0xy（3）设点 ，则 ，12,MPxy2211,Nxy直线 与 轴交点为 ，则 ，x12,021xym直线 与 轴交点为 ，则 ，NP112,xy121ny所以 ，故222211121112 1yxyxmny :为定值 2。【考点】1.直线和圆的方程的应用；2.直线与圆相交的性质。21已知 。32461,yxtxtRt
