1、2015 年下学期高三年级第三次质量检测考试数学（理科）试卷时量：120 分钟 分值：150 分 命题人： 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设全集 ,643,21,9853,2,BAZU则右图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. 6,425,31C. D. 5642.如右图，在复平面内，若复数 对应的向量分别是21,Z,OBA则复数 所对应的点位于（ ）21ZA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3.已知 则 的大小关系是（ ）,31log,)31(,)2(22cbacba,A. B. C. D.cc
2、ab4.若 则“ 的图象关于 对称 ”是“ ”的（ ）),2sin()xf )(xf3x6A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.等差数列 中 则 的前 项的和为（ ）na,2,5,843an8A. B. C. D.3261012BAU6.已知向量 若 与 共线，则 等于（ ）),21(),3(babnam2mnA B. C D2117.已知 ，其中 在第二象限，则 （ ）1sinco22sincosicA B. C D216378371637168.在 中，角 的对边分别是 其中 若函数BC, ,cba,2xxf43)(的极大值是 则 的形状为（ ）c
3、osAA等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形9.某几何体的三视图如图所示，当 最大时，该几何体的yx体积为（ ）A. B. 72 74C. D. 81610.若函数 的图象与 轴交于点 过点 的直线 与)02)(36sin(2)(xxxfx,Al函数的图象交于 两点，则 的值是（ ）CB, OACA B. C D321163211.定义在 上的函数 满足 ，其中 是 的导函数， 为自R()fx()()ffx()fxfe然对数的底数，则下列正确的是（ ）A. B.22(1)()effe2015201562016()()efefeC. D.2162015512.已知函数 ，若
4、的图象与 轴2,0()1ln2xxf axfxg2)(x有个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）3aA B. C D1(0,)ee21,3ln1(0,)2ee21,63ln二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13.设命题 则 为 。,2,:nNnpp14.等比数列 中 是关于 方程 的两个根，其中点 在直线na51,x20bxc(,)cb上，且 ，则 的值是 。1yxc320td3a15.定义在 上的函数 满足： 当 时，R)(xfy ),1()(,)( xffxf 1,则 。),2sin()xf015f16.已知正项数列 与数列 满足：nanb。 ),2(11,
5、20 *21 Nnabann 若,()()( 2121 nn则实数 的最大值为 。三、解答题（解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。）17（本小题满分 12 分）已知向量 函数 。),2sin,1()3,cos2(xxm nmf)(（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；)f（2）在 中 分别是角 的对边，且 且ABCcba,ABC,32,13)(abcf ,b求 的值。ba,18（本小题满分 12 分）已知数列 的各项均为正数，观察程序框图，na若 时，分别有 和 。5,1k31S5（1）试求数列 的通项公式；na（2）令 求数列 的前 项和 。,3bnbnT19（本小题满分 12 分）如
6、图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高， 与 所成角为ABCDPPAPBDC是 的中点， 是 上的动点。45F,E（1）证明： ；（2）若 ，求直线 与平面 所ABBC32PDE成角的大小。20.（本小题满分 12 分）如图，设椭圆 的离心率 ，椭圆 上一点 到左、右:C21(0)xyab12eCM两个焦点 、 的距离之和是 。1F24（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 交于 、 两点 点位于第一象限， 、:xlPQ, A是椭圆上位于直线 两侧的动点，若直线 的斜率为 求四边形BlAB,21面积的最大值。APQ21. （本小题满分 12 分）对于函数 ()fx，若存在 0R，使 0()
7、fx成立，则称 0x为 ()f的不动点。如果函数2,*)abcN有且仅有两个不动点 、 2，且12。（1）试求函数 ()fx的单调区间；（2）已知各项不为 的数列 na满足 ，求证： 1lnnaa；114()nSfa（3）在（2）中，设nb， nT为数列 nb的前 项和，求证：。2015016lT请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22（本小题满分 10 分）（ 选修 41：几何证明选讲）如图， AB是 O的一条切线，切点为 B，CFDAE,都是 O的割线， ABC。（1）证明： EA2；（2）证明： G 。23（本小题
8、满分 10 分）（选修 44：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点、 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同x单位长度。已知曲线 ，过点 的直线 的参数方程为:C(0)a)2,(Pl23txyt（ 为参数）t（1）求曲线 与直线 的普通方程；l（2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，若直线 与曲线 相切，求实数 的C2xyClCa值。24.(本小题满分 10 分)（选修 45：不等式选讲）已知函数 。21)(,32( xgxaxf（1）解不等式 ； )g（2）若对任意 都存在 使得 成立，求实数 的取值范围。,1R,2)(21gf a高三年级第三次质量检测考试数学（理科）试卷
9、参考答案一、选择题1D 2A 3. A 4. B 5. B 6. C 7. C 8. C 9. D 10. D 11. C 12. D二、填空题13. 14. 15. 16. nNn2,311三、解答题17.解：（1） -2 分xxxmxf 2sin3co2)sin,(),cos()(2 -4 分cos1i6函数 ()f的最小周期 2T -5 分由 得：2()6kxkZ单调增区间为 -6 分,3，（2） 31)2sin()(Cf 1)62sin(C 又 是三角形内角， 6 即： -8 分 2cos2abc即： 72ba -9 分将 3代入可得： 1，解之得： 432或 2或a,3或 -11分又
10、 b ， 。 -12分18.解：（1） -131)1(daSk分-2 分511115( )()451kdada 解得： 或 （舍去） ， -4 分2则 -6 分1()1nan（2） 33(2)3(1)nnT-8 分23 2n 则 -10 分)2(6(1nn-12 分1)n19解：（1） 建立如图所示空间直角坐标系设 ，2ABPaE则 ， ，），（ 0），（） ，（） ，（ 1020FP），（ aE于是， ， ，),()1,(F则 ，F所以 。 -6 分AP（2）若 ，则 ，ABEBC32)0,34(D，),034(D),(设平面 的法向量为 ，zyxn由 ，得： ，令 ，则 ， PEn0231
11、x3,2yz于是 ，而)2,1( ),(AP设 与平面 所成角为 ，所以 ，AD23|sinAP所以 与平面 所成角 为 。 -12 分6020解：（1）依题意，-2 分22124,3aecbac椭圆 方程为： -4 分C243xy（2）易知 ,设 ,AB： -6 分(1),)PQ， ， 12(,)(,)AxBy12xt与椭圆联立得 ， ， -8 分220xt304tt-10 分213| (=)|APBQSa取 “”的最大值是 -12 分20解：（1）设22()0(1)xbxcbbc012ab 2a-1 分 ()1)2xfc 由 1()3f cc又 ,*bN 2,b zyxFED CBAP2(
12、)(1)xf-2 分于是224()(1)xx A由 ()0fx得 或 ； 由 0f得 1x或 2故函数 的单调递增区间为 ,和 ,， -3 分单调减区间为 ,1)和 (,2 -4 分（2）由已知可得 nnSa， 当 2时， 211nnSa两式相减得 11)0 1na或 -5 分当 时， 2，若 1na，则 2这与 n矛盾 na -6 分于是，待证不等式即为 1l.为此，我们考虑证明不等式 ,0x令 1,0tx则 1t， 1t,t再令 ()lng， ()g 由 (,)知 (gt当 ,t时， t单调递增 0gt 于是 1lnt即 1l0x -8 分 令 1()nhtt， 21()tht 由 (1,
13、)t知 (0ht当 ,时， 单调递增 ()0h 于是 1lnt即 l,01xx 由、可知 1ln,0x 所以， n，即 1lnnaa -9 分 （3）由（2）可知 1nb，则 Tn32在 l中令 并将各式相加得：,015,201536lnl120631 即 -12 分205206lnTT22解：（1）证明：因为 AB是 O的一条切线， AE为割线 所以 EDAB2，又因为 C，所以 2CD -5 分（2）由（1）得 CA EEAGFGF -10 分23解：（1）曲线 ： ，直线 l： -5 分C22xya32yx(2)曲线 ： ，与直线 l联立得 ，消去 ，得2424ay，由 知， ，2213610xa213-10 分a24解：（1）由 得125x125x，得不等式的解为 -5 分734(2)因为任意 ，都有 ，使得 成立，1R212()fg所以 ，|()|()yfxygx又 ，()23|faaa，所以 ，解得 或 ，|gx|5所以实数 的取值范围为 或 -10 分15
