1、2016 届湖南省岳阳市湘阴县下学期高三第二次联考 数学（文）试题本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页。时量 120 分钟，满分 150 分。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号写在答题卡的密封区内。2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项答题。3.本卷共 4 页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ， ，则 （
2、）13Ax2BxABA. B. C. D.21312x1x2. 已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 （ ）ziizA.1 B.2 C.3 D. 23.“ ”是 “ ”的（ ）1a2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不 充分也不必要条件4. 从 1、2、3、4 中任取两个数，则其中一个数是另一个数 两倍的概率为（ ）A B C 61413D 125等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，nanS26,aS则 （ ）4aA6 B7C8 D96执行右面的程序框图，输出的 为（ ）SA25 B30C55 D917. 已知函数 的图象的2sin()(06yx两条相邻对
3、称轴的距离是 ，则 （ ）A. 4 B. 12C. 1 D. 2 8. 某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（ ）A. B.2 C. 4 D.89. 矩形 中， ， 为 的中点，若 ，则 （ ） ABCDmABECAEBDmA. B. C. 2 D. 32310. 边长为 2 的正方形 的顶点都在同一球面上，球心到平面 的距离为 1，则此球的表面积C为（ ）A B C D3512011.抛物线 的焦点为 ，过直线 上点 作 的两条切线 （:C2(0)xpyF20xyMAMB、为切点） ，若 的最小值为 8，则 （ ）B、 A pA1 B C2
4、D4312. 已知函数 ，关于 的不等式 的解集是241,()60xfa()20fat，若 ，则实数 的取值范围是（ ）123(,)(,)a123atA. B. C. D. 4(,4)1(2,)(3,2)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上.13. 已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 .xy、203xyzxy14. 在 中，若 ，则 . ABC1tan,213BA， BC15. 函数 的图象在 处的切线方程为 ，则 .()fx2230xy(2)f16. 双曲线 的右焦点为 ，其右支上总有点 ，使得 （ 为:C21(0,)yabFPOMPF
5、的中点， 为坐标原点） ，则 的离心率的取值范围是 . PFOC三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差 ， ，且 成等比数列.na0d23a137a、 、()求数列 的通项公式；()设 ，数列 的前 项和为 ，求 .2,3nab为 奇 数为 偶 数 nbnS1618 （本小题满分 12 分）是指大气中直径 微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标.当 日均2.5PM25 2.5PM值在 （单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在 时空气质量为良，超过 时03: 357:7空气质量为污
6、染.某旅游城市 2016 年春节 7 天假期里每天的 的监测数据如茎叶图所示.2PM()以上述数据统计的相关频率作 为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；()某游客在此春节假期间有 2 天来该市旅游，已知这 2 天该市空气质量均不为污染， 求这2 天中空气质量都为优的概率.19.(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 中， 平面 ， .1ABC1ABC12,90ABCA()求证： ；1()求直线 与平面 所成角的正切值.120 （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .21(0)xyCab： 2(0,1)P()求椭圆 的方程； ()过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 （
7、均异于点 ）.问直线 与 的斜(1,)l MN、 MPN率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.1A1CB21.（本小题满分 12 分）已知函数 . 2()2ln(1)fxax()当 时，求函数 的极值；1af()如果对任意 ，总有 ，求实数 的取值范围；120x1212()4fxfxa()求证： .*ln()(,)3nN请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 的圆心 在 的直角边 上， 都是 的切线， 是 与 相切O:RtABCABC、 O:MABO:的切
8、点， 是 与 的交点.N()证明： ；/M()若 ，求 .32AC， N23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的lcosin10 x正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.Ccos1inxy()求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；l()若直线 与 、 轴交于 两点，点 为曲线 上任一点.xyMN、 PN求 的面积的最小值.PMN24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .()1(0)fxa()当 时， 求不等式 的解集；62fx()若函数 的图象与圆 相交形
9、成的劣弧不超过圆周长的 .()fx()(1)y16求正数 的取值范围.a湖南省湘阴县 2016 届普通高考第二次联考试卷数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A D B C B C D C A C D B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 6 14. 15. 16. 13(1,3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.17 （本小题满分 12 分）【解】 （）由题 即 2317a21()(6)dad又 所以0又 ，联立解得13ad12,ad所以
10、6 分n（）由题得 31516 2416(2)()3aaS a 12 分8 94)(78518 （本小题满分 12 分）【解】()由题数据中 7 天有 2 天超过 75，则该市某天空气质量为污染的概率 .5 分7()由题得，有 5 天空气质量不为污染，其中 3 天优设为 、 、 ，2 天良设为 、 .1A31B2则从这 5 天中随机抽取 2 天，共有、 、 、 、 、 、 、 、 、12(,)A13(,)3(,)A1(,)B12(,)1(,)B2(,)31(,)A32(,)10 个基本事件.B其中这 2 天中空气质量都为优的基本事件共有 、 、 3 个12(,)A13(,)2(,)所以这 2
11、天中空气质量都为优的概率为 12 分019.(本小题满分 12 分)【证明】 （） 平面 ， 平面1CABCAB1C又 ，即 ，又90平面 ，又 平面1113 分ACB又四边形 为正方形 ，又11AC1=BC平面 ，又 平面16 分ACB【解】 （）设 ，连接1O由（）得 平面 1是 在平面 上的射影BABC1BA1 1CBO是直线 与平面 所成的角9 分ABO1ABC由题设 ，则Ca2a，1223O在 中RtAB6tanAB直线 与平面 所成角的正切值为 12 分1C320 （本小题满分 12 分）【解】()由题 ，又 2,1ceba22abc所以 ,所以椭圆 的方程是 4 分C21xy【证
12、明】()（ ）当直线 垂直于 轴时，解得1l 2()(1,)MN， ，所以直线 与 的斜率之和为 6 分PMN12201（ ）当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为2lxlk由题直线 的方程为 ，与椭圆 ： 联立得l1()ykC21xy2()42()0(kxxk设 ， ，则 8 分1(,)Mxy2,Ny112),kx所以直线 与 的斜率之和为P1212()()kxxx12()11 分4(2()kk此时方程 亦满足()0综上，直线 与 的斜率之和为定值 12 分PMN221.（本小题满分 12 分）【解】() 的定义域为 ，当 时，()fx(0,)12a2()ln1fxx1xfx当 时， ，当
13、 时，()f1()0fx故 在 上单调递减，在 上单调递增 ()fx0,1,)所以 ，无极大值.3 分 3()2f极 小 值()由题得，对任意 ， ，由 得10x1x1212()4fxfx，即 121212()(4)(fxf21122()4()ff令 ，又 ，)gx0xgx故函数 在 上单调递增.5 分2(f(,)在 上恒成立)44axfxx(,)， ， 在 上恒成立12(a010又 （当且仅当 时取等号）21xx不等式 在 上恒成立的条件是a(0,)1a故实数 的取值范围为 . 7 分1,)()由()可知，当 时， 在 上单调递增1a2()ln4gxx(0,)又 ，故当 时， 即(1)2g2
14、2ln43x令 ，易知nx*(,)N1x10 分2221 12ln()4)3()nnn， ， ，又312ln4312ln132ln2ln1累加得 () 12 分*l1(1,)23Nn请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲【解】()连接 CM都是 的切线A、 O:易得 又 为 的直径NNC5 分/()由题 3A5BM24C又由切割线定理得 BNC:110 分3N23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解】()由题直线 的直角坐标方程为l 0xy曲线 的普通方程为 5 分C2(1)() 曲线 是以 圆心，以 1 为半径的圆(1,0)圆心到直线 的距离为l 2又 1MN所以 的面积的最小值是 10 分P22(1)24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解】()由题，不等式为 15x利用绝对值的几何意义得不等式的解集为 5 分32x或（注：亦可利用分类讨论进行求解）()因为 0aNMABCO
