1、2016 届湖南师范大学附属中学高三月考（七）数学（理）试题一、选择题1设复数 满足 ，则 （ ）z13ziA B C D36233【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ，所以 ，1133()zii iz3故选 D【考点】复数的运算及复数模的计算2已知命题 在三角形 中， “ ”成立的充分必要条件是:PABC“ ”；命题 若siniA:Q随机变量 服从正态分布 ，且 在 内取值的概率为 0.4，则 在X2(1,)NaX(0,1)X内取值的概率为 0.8；下列命题中正确的是（ ）(0,2)A B C DPQPQPQPQ【答案】A【解析】试题分析：在 中，若 ，则 ，由正弦定理ACBab，得 ，
2、所以 ，所以命题2sin,siaRb2sinsiRsiniAB为真命题；因为随机变量服从正态分布 ，所以曲线关于 对称，所以P2(1,)N1x，所以 ，所以命题 为真命题，(01)()0.4X0.8PXQ所以 为真命题，故选 AQ【考点】命题的真假的判定3已知向量 共线，则实数 的值为（ ）001(1,sin2),(,)sin5abxxA1 B C D02ta30tan35【答案】B【解析】试题分析：由题意得， ，所以 ，所以/ab001sin2sin5x0001sin2i1cos5n5x，故选 B0i(4)s【考点】向量的运算及三角恒等变换4某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图
3、所示，且图中四边形都是边长为 2 的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ）A24 B C D204242043【答案】B【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为 的正方体挖去一个四棱锥得2到的，该四棱锥的底为正方体的上底和高都为 ，如图所示，所以四棱锥的斜高为1，所以该几何体的表面积为 ，故选 B2h254042S【考点】几何体的三视图及表面积的计算5设集合 ，则集合 中所有元素22,016,|,ABkRAkB之积为（ ）A48 B C96 D19283【答案】C【解析】试题分析：由题意得， 且 ，令 分2,016A2,kA2k别等于 ，解得 ，所以集合 中所有
4、元素之积为 ，2,016,3,kB96故选 C【考点】集合的新定义运算6在等差数列 中，若 ，且它的前 项和 有最大值，则当 取得最小na10nnSnS正值时， 的值为（ ）A10 B11 C19 D20【答案】C【解析】试题分析：因为 有最大值，所以 ，则 ，又 ，所以nS0d10a10，所以 ，则 ，110a10a2012010()()，又 ，所以9S21a，所以 为最小的正1021019201,SSS 19S值，故选 C【考点】等差数列的性质与求和公式7若实数 满足 ，设 ，则 的最大值为（ ,xy10x2,uxyvxuv）A1 B C D25475【答案】C【解析】试题分析：画出不等式
5、组 所表示的可行域，如图所示，则目标201xy函数 ，令 ，则 表示可行域内点 与原点的斜率的12yuxxvtt(,)Pxy取值，当取可行域内点 时， 取得最大值，此时最大值为 ；当取可行域3(,)2At 3t内点 时， 取得最小值，此时最小值为 ，(1,)Bt 1t此时可得，当 时，目标函数 有最大值，此时最大值为 ，故选 C3uv2735【考点】线性规划求最值8一个长方体底面为正方形且边长为 4，高为 ，若这个长方体能装下 8 个半径为 1h的小球和一个半径为 2 的大球，则 的最小值为（ ）A8 B C 2725D6【答案】B【解析】试题分析：由题意得，当球如图所示的装入长方体时， 最小
6、，设中间大球h的球心为 ，下面四条小球的球心分别为 ，则 到 的距离均为O,ABCDO,ABCD，所以 的最小值为 ，故选 B223()7h27【考点】长方体的性质及球的性质的应用9抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为 ，构造数列12，使 ，记 ，则 且na1n， 第 次 正 面 向 上 ， 第 次 把 反 面 向 上 ， 12nnSa 0S的概率为（ ）82SA B C D4314361328364【答案】C【解析】试题分析：由题意知，当 时，说明抛掷 次，其中有 次正面向上，8S85次反面向上，又因为 ，所有有两种请况：前 次正面都向上，后 中有 次320263正面向上
7、， 次反面向上或前 次反面都向上，后 中有 次正面向上， 次反面向上，61所以 且 时的概率为 ，故20S823325611()()()28PCC选 C【考点】对立重复试验的概率计算10如图， 为双曲线 的左右焦点，且 ，若双曲线 右支上存在点12,F12F，使得 ，设直线 与 轴交于点 ，且 的内切圆半径为 ，则P2PyA1P12双曲线的离心率为（ ）A2 B4 C D323【答案】A【解析】试题分析：因为 ，且 的内切圆半径为 ，所以12PF1APF1，所以 ，所以 ，11PFa212AFa因为图形的对称性可知， ，所以 ，又因为 ，所以2121，所以双曲线的离心率为 ，故选 A2ccea
8、【考点】双曲线的定义及其简单的几何性质11设 为三角形 的重心，且 ，若 ，则实GABC0AGB:1tntatnBC数 的值为（ ）A2 B4 C D24【答案】C【解析】试题分析：如图，连接 ，延长交 于 ，由于 为重心，故 为中点，ABG因为 ，所以 ，由重心的性质得 ，即 ，G12D3C32AB由余弦定理得 ,2 cosACD，因为 ，2 cosBB ,ABD所以 ，所以 ，又222D2222195CA，所以 ，所以1tanttanACscosiiniAB22(sico)2sicsicscosB BCA2CA，所以 ，故选 C2154B2【考点】正弦定理、余弦定理的应用；向量在平面几何中
9、的应用【方法点晴】本题主要考查了解三角形中的正弦定理和余弦定理的应用及平面向量的运算与应用，着重考查了三角恒等变换、三角形的重心的性质及运算能力，有一定的难度属于难度较大的试题，本题的解答中根据三角形重心的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到 ，再应用余弦定理推出 ，32CDAB225ACB将 ，应用三角恒等变换公式化简得到 的式子，可求 的值1tanttanAB 12函数 是定义在 上的单调函数，()fx(0,)，给出下面四0,l1xe个命题：不等式 恒成立；()fx函数 存在唯一零点 ，且 ；0x(,1)方程 有且仅有一个根；()fx方程 （其中 为自然对数的底数）有唯一解 ，1
10、e0x且 0(1,2)x其中正确的命题个数为（ ）A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】A【解析】试题分析：由题意得，对于任意的 ，都有 ，(0,)x()ln1fxe又由 是定义在 上的单调函数，则 为定值，设()fx(0,)lnf，则 ，又 ，即 ，所以 ，lntlnfxt1fte1tete即 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以函数fxe1(0,)x0fx在 为单调增函数，由当 时， ，所以不等式 恒成(0,)f()f立是不正确的；因为 ， ，所以函数 存在唯一零1lnfex点 ，且 是正确的；由 ，即 ，又函数 与函数0x(,)()fxlnxelny的图象有两个交点，所以方程 有且仅
11、有一个根，是不正确的；由ye，即 ，即 ，则方程1()lnfxxe1lnxe1l0x的解可转化为方程 的解，令 ，01()lnhx则 ， ，所以 ，所以方程(1)l2h()l21h12（其中 为自然对数的底数）有唯一解 ，且 是不正1fxe0x(,)确的，所以只有是正确，故选 A【考点】导数在函数的中应用；函数的零点的判定方法【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及其导数在函数的单调性与极值、最值中的应用和函数的零点的存在定理，着重考查了考生的运算能力和转化的思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中，由任意的 ，都有(0,)x，又由 是定义在 上的单调函数，则()ln1fxe()fx,
12、为定值，得到函数 的解析式是解答本题的关键，同时把方lne程的解的问题转化为零点的存性定理也是解答本题的一个重要环节二、填空题13在 的展开式中，含 项的系数为_6(12)x3x【答案】 0【解析】试题分析：由题意得， 的展开式中的 项为6(12)3x，所以 项的系数为 22366()0xCx3x0【考点】二项式定理的应用14阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为_【答案】 9【解析】试题分析：由程序框图知：算法的功能是求解的值，因为1350lgllg72iS，19，所以终止循环的 的值为 ，所以输出lll35i99i【考点】算法与程序框图15双曲线 的在左、右焦点分别是
13、，点 在28xy12F、 (,)1,23)nPxy其右支上，且满足 ，则 的值是_12121,nnPF2016x【答案】 8064【解析】试题分析：由题意得 ，所以 ，即 ，又28,ab4c1x，所以 ，即12121,nn2211()()nnnxyy，又因为 且 ，所866nxy 28nx218x以 ，由题意知 ，所以 ，即 表示1140nx0n14n以 为首项， 为公差的等差数列，所以 420164(1)4806x【考点】双曲线的几何性质及其应用；等差数列的定义及通项公式【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质的应用，突出考查了等差数列的概念及其等差数列的通项公式及转化与化归的思想方
14、法，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件，得到 ，即 表示以 为首项， 为公差的等差14nxnx4数列是解答本题的关键，也是解答的一个难点，最后利用等差数列的通项公式求解的值2016x16定义区间 的长度均为 ，多个区间并集的长度为(,),ababdba各区间长度之和，例如， 的长度 用 表示不超过 的最(1,2)3,5(21)53dxx大整数，记 ，其中 设 ，当xxR,()1fxg:时，不等式 的解0k()fg集区间的长度为 10，则 _k【答案】 12【解析】试题分析：由题意得，由不等式 ，2()(),()1fxxxgx: ()fxg即 ，即 ，当 时， ，上式可化为210,0，所以
15、不等式的解析为空集；当 时， ，上式可化为 ，所以1x,2xx不等式的解析为空集；当 时， ，上式可化为2,3x1，所以当 时，不等式 的解集区间的长度为3x0()fxg；同理可得，当 时，不等式 的解集区间的长度为21d,4x()x；因为不等式 的解集区间的长度为 ，所以 ，4()fg10210k即 k【考点】函数的单调性的性质；函数的值域及取整函数的应用【方法点晴】本题主要考查了抽象的性质及其应用及取整函数的应用，同时考查了创新能力和分类讨论的数学思想方法，属于中档试题，本题的解答中，先化简，进而得到不等式 ，再分类2()()fxxx: ()fxg讨论： 时， 时， 时，从而得出不等式 在
16、0,1,2,3()时的解集长度，依题意可求参数 的值kk三、解答题17已知向量 ，函数23(sin,2cos),(cs,cos)(0axbxx，且函数 的最小正周期为 ()3)1fxb:f（1）求函数 的解析式及单调增区间；(fx（2）设 的三边为 、 、 已知 成等比数列，若方程ABCabcsin,siABC有两个不同的()fk实数解，求实数 的取值范围【答案】 （1） ，函数 单调递增区间是1()sin4)62fx()fx；（2） ,2kkZ(,【解析】试题分析：（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数为，根据 的最小正周期为 ，求解 ，确定函数的1sin()62fx()fx2解析式，利用正
17、弦函数的性质求解函数的单调递增区间；（2）根据成等比数列，得 ，利用余弦定理 ，得出i,iABC2bac1cosB，进而得到 ，再计算函数 的值域，从而求解实037466Bf数 的取值范围k试题解析：（1） ()1(sin2cos)(in3cos0)1fxabxxx，3 1sin2coi62 ， T2 1()sin4)6fx当 ，即 时，函数22kk()126kkxZ单调递增()fx函数 单调递增区间是 f ,()216kk（2） ，在 中，()sin4)6fxABC 成等比数列，si,ABC ， 2sinisnBAC2bac， 21coac ， 037466B ，1()sin)2fx 有两个
18、不同的实数解时，Bk的取值范围是 k(1,)【考点】三角函数的图象与性质；正、余弦定理的应用18师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔 10 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 20 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段：/kmh统计后得到如下图的频率分布70,5,80,58,90,59,1直方图（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这 20 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在 的车辆中做任意抽取 3 辆，求车速在 和 内80,980,5,90都有车辆的概率；（3）若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，求车速在 的车辆数的数学,19,期望【答案】 （1） ；（2） ；（3） 87.5,4517【解析】试题分析：（1）采用系统抽样的方法，再根据频率直方图可得这 辆小型40汽车车速众数的估计值和平均数的估计值；（2）根据车速在 的车辆共有 辆，8,91
