1、开 始结 束 S输 出 ,ab输 入 2是否第 4 题图2016 届湖北省沙市中学高三下学期第一次半月考数学（理）试题(word 版)考试时间：2016 年 2 月 19 日一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 12zi（ 为虚数单位） ， z为 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. 的实部为 B. 的虚部为 2i C. 5z D. zi 2. 已知集合 230,AxRx 1BxRm，若 xA是 B的充分不必要条件，则实数 m的取值范围为（ ）A. 3,+ B. 1,C.3， D. 1,3 3. 下
2、列函数中，既是偶函数又在区间 ,上单调递减的是（ ）A. 3yx B. lnyx C. sin2yx D. 2yx 4. 定义运算 ab为执行如图所示的程序框图输出的 S值，则 5sicos1 的值为( )A. 234 B. 4 C. 14 D. 2345. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）甲组 乙组9 0 9x2 1 5 y87 4 2 4已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 6.8,则 x的值分别为（ ）A 2,5B C D ,6. 设实数列 na和 b分别是等差数列与等比数列，且 1ab， 51ab，则以下结论正确的是（ ）A 23
3、B 3ab C 3 D 237.设集合 = ，选择 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不I1,45I同的选择方法共有( )A50 种 B.49 种 C.48 种 D.47 种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数 x的不足近似值和过剩近似值分别为 ba和 dc（ *,N） ，则 bdac是 x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.1459，若令 314905，则第一次用“调日法”后得 165是 的更为精确的过剩近似值，即 60，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 的近
4、似分数为（ ）A. 27 B. 6320 C. 7825 D. 1935 9.已知 sincos,fxabx若 ,4fxfx则直线 0axbyc的倾斜角为（ ）A. 4B. 3C. 3D. 4 10. 过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切点为 M，延长 交曲线 于点 N，其中 有一个共同的焦点，若 ，则曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）A 12 B 43 C 48 D 312. 已知函数 fx的图像在点 0,xf处的切线方程 :lygx
5、，若函数 fx满足 I （其中 I为函数 的定义域） ，当 0时， 0fx恒成立，则称 0为函数 f的“ 转折点”. 已知函数 2lnfa在 e， 上存在一个“转折点”，则 a的取值范围为（ ）A. 21,e B. 21,e C. 21, D. 21,e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知函数 ,2xff，则 3f的值为 .14. 已知抛物线 24yx上一点 P到焦点 F的距离为 5，则 PFO的面积为 .15. 若n的展开式所有的系数之和为 81，则直线 ynx与曲线 2yx所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形 ABC中， 边上的高与 BC边长相等，则2ABC
6、A的最大值是_第 11 题图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分） 已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 *23nnaSN.（I）求数列 na的通项公式；(II) 设 ab2log，求数列 b的前 项和 T. 18.（本小题满分 12 分）如右下图，在四棱锥 PABCD中，直线 PABCD平 面 ，/,ADBCA， 24=.BE （I）求证：直线 E平面 . （II）若直线 P与平面 C所成的角的正弦值为 5，求二面角 D的平面角的余弦值.19.（本小题满分 12 分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组
7、中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 （男 30 女 20） ， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率（III）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X， 求 的分布列及数学期望 EX附表及公式20.（本小题满分 12 分）如图，已知
8、椭圆 ： 经C21(0)xyab过点 ，且离心率等于 点 分别为椭圆 的左、右顶6(1,)22,AB点， 是椭圆 上非顶点的两点，且 的面积等NMOMN于 （）求椭圆 的方程；CxyMN BOA P（）过点 作 交椭圆 于点 ，求证： AOMP/CPONB/21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， ()ln(1)fxax(xge（1） （i）求证： ；()1gx（ii）设 ，当 ， 时，求实数 的取值范围；hf0ha（2）当 时，过原点分别作曲线 与 的切线 ， ，已知两切线的斜率互为倒0a()yf()1l2数，证明： 2eae请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按
9、所做的第一题记分 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲.如图，正方形 ABCD边长为 2，以 为圆心、 DA为半径的圆弧与以 BC为直径的半圆 O交于点F，连结 并延长交 于点 E（I）求证： E；（II）求 的值.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 1C的极坐标方程为 2,正三角形 ABC的顶点都在 1上，且 A， B， C依逆时针次序排列，点 A的坐标为 (,0)（I）求点 ， 的直角坐标；（II）设 P是圆 2： 2(3)y上的任意一点，求 22|PB的取值范围24.（本小题满分 10
10、 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ()|2|fxax（I）当 时，求不等式 ()6f的解集；（II）若 |3|的解集包含 0,1，求实数 a的取值范围 .EFOBCAD第 20 题图数 学（理科）试 题（参考答案）一、 选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、 填空题, , ， 三、 解答题17.解（）当 时，由 ，得 ，-即得 2 分,而当 时， ，故 3 分，因而数列 是首项为 公比为 的等比数列，其通项公式为 .6 分（）由（）知 ,故 .8 分，数列 的前 项和.12 分18.法一（）取 中点 ，连接 ，则 ，四边形 是平行四边形， / 直角 和
11、直角 中， 直角直角 ，易知 2 分又 平面 4 分，而 平面 .得证. 5 分（）由 ，知 ， ， 设 交 于 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角， ， ，而 故 .7 分 .作于 ，由 ，知 平面 ， ， 是二面角 的平面角.9 分 ， ，而 ， ，即二面角 的平面角的余弦值为 12 分（其他方法酌情给分）法二：（） 平面 又 ，故可建立建立如图所示坐标系1 分.由已知 ， ， ， （ ） ， ， ， .4 分， ， 平面 6 分（）由（） ，平面 的一个法向量是 ，设直线 与平面 所成的角为 ， ，即 8 分设平面 的一个法向量为 ， ，由 ， ，令 ，则 10 分 ， 11 分 显
12、然二面角 的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦值为12 分（其他方法可酌情给分）19.解：() 由表中数据得 的观测值所以根据统计有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）3 分()设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 分钟，则基本事件满足的区域为 (如图所示) 设事件 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 5 分由几何概型 即乙比甲先解答完的概率 .7 分()由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 种；恰有一人被抽到有 种；两人都被抽到有 种可能取值为 ， ， 8 分， 9 分10 分的分布列为：1.12 分20. 解：（）由题
13、意得： ，解得：故椭圆 C 的方程为： 3 分（）解法一：如图所示，设直线 , 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ,同理可得 ,作 轴, 轴, 是垂足,= 已知 ，化简可得 .8 分设 ,则 ，又已知 ,所以要证 ,只要证明 10 分而所以可得 12 分 （ 在 轴同侧同理可得）解法二：设直线 的方程为 ，代入得 ，它的两个根为 和可得 7 分从而 所以只需证 即 9 分设 ， ，若直线 的斜率不存在，易得从而可得 10 分若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 代入得则 ， ， 11 分化得 ，得 13 分12 分21. 【解析】 （1） （i）令 ，则 时 ， 时 ，所以 ，即 ;-2 分
14、（ii） ， 当 时，由（1）知 ，所以 ，在 上递增， 恒成立，符合题意-4 分当 时，因为 ，所以 在 上递增，且，则存在 ，使得 所以 在 上递减，在 上递增，又 ，所以 不恒成立，不合题意 综合可知，所求实数 的取值范围是 -6 分（2）设切线 的方程为 ，切点为 ，则 ，所以 ， ，则 由题意知，切线 的斜率为 ， 的方程为 设 与曲线 的切点为 ，则 ，所以 ， 又因为 ，消去 和 后，整理得 -9 分令，则 ，在 上单调递减，在 上单调递增若 ，因为 ， ，所以 ，而 在 上单调递减，所以 若 ，因为 在 上单调递增，且 ，则 ，所以 （舍去） 综上可知， -12 分22解：（）由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 2 分,另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，同样依据切割线定理得 故 . 5 分 （）连结 ，BC 为圆 O 直径， 由 得8 分又在 中，由射影定理得 . 10 分23解：（1） 点的坐标为 ，即 ； 点的坐标为，即 5 分（2 ）由圆的参数方程，可设点 ，于是
