1、枣阳市第二中学高三年级 2015-2016 学年度上学期期中考试数学（理科）试题命题人： 满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 第 I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共计 50 分）1已知 （ ） ，设 展开式的二23013n nxaxax31nx项式系数和为 ， （ ） ， 与 的大小关系是（ ）nS23nnSA nB C 为奇数时， ， 为偶数时， nSnSD n2已知函数 ， 是 的导数，同一坐标系中， 和 的cosfxfxf fxf大致图象是（ ）3八人分乘三辆小车，每辆小车至少载人最多载 人，不同坐法共有（ ）4A 种 B 种
2、 C 种 D 种70126062029404已知 ， 是 的导数， 和 单调性相同39fxxffxfxf的区间是（ ）A B 和1,2,1,23,C D,22,5 “ ， ， ， 四点不在同一平面内”是“ ， ， ， 四点中任意三点不在同AACD一直线上”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为、 、 、 、 的五个礼品盒中，装四个不2345同礼品，只有一个礼品盒是空盒不同的装法有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种520 1207已知命题 若 ，则 ；命题 若 ，则 下面四个结:p61sin:q1sin6论中正确的是（
3、 ）A 是真命题 B 是真命题qpC 是真命题 D 是假命题8已知函数 （ 是自然对数的底数） ， 的导数是（ xfe2.718 fx）A偶函数 B奇函数 C增函数 D减函数9已知随机变量 ，随机变量 的数学期望 （ ）10,.4:A B C D0.2 2410已知函数 的导数为 ， （ ）2yxyA B C Dx414x21x第 II 卷（非选择题）评卷人 得分 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分 ）11如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，对角线 B1D 与平面 A1BC1交于
4、 E 点记四棱锥EA 1B1C1D1的体积为 V1，长方体 ABCDA 1B1C1D1的体积为 V2，则 的值是 A BCDEA1 B1C1D112在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 在圆 上，且xoy056:2xyCBA,C，则 的最大值是 32ABOAB13一正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为 14如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上（异于点 A，B） ，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点有以下四个命题：PA平面 MOB；MO平面 PAC；OC平面
5、PAC；平面 PAC平面 PBC其中正确的命题是 （填上所有正确命题的序号）15若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 430xy和 x轴都相切，则该圆的标准方程是 16直线 y=kx+3 与圆（x-1） 2+（y+2） 2=4 相交于 M,N 两点,若 ,则实数 k 的取32MN值范围是 17直线 ，恒过定点 (2)(1)(34)0mxym评卷人 得分 三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）18 （本小题满分 13 分） 如图，已知点 A（1， ）是离心率为 的椭圆 C：22上的一点，斜率为 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点
6、，且 A、B、D21,(0)yxab2三点互不重合（）求椭圆 C 的方程；（）求证：直线 AB、AD 的斜率之和为定值19 （本小题满分 12 分）已知三棱柱 ABC 中，平面 底面CBABABC，BBAC，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形， 3，E、F 分别在棱 ， A上，且 AE 2F（）求证： 底面 ABC；B（）在棱 上找一点 M，使得 平面 BEF，并给出证明AC20 （本小题满分 12 分）在某高校自主招生考试中，所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 五个等级某考,ABCDE场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中
7、“数学与逻辑”科目的成绩为 的考生B有 人10（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成 绩为 的人数； A（）若等级 分别对应 分, 分, 分, 分,分,求该考场考生“数学与逻辑”,ABCDE5432科目的平均分； （）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 的概率A A21 （本小题满分 14 分）已知函数 ，27()sinsin1()6fxxxR（）求函数 的周期及单调递增区间；fx（）在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ，已知函数 的图象经过ABCABCcba,fx点成等差数列，且 ，求 的值1,2ba
8、c 922 （本小题满分 l4 分）已知函数 1()()ln,()fxaxaR（）当 a=0 时，求 的极值；()fx（）当 a0 时，求 的单调区间；（）方程 的根的个数能否达到 3，若能请求出此时 a 的范围，若不能，请说明()0fx理由，参考答案选择：1-5CCCBA 6-10DBABC填空：11 9112 813 42a1415 221xy16 5,17 2-1，解答题：18 （） （）详见解析21,4yx试题分析：（）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，只需列出两个独立条件即可：一是离心率，二是点在椭圆上， （）证明直线 AB、AD 的斜率之和为定值，先从点的坐标出发，将斜率用坐标表
9、示，利用直线与椭圆联立方程组得到坐标之间等量关系：设D（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则 x1x 2 m，x 1x2 ，而 kADk AB4，最后代入化简即121212+x可试题解析：（）解 由题意，可得 e ，将（1， ）代入 ，得2221yxab，又 a2b 2c 2，解得 a2，b ，c ，21ab所以椭圆 C 的方程为 1,4yx（）证明 设直线 BD 的方程为 y xm，又 A、B、D 三点不重合，所以 m0设2D（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，由 得，4x 22 mxm 240，24m所以 8m 2640，2 m2 ，x1x 2 m，x 1x2 4设直线
10、 AB、AD 的斜率分别为 kAB、k AD，则kADk AB （*） 12121yxmxx 122+xm 11 分将式代入（*） ，得 2+2041m所以 kADk AB0，即直线 AB、AD 的斜率之和为定值 0考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19 （）详见解析（）M 为 AB的中点试题分析：（）先将面面垂直转化为线面垂直：取 BC 中点 O，则 AOBC，即由平面BCCB底面 ABC 得 AO平面 BCCB，从而 AOBB，又 BBAC，因此由线面垂直判定定理得 BB底面 ABC （）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，关键在于找出线线平行这时一般利用平几知识进行转化，如利用平行四
11、边形试题解析：（）证明 取 BC 中点 O，连接 AO，因为三角形 ABC 是等边三角形，所以AOBC，又因为平面 BCCB底面 ABC，AO平面 ABC，平面 BCCB平面 ABCBC，所以 AO平面 BCCB，又 BB平面 BCCB，所以 AOBB又 BBAC，AOACA，AO平面 ABC，AC 平面 ABC所以 BB底面 ABC（）显然 M 不是 A，B，棱 AB上若存在一点 M，使得 CM平面 BEF，过 M 作MNAA交 BE 于 N，连接 FN，MC，所以 MNCF，即 CM 和 FN 共面，所以 CMFN，所以四边形 CMNF 为平行四边形，所以 MN2，所以 MN 是梯形 AB
12、BE 的中位线，M 为 AB的中点考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理20 （）3（）29（） 16试题分析：（）先根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生人数确定参加考试所有人数： 10.54人，再根据“阅读与表达”科目中成绩为 的频率 0075，因此A人数为 3 人（）根据频率可求平均分：（）先确定至少一科成绩为 的.2.370.25.72.9A考生的人数：恰有两人的两科成绩等级均为 A，2 人只有一个科目得分为 A，然后利用枚举法列举所有基本事件，共 6 个，其中两人的两科成绩均为 的只有一种，最后根据古典概型概率公式求得1试题解析：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B
13、的考生有 10 人，所以该考场有 0.254人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为40(1.3750.1502)40.753（）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为.2.2.9（）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A，所以还有 2 人只有一个科目得分为 A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学，则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁 ，丙，丁,有 6 个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B，
14、所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个，则1()6PB21 （） （）,()3kkZ32.a试题分析：（）研究三角函数性质，首先将三角函数解析式化为基本三角函数，这时要用到两角差正弦公式、二倍角公式及配角公式： ，再从基本三角函数()fxsin)6性质出发求周期及单调区间（）先根据条件确定角 A 的值 ，再利用数量积确定,3，最后利用余弦定理求边18bc试题解析：解： 27113()sin)sincos2incos2sin26fxxxxxxi2（）最小正周期 ,由 得T22()6kxkZ，()36kxkZ所以 的单调递增区间为()f,()3kkZ（）由 可得 或 所以1sin(2)A226A
15、5()6kZ,3又因为 成等差数列，所以 ，而 ，bacabc1cos9,82BCbAbc因此2221()4cos11,3.36bcaaAa22 （） 有极小值为 ，无极大值；)(xf)(f（）当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是01ax)1,0(),a；),(当 时， 的单调递减区间是 ；)(xf ),(当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是1a10a),( )1,(a（）不能，理由见解析试题分析：第一问将函数解析式确定，利用倒数求得函数的单调区间，从而确定出函数的极值，第二问应用函数的倒数，确定出倒数等于零的点，注意对两个零点的大小进行讨论，从而确定出函数的单调区间，
16、第三问结合函数的单调性，确定出函数的根的个数，从而得出结果，零点不可能有 个3试题解析：（） 其定义域为 )(xf),0(当 时， ， 0a1ln21xxf令 ，解得 ， )(xfx当 时， ；当 时， 10)(f10)(f所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；)(xf ),( ),1所以 时， 有极小值为 ，无极大值 )(ff（） 221()()(0)axaxfx x 令 ，得 或0)(f -当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得1aa10)(xf1xa0)(xf；x当 时， 1a0)1()2xf当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得1a10a0)(xf ax10)(xf；x综上所述：当
17、时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 ；01a)(xf )1,0(),a)1,(a当 时， 的单调递减区间是 ；当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是)(xf ),(),( )1,(（） 时0a01)(2 xa仅有 1 解，方程 至多有两个不同的解)()xf (f（注：也可用 说明 ）(minaff由（）知 时，极小值 ，方程 至多在区间0-a01)(f 0)(xf上有 1 个解),(时 单调，方程 至多有 1 个解-a(xf)(xf时， ，方程 仅在区间 内有 1 个解；0)a0)(xf ),(a故方程 的根的个数不能达到 30(xf考点：函数的极值，函数的单调区间，函数的零点，分类讨论思想
