1、2015-2016 学年浙江省温州市瑞安市四校高三(下)第二次联考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的1全集 U=R, A=x|x24,B=x|log 3x1,则 AB=( )Ax|x2 Bx|2x3 Cx|x3 Dx|x2 或 2x32设 , 是三个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,下列判断正确的是( )A若 ,则 ,则 B若 ,l ,则 lC若则 m,n,mn D若 m ,n ,则 mn3设变量 x、y 满足 则目标函数 z=2x+y 的最小值为( )A6 B4 C2 D4已知 P=x|x2,
2、Q=x|xa,若“xP ”是“xQ ”的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是( ) ( )A (,2) B ( ,2 C (2,+) D2,+ )5函数 y=Asin(x+)+k( A0,0,| ,x R)的部分图象如图所示,则该函数表达式为( )Ay=2sin( x+ )+1 By=2sin ( x )Cy=2sin( x )+1 Dy=2sin( x+ )+16过双曲线 =1(b0,a0)的左焦点 F(c ,0) (c0) ,作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 = ( + ) ,则双曲线的离心率为( )A B C D7已知 xR,符号x表示不超
3、过 x 的最大整数,若函数 f(x)= a(x0)有且仅有3 个零点,则 a 的取值范围是( )A , , B ( , , ) C ( , , )D , , 8将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则 a 的最大值为( )A B C D二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分9已知 , 为锐角, ,则 cos2= ,+2= 10已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为 表面积为 体积为 11若指数函数 f(x)的图象过点(
4、 2,4) ,则 f(3)= ;不等式 f(x)+f ( x)的解集为 12已知 = ,S 2015= 13已知正实数 x,y 满足 lnx+lny=0,且 k(x+2y)x 2+4y2 恒成立,则 k 的最大值是 14已知ABC 中, ,则 = 15已知点 M(4,0) ,点 P 在曲线 y2=8x 上运动,点 Q 在曲线(x2) 2+y2=1 上运动,则取到最小值时 P 的横坐标为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC 的角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ()求角 A 的大小;()若 a=1, ,求 b+c 的值1
5、7如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AD=DC=CB=a ,ABC=60 ,平面 ACFE平面ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a ,点 M 在线段 EF 上()求证:BC平面 ACFE;()求二面角 BEFD 的平面角的余弦值18已知函数 f(x)= (a 0,b1) ,满足:f (1)=1,且 f(x)在 R 上有最大值(I)求 f(x)的解析式;()当 x1,2时,不等式 f(x) 恒成立,求实数 m 的取值范围19已知椭圆 C: + =1(ab0)上的动点到焦点距离的最小值为 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+ =0 相切()求椭圆 C 的方程;()若过点
6、 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,P 为椭圆上一点,且满足+ =t ( O 为坐标原点) 当|AB|= 时,求实数 t 的值20数列a n满足 a1=2, (1)设 ,求数列b n的通项公式;(2)设 ,数列c n的前 n 项和为 Sn,求出 Sn 并由此证明:2015-2016 学年浙江省温州市瑞安市四校高三(下)第二次联考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的1全集 U=R, A=x|x24,B=x|log 3x1,则 AB=( )Ax|x2 Bx|2x3 Cx|x
7、3 Dx|x2 或 2x3【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合 A、集合 B,然后求出两个集合的交集即可【解答】解:A=x|x 24=x|x2 或 x2,B=x|log3x1 =x|0x3,所以 AB=x|x2 或 x2 x|0x3= x|2x3,故选 B【点评】本题考查集合间的交集的运算,注意不等式的解集,借助数轴解答或者韦恩图,是解答集合问题的常用方法,本题是基础题2设 , 是三个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,下列判断正确的是( )A若 ,则 ,则 B若 ,l ,则 lC若则 m,n,mn D若 m ,n ,则 mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空
8、间位置关系与距离【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择【解答】解:对于 A,若 , ,则 与 可能相交;故 A 错误;对于 B,若 ,l ,则 l 可能在 内;故 B 错误;对于 C,若 m,n,根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定,可以判断mn;故 C 正确;对于 D,若 m,n,则 m 与 n 可能平行、相交或者异面故 D 错误;故选 C【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用,熟记定理是关键3设变量 x、y 满足 则目标函数 z=2x+y 的最小值为( )A6 B4 C2 D【考点】简单线性规划【专题】数
9、形结合【分析】先根据条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y轴上的截距最小,只需求出直线 z=2x+y 在 y 轴上截距的 最小值,从而得到 z 最小值即可【解答】解:在坐标系中画出可行域由 z=2x+y 可得 y=2x+z,则 z 表示直线 y=2x+z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小平移直线 2x+y=0 经过点 B 时,z=2x+y 最小由 可得 B(2, 0)则目标函数 z=2x+y 的最小值为 z=2故选:C【点评】.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定4已知 P
10、=x|x2,Q=x|xa,若“xP ”是“xQ ”的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是( ) ( )A (,2) B ( ,2 C (2,+) D2,+ )【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题;转化思想;定义法;简易逻辑【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义,建立不等式关系进行求解即可【解答】解:P=x|x2,Q=x|xa,若“xP ”是“xQ” 的必要不充分条件,则 a2,故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据定义建立不等式关系是解决本题的关键5函数 y=Asin(x+)+k( A0,0,| ,x R)的部分图象如图所示,则该函数
11、表达式为( )Ay=2sin( x+ )+1 By=2sin ( x )Cy=2sin( x )+1 Dy=2sin( x+ )+1【考点】由 y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的最大、最小值求出 k 和 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,可得函数的解析式【解答】解:由函数的图象可得 k= =1,A=3 k=2,T= = ( 2)=6 ,= = 再根据五点法作图可得 2+= ,求得 = ,f(x)=2sin( x )+1故选:C【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(x+)的部分图象求解析式,由函数的最大、最小值求出 k 和 A,由周
12、期求出 ,由五点法作图求出 的值,属于基础题6过双曲线 =1(b0,a0)的左焦点 F(c ,0) (c0) ,作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 = ( + ) ,则双曲线的离心率为( )A B C D【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】综合题;压轴题【分析】由 = ( + ) ,知 E 为 PF 的中点,令右焦点为 F,则 O 为 FF的中点,则PF=2OE=a,能推导出在 Rt PFF中,PF 2+PF2=FF2,由此能求出离心率【解答】解:若 = ( + ) ,E 为 PF 的中点,令右焦点为 F,则 O 为 FF的中点,则 PF=2OE=a,E
13、 为切点,OEPFPF PFPFPF=2aPF=PF+2a=3a在 Rt PFF中,PF 2+PF2=FF2即 9a2+a2=4c2离心率 e= = 故选:A【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件7已知 xR,符号x表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= a(x0)有且仅有3 个零点,则 a 的取值范围是( )A , , B ( , , ) C ( , , )D , , 【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由 f(x)= a=0,故 =a;分 x0 和 x0 的情况讨论,显然有 a0,从而得到答案【解答】解:因
14、为 f(x)= a=0,故 =a;分 x0 和 x0 的情况讨论,显然有 a0若 x0,此时x0;若x=0,则 =0;若x1,因为xxx+1,故 1,即 a1且 随着x的增大而增大若 x0,此时x0;若1 x 0,则 1;若 x1 ,因为 xx 1; xxx+1,故 1 ,即 1a ,且 随着x的减小而增大又因为x一定是不同的 x 对应不同的 a 值所以为使函数 f(x)= a 有且仅有 3 个零点,只能使x=1,2,3;或x= 1,2,3若x=1,有 a1;若x=2,有 a1;若x=3,有 a1;若x=4,有 a1;若x= 1,有 a1;若x= 2,有 1a 2;若x= 3,有 1a ;若x
15、= 4,有 1a 综上所述, a 或 a ,故选:B【点评】本题考查了函数的零点问题,考查了分类讨论思想,考查了新定义问题,是一道中档题8将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则 a 的最大值为( )A B C D【考点】球的体积和表面积【专题】计算题;转化思想;转化法;球【分析】若在四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球,可先求出该球的半径,若将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则 =2r
16、,进而可得答案【解答】解:若在四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球,设该小球的半径为 r,则 r+1+ = ,解得:r= ,若将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则 =2r,解得:a= ,故选:D【点评】本题考查的知识点是空间球与球之间的位置关系,正三棱锥的高与棱长的关系,难度较大二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分9已知 , 为锐角, ,则 cos2= ,+2= 【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦【专题】计算题;转化思想;转化法;三角函数的求值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos, cos 的值,利用二倍角公式可求cos2,sin2 的值,利用两角和的余弦函数公式可求 sin(+2)的值,结合 +2 的范围,由余弦函数的性质即可得解【解答】解:, 为锐角, ,可得:cos = =,cos= = ,cos2=1 2sin2=12( ) 2= ,sin2 =2sincos=2 = ,