1、2015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=1，2，N= 2a1|aM，则 MN 等于（ ）A1 B1，2 C1 ，2，3 D2设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a3=3，S 9S6=27，则该数列的首项 a1 等于（ ）A B C D3已知 0a1，log amlog an0，则（ ）A1nm B1mn Cm n1 Dnm14对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ；存在平面 ，使得 ， 都平
2、行于 ；存在直线 l，直线 m，使得 lm；存在异面直线 l、m，使得 l ，l ，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5在 RtABC 中，已知 AC=4，BC=1 ，P 是斜边 AB 上的动点（除端点外） ，设 P 到两直角边的距离分别为 d1，d 2，则 的最小值为（ ）A B C D6定义行列式运算 =a1a4a2a3将函数 的图象向左平移 个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）A B C D7已知点 P（x，y）是直线 kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB 是圆 C：x 2+y22y=0 的两条切线，A，B 是切点，
3、若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为（ ）A3 B C D28已知平面向量 满足 （x，y R） ，且 ， （ ）A若 ，则 x0，y 0 B若 ，则 x0，y0C若 ，则 x0，y 0 D若 ，则 x0，y0二、填空题：本大题 7 小题，9-12 题每空 3 分，13-15 每空 4 分，共 36 分，把答案填在题中的横线上9已知直线 l1：y=ax+2a 与直线 l2：ay=（2a 1）xa，若 l1l 2，则 a=_；若 l1l 2 则 a=_10设函数 ，则该函数的最小正周期为_，f（x）在 的最小值为_11规定记号“” 表示一种运算，即 a 若 1k=3，则函数 f（
4、x）=kx 的定义域是_，值域是_12设 ， ， 为平面向量，若 ， ， ， ，则 的最小值为_， 的最小值为_13已知 F1（ 1，0） ，F 2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为_14已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，过点 F2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，交双曲线于点 M 且 ，则双曲线 C 的离心率为_15对一切实数 x，所有的二次函数 f（x）=ax 2+bx+c（ab）的值均为非负实数，则 的最大值是_三、解答题：本大题共 5 小题，共 74
5、 分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c ，已知 a，b，c 成等比数列，且 cosB= （1）求 的值；（2）设 = ，求 a+c 的值17设各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn=an+124n1，nN *，且 a1=1（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对一切正整数 n，有 18在 RtAOB 中， ，斜边 AB=4Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到 RtAOC，且二面角 BAOC 是直二面角动点 D 在斜边 AB 上（1）求证：平面 COD平面 AOB；（2）当 时，求异面直线 AO
6、 与 CD 所成角的正切值；（3）求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值19已知抛物线 C：x 2=4y，过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（A 在第一象限） （）当 SOFA =2SOFB 时，求直线 l 的方程；（）过点 A（2t，t 2）作抛物线 C 的切线 l1 与圆 x2+（y+1） 2=1 交于不同的两点 M，N，设 F 到 l1 的距离为 d，求 的取值范围20设函数 f（x）=x 2ax+b，a，bR（1）当 a=2 时，记函数|f（ x）|在0，4上的最大值为 g（b） ，求 g（b）的最小值；（2）存在实数 a，使得当 x0，b时，2f （x）6 恒成
7、立，求 b 的最大值及此时 a 的值2015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=1，2，N= 2a1|aM，则 MN 等于（ ）A1 B1，2 C1 ，2，3 D【考点】并集及其运算【分析】通过集合 M 求出集合 N，然后求解它们的并集【解答】解：因为集合 M=1，2，所以 N=2a1|aM=1，3，所以 MN=1，2，3故选 C2设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a3=3，S 9S6=27，则该数列的首项 a
8、1 等于（ ）A B C D【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，由 a3=3，S 9S6=27，可得 ，解得 a1= 故选：D3已知 0a1，log amlog an0，则（ ）A1nm B1mn Cm n1 Dnm1【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】本题考查对数函数的性质，基础题【解答】解：由 logamlog an0=log a1得 mn1，故选 A4对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ；存在平面 ，使得 ， 都平行于 ；存在直线 l，直线 m，使得 lm；存在
9、异面直线 l、m，使得 l ，l ，m ，m 其中，可以判定 与 平行的条件有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】平面与平面平行的判定【分析】存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ，不一定成立，存在平面 ，使得 ， 都平行于 ，可以得到两个平面平行，存在直线 l，直线 m，使得 lm，则得到两个平面可以平行，可以相交，存在异面直线 l、m ，使得 l，l， m，m，可以得到两个平面平行【解答】解：存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ，不一定成立，故 不正确，存在平面 ，使得 ， 都平行于 ，可以得到两个平面平行，故 正确存在直线 l，直线 m，使得 lm，则得到两个平面可以平行，可以相交
10、，故不正确，存在异面直线 l、m，使得 l ，l ，m ，m，可以得到两个平面平行，故正确，综上可知可以判断两个平面平行的方法有 2 种，故选 B5在 RtABC 中，已知 AC=4，BC=1 ，P 是斜边 AB 上的动点（除端点外） ，设 P 到两直角边的距离分别为 d1，d 2，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】运用三角形的面积公式可得 SABC =SBCD +SACP ，即为 4=d1+4d2，求得= （d 1+4d2） （ ）展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值【解答】解：如右图，可得 SABC =SBCD +SACP ，ACBC=
11、d1BC+ d2AC，即为 4=d1+4d2，则 = （d 1+4d2） （ ）= （1+4+ + ） （5+2 ）= （5+4）= 当且仅当 = ，即 d1=2d2= ，取得最小值 故选：C6定义行列式运算 =a1a4a2a3将函数 的图象向左平移 个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）A B C D【考点】二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用行列式定义将函数 f（x）化成 ，向左平移 后得到 y=2sin2x从而写出函数 y=2sin2x 图象的对称中心即可【解答】解析： ，向左平移 后得到y=2sin2x所以函数 y=2sin2x 图象的
12、对称中心为，令 k=1 时，得到 故选 B7已知点 P（x，y）是直线 kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB 是圆 C：x 2+y22y=0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为（ ）A3 B C D2【考点】直线和圆的方程的应用【分析】先求圆的半径，四边形 PACB 的最小面积是 2，转化为三角形 PBC 的面积是 1，求出切线长，再求 PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解 k 的值【解答】解：圆 C：x 2+y22y=0 的圆心（0，1） ，半径是 r=1，由圆的性质知：S 四边形 PACB=2SPBC ，四边形 PACB 的最小面积
13、是 2，S PBC 的最小值=1= rd（d 是切线长）d 最小值 =2圆心到直线的距离就是 PC 的最小值，k0，k=2故选 D8已知平面向量 满足 （x，y R） ，且 ， （ ）A若 ，则 x0，y 0 B若 ，则 x0，y0C若 ，则 x0，y 0 D若 ，则 x0，y0【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用排除法解决，由 0， 0，若 0，可举 =（1，1） ， =（2，1） ，=（0，1） ，加以验证；若 0，可举 =（1，0） ， =（2，1） ， =（1，1） ，加以验证，即可得到答案【解答】解：作为选择题，可运用排除法由 0， 0，若 0，可举 =（1，1） ， =（2，1
14、） ， =（0，1） ，则 =10， =10， =10，由 =x +y ，即有 0=x2y，1=x+y，解得 x= ，y= ，则可排除 B；若 0，可举 =（1，0） ， =（2，1） ， =（1，1） ，则 =10， =30， =20，由 =x +y ，即有 1=x+2y，1=y ，解得 x=1，y=1 ，则可排除 C，D故选：A二、填空题：本大题 7 小题，9-12 题每空 3 分，13-15 每空 4 分，共 36 分，把答案填在题中的横线上9已知直线 l1：y=ax+2a 与直线 l2：ay=（2a 1）xa，若 l1l 2，则 a= 1 ；若 l1l 2 则 a= 0 【考点】直线的
15、一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】 （1）对 a 分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出（2）对 a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：（1）当 a=0 时，两条直线分别化为：y=0，x=0 ，不满足 l1l 2，舍去；当 a0 时，两条直线分别化为：y=ax+2a ，y= x1，l 1l 2， ，2a1解得 a=1综上可得：l 1l 2，则 a=1（2）当 a=0 时，两条直线分别化为：y=0，x=0，此时满足 l1l 2，a=0；当 a0 时，两条直线分别化为：y=ax+2a ，y= x1，l 1l 2，a =1，解得
16、a=0，舍去综上可得：l 1l 2，则 a=0故答案分别为：a=1；a=010设函数 ，则该函数的最小正周期为 ，f（x）在 的最小值为 【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的最小值【解答】解：根据函数 ，可得则该函数的最小正周期为 =，当 x0， 时，2x ， ，故当 2x = 时，f（x）取得最小值为 ，故答案为：， 11规定记号“” 表示一种运算，即 a 若 1k=3，则函数 f（x）=kx 的定义域是 （0，+） ，值域是 （1，+） 【考点】函数的值域【分析】根据“” 运算的定义，
17、由 1k=3 便可求出 k=1，从而得出 f（x）= ，从而便可得出f（x）的定义域为（0，+） ，这样便可由 x0 得出 f（x）的范围，即得出 f（x）的值域【解答】解：根据条件， ； ；k=k 24k+4；解得 k=1，或 4（舍去） ； ；f（x）的定义域为（0，+） ；x0； ； ；即 f（x）1；f（x）的值域为（1，+） 故答案为：（0，+） ， （1，+） 12设 ， ， 为平面向量，若 ， ， ， ，则 的最小值为 3 ， 的最小值为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示，建立直角坐标系 ，不妨设 =（1，0） ，由 ， ，不妨设=（1，m） ， =（2，n） ，利用
18、向量的模的计算即可求出 的最小值，再利用数量积运算即可得出 的最小值【解答】解：如图所示，建立直角坐标系 ，不妨设 =（1，0） ， ， ，不妨设 =（1，m） ， =（2，n） + =（3，m +n） ，| + |2=9+（m+n） 2， 的最小值为 3， =（1，mn） ， ，1+（mn） 2=4，（m+n） 2=3+4mn0，mn ，当且仅当 m=n= 时取等号， =2+mn 2 = 故答案为：3，13已知 F1（ 1，0） ，F 2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为 =1 【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的方程为 =1， （ab0） ，根据题目条件得出 a2b2=1， =1， 由 联合求解即可【解答】解：设椭圆的方程为 =1， （ab0）可得 c= =1，a 2b2=1，AB 经过右焦点 F2 且垂直于 x 轴，且|AB|=3，A（1， ） ， （1， ） ，代入方程得出： =1，联合得出 a2=4，b 2=3，椭圆 C 的方程为： =1，
