1、 第 11 章 平面直角坐标系【知识要点】1.对平面内任意一点 P,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足在 x 轴、y 轴上对应的数a、b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点 P 的坐标.2.x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限.各象限内点的坐标符号分别为(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).【温馨提示】1.点的坐标是用一个序实数对表示的,有顺序要求,即点(a,b)和(b,a)一般不表示同一个点.2.坐标轴上的点不属于任何一个象限,其纵横坐标的积为 0.3.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，坐标系的确定是关键,有些是自
2、由确定,有些要根据题目所给条件进行确定.【方法技巧】1.在根据点的位置确定字母的取值范围时,根据题目条件得到不等式组是关键.2.在坐标系中,求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.专题一 点的位置与不等式间的关系1.已知点 M（3a9，1a）在第三象限，且它的坐标都是整数，则 a =（ ）.A.1 B.2 C.3 D.02.在平面直角坐标系中，如果 mn 0，那么点(m ，n) 一定在（ ）.A.第一象限或第二象限 B.第一象限或第三象限C.第二象限或第四象限 D.第三象限或第四象限3.若点 A（a-1,a）在第二象限，则点 B（ ,
3、a-2）在第 象限.1专题二 点的坐标中的开放题4.若点 P（ x， y） 的坐标满足 xy xy，则称点 P 为“和谐点”。请写出一个“和谐点”的坐标，答： .5.已知点 P 在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为 1，点 P 的坐标可以是 （只要写出一个符合条件的坐标即可）.专题三 点的坐标中的规律探究题6.一个质点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图 12-1-10 中箭头所示方向运动即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0），且每秒移动一个单位，那么第35 秒时质点所在位置的坐标是（ ）.A.(4，0) B.(5，0) C.(0，5) D
4、.(5，5)7.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点且规定，正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于 x 轴的正方形：边长为 1 的正方形内部有 1 个整点，边长为 2 的正方形内部有 1 个整点，边长为 3 的正方形内部有 9 个整点，则边长为 8 的正方形内部的整点的个数为( )A64 B49 C36 D25 8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C、D 的坐标分别为(1，0)和 (2，0) 若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点 A、B、C、D、E、F 中，会过点(45，2)的
5、是点 专题四 点的坐标中的阅读理解题9.（2011永州）对点（x，y ）的一次操作变换记为 P1（x，y ），定义其变换法则如下：P1（x， y ）=（x +y，x-y）；且规定 （ 为大于 1 的整数）如),(),(yxnnP1（1，2 ）=（3，-1），P 2（1，2 ）= P1（P 1（1，2 ）= P1（3，-1）=（2，4），P3（1，2 ） = P1（P 2（1，2 ）= P1（2，4）= （6，-2）则 P2011（1， ）=（ ）A（0,2 1005 ） B（0,-2 1005 ） C（0,-2 1006） D（0,2 1006） 11.一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）
6、开始，可以按照如下两种方式跳跃：能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；对于点（a，b），如果 ab，则能从（a，b）跳到（ab，b）；如果 ab，则能从（a，b）跳到（a，ba）例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）（2，1）（4，1）（3，1）请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由（）（3, 5）； （）（12，60）； （3）（200，5）； （4）（200，6）参考答案1.B 2.A 3.三 4.答案不唯一,如（2，2）或者（0，0
7、） 提示:根据已知数据，适当取定 x 的值，解方程，求出 y 即可.如取 x0 ，得 y0；取 x2，得 y 2.5.答案不唯一,例如（2，1）.6.B 提示:根据题意,对质点的几个特殊位置和对应的时间列表如下:从表格中可以看出,时间为 4n2(n 为自然数)时质点的坐标为(2n,0),时间为(4n 2-1)秒时质点的坐标为(2n-1,0),则第 35 妙时,n=3,此时质点的坐标为 (5,0),应选 B.7.B 提示:由题意可知，边长为 1 和 2 时，只有一个整点，边长为 3 和 4 时中间的整点为 33=9 个，边长为 5 和 6 时，整点为 55=25 个，边长为 7 和 8 时，整点
8、为 77=49个8.B 提示:因为 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）,所以按题中滚动方法点E 经过点（ 3，0），点 F 经过点（4，0），点 A 经过点（5， 0），点 B 经过(6,0).因为六边形的边长为 1,所以而该六边形中 AD=BE=CF=2,而点（45， 0）的横坐标是 6 的倍数多 3,，该六边形滚动 6 次正好一周,故可知经过（45，0）的点经过（ 3，0），所以点 E 经过点（45，0）,因为 BE=2,所以点 B 经过点（45，2）.9.D 提示:根据定义的变换法则 P1（1， ）=（0，2），P 2（1， ）=（2，2），P3（1， ）= （0，4），P 4
9、（1， ）=（4，4），从而找出其规律： P2n（1， ）=（），P 2n1（1， ）= ，因此 P2011（1， ）=（0,2 1006）.n,2),0(n11.（1）能到达点（3，5）和点（200，6） 从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）（2，1）（4，1）（3，1）（3，2）（3，4）（3，8）（3，5） 从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）（1，2）（1，4）（1，3）（1，6）（2，6）（4，6）（8，6）（16，6）（10，6）（20，6）（40，6）（80，6）（160，6）（320，6）（前面的数反复减 20 次 6）（200，6）（2）不能到达点
10、（12，60）和（200，5） a 和 b 的公共奇约数=a 和 2b 的公共奇约数=2a 和 b 的公共奇约数， 由规则知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数 如果 ab，a 和 b 的最大公约数=（ab）和 b 的最大公约数，如果 ab，a 和 b 的最大公约数=（ba）和 b 的最大公约数， 由规则知，跳跃不改变前后两数的最大公约数 从而按规则和规则跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数 1 和 1 的公共奇约数为 1，12 和 60 的公共奇约数为 3，200 和 5 的公共奇约数为 5.时间0 1 2 3 4 6 8 9 1215坐标(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(2,0)(2
11、,2)(0,2)(0,3)(3,3)(3,0) 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）第 12 章 一次函数【知识要点】1.在一个变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值 ,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数 .2.函数的表示方法一般有三种:(1)解析式法;(2)列表法;(3)图象法.3.在函数解析式中,用自变量的值带入求得的值叫做函数值.函数自变量的取值由所给函数解析式确定,要保证函数解析式有意义.4.函数 y=kx+b(k0)叫做一次函数 ,当 b=0 时,叫做正比例函数.5.一次函数 y=kx+
12、b 的图象是一条直线,其位置是由 k 和 b 来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象.6.一次函数 y=kx+b 有下列性质:当 k0 时,y 随着 x 的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k0 时,y 随着 x 的增大而减小 (图象是自左向右下降的).7.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法.【温馨提示】1.常量与变量是相对于一个变化过程而言,变化过程不同,它们可能发生变化,要能具体问题具体分析,防止因知识迁移发生错误.2.函数的三种表示方法之间是可以相互转化的,在具体的问题中,应选择合理的函数表示方法.3.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次
13、函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.4.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用.5.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式.【方法技巧】1.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,判断一个关系式是不是函数关系,关键是看自变量取一个值后,是不是只有唯一值与其对应.2.自变量的取值范围主要考虑:(1)分母中有自变量时,应使分母不能为零;(2)当含有开偶次方的式子时,要保证被开方数非负;(3)自变量的取值要使实际问题有意义.3.
14、直线 y=kx+b 的位置是由 k 和 b 的符号决定的,其中 k 决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b 决定直线与 y 轴的交点位置.4.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.专题一 函数图象信息题1.下列各图中，是函数图象的是（ ）2.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800 米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （ 米 ） 与 所 用 时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折
15、线 OBCD . 下列说法正确的是( ).A.小莹的速度随时间的增大而增大 B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C.在起跑后 180 秒时，两人相遇 D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面专题二 函数中的阅读理解题4.在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文 26 个字母 a，b，c，z（不论大小写）依次对应 1，2，3，26这 26 个自然数（见表格）.当明码对应的序号 x 为奇数时，密码对应的序号 y ；当x明码对应的序号 x 为偶数时，密码对应的序号 y +13.2字母 a b c d e f g h i j k l m序号 1
16、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13字母 n o p q r s t u v w x y z序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26按上述规定，将明码“love”译成密码是（ ）.A.gawq B.shxc C.sdri D.love5.阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数 x=f（x）对于自变量取值范围的的任意 x，都有 f（-x）=-f（x），那么 y=f（x）就叫做奇函数；如果 y=f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 f（-x）=f（x），那么 y=f（x ）就叫做偶函数例如：f（x ）=x 3+x，当 x 取
17、任意实数时，f （-x）=（-x） 3+（-x）=-x 3-x=-（x 3+x），即 f（-x）=-f（x ），因此 f（x）=x 3+x 为奇偶数又如 f（x） =x，当 x 取任意实数时，f （-x）=-x=x=f（x），即 f（-x）=f（x），因此 f（x ）=x 是偶函数问题（1）：下列函数中：y=x 4；y =x2+1；y= ；y= ；y=x+ 311奇函数有_，偶函数有_（只填序号）问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数ABO xyy=kx2专题三 函数中的规律探究题6.观察图 1 至图 5 中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第 n 个图中小黑点的个数为
18、y.(1)填表：n 1 2 34 5 6 y 1 3 7(2)用函数解析式来表示 y 与 n 之间的关系.专题四 一次函数解析式的确定7.如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的端点坐标为A（2,4），B（4，2），直线 y=kx-2 与线段 AB 有交点，则k 的值可能是（ ）A.-5 B.-2 C.3 D. 58.小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度 y（cm）与小球个数 x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）量筒中至少放
19、入几个小球时有水溢出？专题五 一次函数中的开放性问题9. “一根弹簧原长 10cm,在弹性限度内最多可挂质量为 5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， ，则弹簧的总长度 y（cm）与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式是 y=10+0.5x (0x5).”王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出一个）10.阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线 OAB 表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题;(2)根据你所给出的应用题分别指出 x 轴,y 轴所表示
20、的意义,并写出 A,B 两点的坐标;(3)求出图象 AB 的函数解析式,并注明自变量 x 的取值范围 专题六 一次函数中的实验操作题11.在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 2 个单位长度或向右平移 1个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点 P 从点 O 出发，平移 1 次后，2 次后，3 次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：（2）观察发现：任一次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 的图象上；平移 2 次后在函数 的图象上由此我们知道，平移 n 次后在函数 的图象上（请填写相应的解析式）（3）探索运用
21、：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 上的点 Q，且平移的路径长不小于xy50，不超过 56，求点 Q 的坐标yxBP 从点 O 出发平移次数 可能到达的点的坐标1 次 ，)2,0(,12 次3 次yxO 11参考答案:1.B 2.D 4.B 提示:依题意，当明码为“love”时，有 l12，是偶数，即密码对应的序号y +13 +1319，所以对应的密码为 s；同理，o15，是奇数，即密码对应的序号2x1y 8，所以对应的密码为 h；v22，是偶数，即密码对应的序号5y +13 +1324，所以对应的密码为 x；e5，是奇数，即密码对应的序号 yx 3，所以对应的密码为 c.所
22、以将明码“love”译成密码是“shxc ”.故应选 B.125.（1）， （2）奇函数 y= ，偶函数 y=x2. （答案不唯一）.1x6(1) 13 21 31 (2) y=n 2 n +1.7.B 提示:将 A（2，4）代入 ykx2，得 k3，将 B（4，2）代入 ykx2 得k1，从而得 k 值在3 与 1 之间，因此只有 B 符合条件.8.（1）（36-30）3=2；即放入一个小球量筒中水面升高 2cm（2）放入小球后量筒中水面的高度 y(cm)与小球个数 x（个）之间的一次函数关系式y=30+2x（3）当 y=49 时，30+2x =49，解得 x=9.5，所以至少放入 10 个
23、小球时有水溢出9.如果悬挂 2kg 物体弹簧总长度为 11cm. (答案不唯一).10.答案一：(1)小明从家跑步去离家 800 米的学校,用了 5 分钟,立即又用了 10 分钟步行回到家中;(2)x 轴表示时间,y 轴表示距离,A (5,800),B(15,0);(3)图象 AB 的解析式为y=80x+1200(5 x 15) 答案二：一容器深 8 米,往里注满水用去 5 分钟,接着打开底部的排水管放完全部水用去 10 分钟 此时,x 轴表示时间（分）,y 轴表示容器内水面的高（米）,A(5,8),B(15,0);图象 AB 的解析式为 y= )412(5x 11.（1）如图:（2） ； ；
24、 2xy4xynxy2P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次2 次 ， ，)4,0(2,1)0,(3 次 ， ， ，63yxO 11（3）设点 Q 的坐标为 ，依题意，),(yx.,2xyn解这个方程组，得到点 Q 的坐标为 )3,(平移的路径长为 ，50 56 37.5 42yx4nn而点 Q 的坐标为正整数，因此点 Q 的坐标为 ， )26,()8,(12.3一次函数与二元一次方程12.4综合实践 一次函数模型的应用【知识要点】1.一次函数 y=kx+b,当 y=0 时,得方程 kx+b=0,其解是函数图象与 x 轴的交点的横坐标.2.不等式 kx+b0 或 kx+b0 的解集
25、,相当于一次函数 y=kx+b 的图象在 x 轴上方或下方时所对应的 x 的值.【温馨提示】1.借助一次函数与一元一次方程间的关系,可以通过解方程的方法得到一次函数图象与 x 轴的交点的横坐标,也可以用一次函数的图象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.2.利用一次函数求一元一次不等式的解集,更多的是考查对图象的理解能力,这也说明在学习一次函数时,“数形结合”思想在这一章的重要性.3.用一次函数图象解方程或不等式未必简单,但是能发现它们之间的内在联系,能直观地看到方程的解与不等式的解在图形中的位置.【方法技巧】1.由于任何一个一元一次方程都可以转化为 ax+b=0(a、b 为常数)的形式
26、,所以解一元一次方程可转化为:当某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线 y=ax+b,确定它与 x 轴的交点的横坐标.2.由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b0(a、b 为常数,a0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于 0 时,求自变量的相应的取值范围.3.在用函数图象解一元一次不等式时,对较复杂的不等式应先化简为 ax+b0 或ax+b0(a、b 为常数,a0)的形式,然后作出相应的函数图象进行解决,可使解题过程相对简单.专题一 函数图象与坐标轴围成的图形面积问题1.如图，已知两直线 y x3 和 y2
27、x1，求它们与 y 轴所围成的三角形的面积.2.如图,直线 与 轴、 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为直角边在第一象限13xyyy内作等腰直角ABC,且BAC=90 0.如果在第二象限内有一点 P ,且ABP 的面积与)21(aRtABC 的面积相等,求 的值 .a3.如图,AOB 为正三角形,点 B 的坐标为(2,0),过点 C(2,0)作直线 l 交 AO 于 D，交 AB于 E，且使ADE 和DCO 的面积相等.求直线 l 的解析式.专题二 实际应用题4.某学校要印制一批学生手册，甲印刷厂提出：每本收 1 元印刷费，另收 500 元制版费；乙印刷厂提出：每本收 2 元印刷费，不收制
28、版费(1)分别写出甲、乙两厂的收费 y 甲 (元) 、 y 乙 (元)与印制数量 x (本)之间的关系式；(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制学生手册比较合算？请说明理由专题三 一次函数模型的应用5.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费 y（元）与复印页数 x（页）的关系如下表：x(页) 100 200 400 1000 y(元) 40 80 160 400若 y 与 x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200 元的承包费，则可按每页 0.15 元收费.则乙复印社每月收费 y（元）与复印页数 x（页）的函数关系为 ；在给出的坐标系内画出（1
29、）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在 1200 左右应选择哪个复印社？O 200 400 600 800 1000200400600x(页)y(元)y=0.4xy=0.15x+200参考答案1. 解:设直线 y x3 与 y 轴的2交点是 A，直线 y2 x1 与 y 轴的交点是B，两直线的交点是 C.在 y x3 中，令 x0，得 y3，即点 A 的坐标为（0，3）；在 y2 x1 中，令 x0，得 y1，即点B 的坐标为（0，1）；由2,1yx解得 所以两直线的交点坐标为 C（ ，2），即 AB4，点 C 到 AB 的距离为 .则3,2.xy332两直线 y x3 和 y2 x1
30、与 y 轴所围成的 ABC 的面积 4 3（平方单12位）.2. 解:由已知可得 A 、B(0,1),OA= ,OB=1. 故 AB= .)0,(32OBA因此,S ABC = 22=2.连 PO,则 SABP =SPBO +SABO S APO21= = .213a 4a又 SABP =SABC ， ，432解得 .8a3 解:由 ADE 和DCO 的面积相等,可知AOB 和CBE 的面积相等, 而AOB 的面积为 .设点 E 的坐标为( ),则CBE 的面积为 2 .0yx0y由 ,得 .20y230又由直线 AB 的解析式为 ,而 E 在 AB 上,则 ,有)2(xy )2(300xyO
31、 200 400 600 800 1000200400600x(页)y(元),得 E 的坐标为 ( ).23ox23,又因为点 C 的坐标为(2,0), 所以直线 l 的解析式为 .)(7xy4. 解:(1) y 甲 x500， y 乙 2 x(2)当 y 甲 y 乙 时， 即 x5002 x,则 x 500 ，当 y 甲 y 乙 时， 即 x5002 x,则 x500，当 y 甲 y 乙 时， 即 x5002 x, 则 x 500，所以该学校印制学生手册数量小于 500 本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于 500 本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于 500 本时选择两厂费用都
32、一样 5. 解:根据表中的数据可知 y 是 x 的正比例函数，设 y=kx，将 x=100， y=40 代入y=kx，得 k=0.4，所以函数的解析式为 y=0.4x.y=0.15x+200(x0); 画出函数图象,可得交点坐标为(800,320),可看出当复印页数等于 800 时，两家都可选，当复印页数大于 800 时则选择乙复印社更合算，当复印页数小于 800 时则选择甲复印社更合算.因此,当每月复印页数在 1200 左右时，应选择乙复印社更合算.第 13 章 三角形中的边角关系13.1 三角形中的边角关系13.2 命题与证明【知识要点】1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫
33、做三角形.2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.4.三角形的内角和等于 180.【温馨提示】1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.【方法技巧】1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线
34、段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为 x,再根据三角形的内角和等于 180列方程或方程组解决.专题一 三角形边角关系的应用1 若 a、 b、 c 是 ABC 的 三 边 ， 化 简 |a b c| |b c a| |c a b|.2.已知 a、b、c 是三角形的三边，且满足 a2+b2+c2abbcca=0.试判断三角形的形状.3.一块模板如图所示
35、，按规定 AF 与 DE 的延长线相交成 70，但交点不在模板上，不便测量，于是王师傅连接 AD，测得FAD=34,ADE =76,请你根据这两个角度判断模板是否合格？并说明理由.专题二 三角形中的探究题4.已知ABC 中,三边长 a,b,c 都是整数,且满足 abc,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?5.湖边上有 A，B 两个村庄（如图），从 A 到 B 有两条路可走，即 APB 和AQ B试判别哪条路更短，并说明理由6.如图所示，已知xOy=90 ，点 A，B 分别在射线 Ox，Oy 上移动，BE 是ABy 的平分线，BE 的反向延长线与OAB 的平分线交于点 C，试问ACB 的大小
36、是否发生变化？专题三 三角形中的计算与证明题1.已知ABC 的高为 AD，BAD=70，CAD=20，求BAC 的度数。2.如图，已知 ABDE ，试求证：A+ACD+D =3600（你有几种证法?）（要求至少 2 种）3.在研究三角形内角和等于 180的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法.小明：在ABC 中，延长 BC 到 D，专题四 证明中的探究题4.（1）如图12 与BC 有什么关系？为什么？（2）把图ABC 沿 DE 折叠，得到图，填空：12_BC(填“”“”“=”)，当A40时，BC 12_.（3）如图,是由图的ABC 沿 DE 折叠得到的,如果A30,则 xy360（B C1
37、2） 360 ,猜想 BDACEA 与A 的关系为 .参考答案1.由 三 角 形 三 边 间 的 关 系 ,得 a b c,bc a,c a b， 即a b c 0， b c a 0， c a b 0， 故 原 式 （ a b c） （ b c a） （ c a b） a b c.2.因为 a2+b2+c2abbc ca=0，则有 2a2+2b2+2c22ab2bc 2ca=0.于是有（ab）2+（ ） 2+（ a） 20.此时有非负数的性质知（ab） 2=0；（ ）2=0；（ a） 20，即 ab=0； =0； a=0.故 a = b = c.所以此三角形是等边三角形.3.延长 AF、DE
38、相交于点 O，则在 ADO 中,根据三角形三个内角和等于 180，可得AOD =180 FADADE=1803476=70,所以模板合格.4.由三角形的三边关系,知 b+ca,而 bc,a=8,可知 b4,且 b8,又因为 b 是整数,所以b=5,6,7 如此分类中得 c,列表如下:a 8 8 8b 5 6 7c 4 5,4,3 6,5,4,3,2因此满足条件的三角形共有 1+3+5=9(个).5.AQB 更短，延长 AQ 交 BP 于 EAPE 中，AP +PEAQ+QE ，BEQ 中，QE+BEBQ ，+得，AP+PE +QE+BEAQ+QE+BQ，即 AP+PBAQ+BQ 6.不会变化A
39、CB=45理由：因为OBA+OAB=90，所以C= （180-ABO-12BAO）=451.（1）当高 AD 在ABC 的内部时，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD+CAD=70+20=90;（2）当高 AD 在ABC 的外部时，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50.综合（1）、（2）可知BAC 的度数为 90 或 50.2.证法一：如图 1，过点 C 作 CFAB。ABCD（已知），CF DE （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），A+1=180 0 D+2=180 0（ 两直线平行，同旁内角互补），A+1 +2+D
40、 =3600（等式性质），即A+ACD+D =360 0证法二：如图 2，过点 C 作 CFAB。ABCD（已知），CF DE （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），A=ACF D=DCF（ 两直线平行，内错角相等），ACD +ACF +DCF=360 0（ 周角定义），A+ACD+D =3600（ 等式性质） 3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.另证：已知：如图 10,ABC，求证：A+B+C=180.证明：过点 A 作 EFBC，EAB =B ，FAC=C(两直线平行，内错角相
41、等).EAB +BAC+FAC=180(平角定义)，B+BAC + C=180.4.(1)1+2+A=180, A+B+C =180(三角形内角和等于 180),1+2=B+C(等式的性质 );(2) = 280(3)300 60 BDACEA=2A5. 132180 证明：如图 6，连接 （已知），BCD （两直线平行，同旁内角互补）BACD 又 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），2EA ，13EA ， ，3180C 也就是 ，() 即 12 A E C B F第 14 章 全等三角形14.1 全等三角形【知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形
42、叫全等三角形.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.【温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.【方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转
43、前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.专题一 全等三角形的性质及应用1.如图,ABCEBD,问1 与2 相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么?解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通1 和2 之间的关系.2.如图,已知EABDCE,AB、EC 分别是两个三角形的最长边，A=C =35，CDE=100，DEB=10，求AEC 的度数. BAE 21 F CDO专题二 全等三角形的探究题3.全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形假设ABC 和A 1B1C1是全等（合同
44、）三角形，且点 A 与 A1对应，点 B 与 B1对应，点 C与点 C1对应，当沿周界 ABCA 及 A1B 1C 1A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图 1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2C1B1A1CBAC1B1A1CBA(1) (2)两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折 180，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）DCBA4.如图所示，A，D，E 三点在同一直线上，且 BAD ACE（1）试说明 BD=DE+CE；（2）ABD 满足什么条件时，BDCE？5.如图所
45、示，ABC 绕着点 B 旋转（顺时针）90到DBE，且ABC90.ABC 和DBE 是否全等？指出对应边和对应角;直线 AC、直线 DE 有怎样的位置关系？ AB C DE参考答案1.解：1 和2ABCEBD,A=E(全等三角形对应角相等),又A+AOF+1=180,E+EOB +E=180(三角形内角和定理),AOF =BOE(对顶角相等),1=2(等式的性质).2.解:因为 AB、EC 是对应边，所以AEB=CDE=100，又因为C =35，所以CED=180-35-100=45，又因为DEB=10，所以BEC=45-10=35，所以AEC=AEB-BEC=100-35=65.3.B 提示
46、:A 与 C 中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合D 中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合而 B 中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故 B中的三角形是镜面合同三角形4.解:（1）因为BADACE ，所以 BD=AE，AD =CE，又因为 AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE（2）ADB=90,因为BADACE,所以ADB=CEB，若 BDCE，则CED=BDE，所以ADB=BDE ，又因为ADB+BDE=180，所以ADB=90.5.解:由题知可得：ABCDBE,AC 和 DE，AB 和 DB，BC 和 BE 是对应边；A 和D ， ACB 和DEB ，ABC 和DBE 是对应角;延长 AC 交 DE 于 F.ABCDBE AD， 又ACBDCF（对顶角相等）,AACB90,DDCF90,即AFD90.
