1、参赛密码 （由组委会填写） 全全 第第 十十 二二 届届 “ 中中 关关 村村 青青 联联 杯杯 ” 全全 国国 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 学 校 三峡 大学 参赛队号 11075030 队员姓名 1.徐 高 贵 2.陈 廷 3.张慧 参赛密码 （由组委会填写） 第第 十十 二二 届届 “ 中中 关关 村村 青青 联联 杯杯 ” 全全 国国 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 题 目 水面 舰艇 编队 防空 和 信息化 战争 评估模型 摘 要： 本 文研究了水面舰艇防御敌来袭导弹以及信息 化作战评估问题，运用多目标规划模型解决编队最佳队形问题，建立
2、优化 模型求解出编队防御敌来袭导弹对我指挥舰攻击时 的抗饱和攻击能力。在编队得到空中预警机的帮助时，根据几何关系， 计算出编队的抗饱和攻击能力。运用支持向量机模型判别出空中目标可能的意图，并根据信息化战争相关概念 建立 了 基于云模型和 证据推理的防空信息战系统评估模型 。 对于问题一：考虑到防空拦截距离最大、最危险方向抗饱和攻击能力最大、20 度到 220 度全方位覆盖等对队形的影响，建立了多目标规划模型，利用 层次分析 法 转化成单目标， 并 利用 Lingo 软件进行求解。得到半环形预警式队形为最佳队形，队形中护卫舰相对指挥舰的方位和距离如下表所示。 护航舰 A B C D 偏向角（度）
3、 45 95 145 195 与指挥舰的距离（ km） 47.32 47.32 47.32 47.32 对于问题二：利用定性与定量分析找出编队最危险方向为边界方向，针对该方向多批次来袭导弹的情形，对编队所有舰艇的独立拦截能力进行分析，建立概率模型，运用几何理论计算出编队防御敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力为 11。在最危险方向上，各舰拦截来袭导弹的批数如 下表所示。 指挥舰 护卫舰 A 护卫舰 B 护卫舰 C 护卫舰 D 抗饱和攻击能力 批数 4 3 2 1 1 11 对于问题三：利用空中预警机改良信息探测系统，编队防御性能提升的问题，在无需考虑探测范围的限制条件下，建立几何关系模型
4、，运用 MATLAB 进行求解，得到编队防御敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力为 21，是没使用空中预警机情况下的 1.91 倍，在最危险方向上，各舰拦截来袭导弹的批数如下表所示。 指挥舰 护卫舰 A 护卫舰 B 护卫舰 C 护卫舰 D 抗饱和攻击能力 批数 6 8 4 2 1 21 对于问题四：解决识别空中各目标可能的意图问题，建立了支持向量机模型。先对已知数据进行分析，对存在异常情况的数据运用 B 样条插值法，进行数据的剔除与修复。然后利用修复后的数据计算出指挥舰与空中目标的距离、方位角、航向角以及水平速度，并运用支持向量机模型对数据进行训练与识别，得出空中目标意图结果如下表所示。
5、其中对于目标 41006893，意图由攻击状态转为侦察状态；对于目标 41006872，意图由攻击状态转为其它状态。 目标 ID 41006893 41006830 41006831 41006836 41006837 41006839 意图 攻击 /侦查 其他 其他 其他 其他 侦查 目标 ID 41006842 41006851 41006860 41006872 41006885 41006891 意图 攻击 攻击 攻击 攻击 /其他 攻击 侦查 对于 问题五 ： 对信息化战争的结果 进行 分析 或预测 ，本文建立了基于云模型和 证据推理的防空信息战系统评估模型，并运用此模型对海湾战争进
6、行分析，结果表面海湾战争中多国部队的防空信息战系统效能很高，与实际相符合。 关键词 ： 支持 向量机； 多目标 规划； B 样条 ； 云模型 ； 证据推理 1 1 问题重述 1.1 问题背景 我海军由 1 艘导弹驱逐舰和 4 艘导弹护卫舰组成水面舰艇编队在我南海某开阔海域巡逻，其中导弹驱逐舰为指挥舰，重要性最大。某一时刻 t 我指挥舰位置位于北纬 15 度 41 分 7 秒，东经 112 度 42 分 10 秒，编队航向 200 度（以正北为 0 度，顺时针方向）， 航速 16 节（即每小时 16 海里）。编队各舰上防空导弹型号相同，数量充足，水平最小射程为 10 千米，最大射程为 80 千米
7、，高度影响不必考虑（因敌方导弹超低空来袭），平均速度 2.4 马赫（即音速 340 米/秒的 2.4 倍）。编队仅依靠自身雷达对空中目标进行探测，但有数据链，所以编队中任意一艘舰发现目标，其余舰都可以共享信息，并由指挥舰统一指挥各舰进行防御。 以我指挥舰为原点的 20 度至 220 度扇面内，等可能的有导弹来袭。来袭导弹的飞行速度 0.9 马赫，射程 230 千米，航程近似为直线，一般在离目标 30 千米时来袭导弹启动末制导雷达 ，其探测距离为 30 千米，搜索扇面为 30 度（即来袭导弹飞行方向向左和向右各 15 度的扇面内，若指挥舰在扇形内，则认为来袭导弹自动捕捉的目标就是指挥舰），且具有
8、“二次捕捉”能力（即第一个目标丢失后可继续向前飞行，假设来袭导弹接近舰艇时受到电子干扰丢失目标的概率为 85%，并搜索和攻击下一个目标，“二次捕捉”的范围是从第一个目标估计位置算起，向前飞行 10 千米，若仍然没有找到目标，则自动坠海）。每批来袭导弹的数量小于等于 4 枚（即由同一架或在一起的一批飞机几乎同时发射，攻击目标和导弹航向都相同的导弹称为一批）。 由于来袭 导弹一般采用超低空飞行和地球曲率的原因，各舰发现来袭导弹的随机变量都服从均匀分布，均匀分布的范围是导弹与该舰之间距离在 20-30千米。可以根据发现来袭导弹时的航向航速推算其不同时刻的位置，故不考虑雷达发现目标后可能的目标“丢失”
9、。编队发现来袭导弹时由指挥舰统一指挥编队内任一舰发射防空导弹进行拦截，进行拦截的准备时间（含发射）均为 7 秒，拦截的路径为最快相遇。各舰在一次拦截任务中，不能接受对另一批来袭导弹的拦截任务，只有在本次拦截任务完成后，才可以执行下一个拦截任务。指挥舰对拦截任务的分配原则是，对每批来袭导弹 只使用一艘舰进行拦截，且无论该次拦截成功与否，不对该批来袭导弹进行第二次拦截。不考虑每次拦截使用的防空导弹数量。 1.2 需要解决的问题 1、在未发现敌方目标时，设计编队最佳队形（各护卫舰相对指挥舰的方位和距离），应对所有可能的突发事件，保护好指挥舰，使其尽可能免遭敌导弹攻击。 2、当不考虑使用电子干扰和近程
10、火炮（包括密集阵火炮）等拦截手段，仅使用防空导弹拦截来袭导弹，上述编队防御敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力如何（当指挥舰遭遇多批次导弹几乎同时攻击时，在最危险的方向上，编队能够拦截来袭导弹的最大 批数。）？ 3、如果编队得到空中预警机的信息支援，对距离我指挥舰 200 千米内的所有来袭导弹都可以准确预警（即通报来袭导弹的位置与速度矢量），编队仍然保2 持上面设计的队形，仅使用防空导弹拦截敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力（定义同上）提高多少？ 4、预警机发现前方有 12 批可疑的空中目标，从 t 时刻起，雷达测得的目标位置信息在附件 1 的表格中（说明：表中作战时间为 tim
11、e_t 格式，即从 1970年 1 月 1 日 0 时起到某一时刻的秒数；目标位置经纬度的单位为弧度；目标高度的单位为米），各目标雷达反射面积见表 1。用于判 断空中目标的意图的知识和规则的样本见表 2。请分析识别空中各目标可能的意图。（相关的背景知识介绍参见附件 A） 。 5、如果我方的预警机和水面舰艇编队的雷达和通信系统遭到敌方强烈的电子干扰，无法发现目标，也无法传递信息，这时，后果将是极其严重的，我编队防空导弹的拦截效能几乎降低到零。由此引起人们的深思，信息化条件下作战对传统的作战评估模型和作战结果已经产生重要的甚至某种程度上是决定性的影响！在海湾战争（相关资料参见附件 B）的“沙漠风暴
12、”行动开始前，一些军事专家用传统的战争理论和战争评估模型进行预测，包括用兰彻斯特战 争模型预测战争进程，结果却大相径庭，战争的实际结果让他们大跌“眼镜”。那么信息化战争的结果应该用什么样的模型来分析或预测呢？这是一个极具挑战性，又十分有意义的课题。请尝试建立宏观的战略级信息化战争评估模型，从一般意义上反映信息化战争的规律和特点，利用模型分析研究信息系统、指挥对抗、信息优势、信息系统稳定性，以及其它信息化条件下作战致胜因素的相互关系和影响（信息化战争相关概念参见附件 C）。并通过信息化战争的经典案例，例如著名的海湾战争，对模型加以验证。 3 2 模型的假设与符号说明 2.1 模型的假设 假设 1
13、：舰艇编 队内部的舰载装备和探测器材齐全完好。 假设 2：来袭导弹发射的瞬间，舰艇是静止的。 假设 3：电磁干扰为近船干扰，干扰距离小于舰艇的最小射程 。 假设 4：考虑到误伤情况，当来袭导弹进入任何舰艇的 10 千米范围内，均不能使用防空导弹进行拦截。 2.2 符号说明 符号说明 符号 符号说明 r 护卫舰与指挥舰的距离 1S 护卫舰 A 与扇面初始角度的直线相交的面积 2S 护卫舰 A 和 B 相交的面积 3S 护卫舰 B 和 C 相交的面积 4S 护卫舰 C 和 D 相交的面积 5S 护卫舰 D 与扇面终止终止角度的直线相交的面积 d 来袭导弹与护卫舰之间的距离 0L 编队各舰上防空导弹
14、的最小射程 1L 编队各舰上防空导弹的最大射程 0v 编队各舰上防空导弹的速度 1v 来袭导弹的速度 注 ： 其它符号在正文中详细标 注 。 4 3 问题的分析 本题讨论的是水面作战，舰艇编队防空反导作战的问题。防空队形的优劣直接关系到编队内部各种器械的协同效率，舰艇编队应根据己方舰艇的数量和防空武器的性能，综合编队的自我保护效果，雷达探测设备预警、探测效果、活力发挥效果等方面因素对防空队形的要求，选择适当的防空队形样式，一边最大限度的发挥各舰的防御效能，提高编队的整体对空防御能力。 问题一的分析 问题一要求在尽可能的应对突发事件，保护好指挥舰的条件下，设计编队最佳队形。根据查阅的相关文献，最
15、佳队形需要考虑两个方面：首先是护卫舰与驱逐舰之间的距离 ，它对护卫舰有效探测目标的距离产生影响。如果护卫舰与驱逐舰之间的距离太近，整个编队将很难探测到更远距离的来袭导弹，舰艇上防空导弹的射程优势将难以发挥。因此，可以认为护卫舰与驱逐舰之间的距离越远，作战效果越好；其次是护卫舰相对于驱逐舰的角度，即驱逐舰为圆心，正北方向为 Y 轴，护卫舰与驱逐舰之间的角度为护卫舰与驱逐舰连线与水平方向的间的夹角。每个护航舰与驱逐舰之间的夹角决定了护航舰之间的距离，如果护航舰之间距离太远，则相邻的护航舰之 间有可能出现雷达无法探测到的空白区；如果距离太近，则边缘区域有可能成为探测能力薄弱区，导弹击中驱逐舰的概率将
16、会增加。 问题二的分析 问题二要求根据问题一的编队队形，不考虑使用电子干扰和近程火炮（包括密集阵火炮）等拦截手段，仅使用防空导弹拦截来袭导弹的抗饱和攻击能力。文献资料显示：抗饱和能力是指应对敌方饱和攻击时的抗打击能力，以短时间内拦截对方导弹数量或其它攻击武器数量为指标，是衡量防空系统性能的主要指标。对于一种编队，各个方向的防御能力无法达到完全一致，总会存在一个或多个防御能力最弱的方向，称之为最危险方向 。因此要求编队的抗饱和攻击能力，只需要求出最危险方向上的抗饱和能力。 根据问题一的编队进行分析，首先是寻找防御最薄弱的区域。在编队队形优化之前，相邻护卫舰之间的的区域属于防御薄弱区。在队形优化后
17、，相邻护卫舰的区域有两艘舰艇的雷达探测覆盖区，探测到导弹的概率增加，且有三艘舰艇在射程范围内，防御能力大大增加，而边界区域受到雷达探测距离限制与防空导弹射程限制，成为了防御能力最薄弱的区域。找出防御最薄弱的区域后，根据已知数据，求解出该区域能够拦截来袭导弹的最高批次，即为编队的抗饱和攻击能力。 然而需要注意的是，由于 在距舰艇 20 千米内来袭导弹是一定会被探测的，而在 23-30 千米内，来袭导弹被探测到的概率呈均匀分布，因此需要通过数学方法对来确定距舰艇 0-30 千米范围内的有效探测范围，这也是本题求解的关键之一。 问题三的分析 问题三增加了 编队得到空中预警机的信息支援，在距指挥舰 2
18、00 千米范围内均能对来袭导弹进行准确预警。此处条件的增加，让整个编队的探测能力达5 到最大，消除了在射程范围内探测距离的限制。因此，在正常情况下，编队剩余抗饱和攻击能力的约束就只有防空导弹的射程约束。 根据第二问分析，最危险的方向是边界 20 度和 220 度 的方向。由于编队呈对称结构，因此只需要求出一边能拦截的最多导弹批次即可。以 20 度为例，分别对指挥舰和各护卫舰独立求解各自能拦截的导弹批次。在这里需要注意的是，由于探测距离已经大于射程距离，因此舰艇可以在来袭导弹到达射程范围前就进行发射，在最大射程的距离处拦截导弹。依次将各舰艇拦截批次进行累加，得到编队在 20 度方向上的抗饱和能力
19、，即最多拦截批次。同理可得 220 度方向上的抗饱和能力。 问题四分析 针对问题四，空中目标意图的分析是现代防空作战中理解战场态势、预测目标行动及威胁的关键。但是通过舰载雷达接收的目标相关 信息可能会由于传感器性能及敌方干扰、欺骗等行为，使得信息存在高度的不确定性；同时，由于作战的复杂性，用于推理的军事知识也存在着不确定性，所以我们根据相关的数据样本，建立一个目标意图估计数据库，运用基于最小二乘法的支持向量机模型来进行空中目标意图识别。 问题五分析 针对问题五，信息技术在改变航空兵战斗力性质和结构的同时 , 为作战双方战斗意志、决心和智慧的实施表达提供了新的渠道和手段 , 导致作战样式、战术形
20、态发生了根本性变化。现代空战只有掌握制信息权才能掌握制空权 , 所以制信息权对于战争的进展和结局有着十分重要 的影响。所以防空信息战效能对战争的胜负有着重要影响。本文从防空信息战效能的角度对战争进行评估。本文采用基于云模型和 D-S 证据推理的方法并结合专家评判方法对战争进行评估，并对海湾战争进行验证。 6 4 数据的收集与处理 4.1 轨迹分析 附件中表 1 给出了 12 批可疑的空中目标的数据，包括作战时间、目标经度、目标纬度以及目标高度。为了保证数据的可靠性，对给出的 12 批的空中目标的数据，进行了轨迹分析，来验证数据的合理性。 4.1.1 时间与纬度的轨迹 关系 如图 4-1 所示，
21、以时间为横坐标，纬度为纵坐标，利用 matlab 分析了 12个空中目标时间与纬度的关系，一般来说正常轨迹不会出现变异，而在绘出的吐血中发现有多个目标的纬度存在部分变异，需要对这些目标的进行进一步分析。 0 10 20 30 401 7 . 4 71 7 . 4 7 51 7 . 4 81 7 . 4 8 51 7 . 4 9目标 ID ： 41006860相对时间纬度0 10 20 30 401 5 . 6 21 5 . 6 41 5 . 6 61 5 . 6 81 5 . 71 5 . 7 2目标 ID ： 41006851相对时间纬度0 10 20 30 401 3 . 5 4 51 3
22、 . 5 51 3 . 5 5 51 3 . 5 61 3 . 5 6 5目标 ID ： 41006872相对时间纬度0 10 20 30 401 3 . 7 81 3 . 81 3 . 8 21 3 . 8 41 3 . 8 63 . 8 81 3 . 9目标 ID ： 41006885相对时间纬度（ a） （ b） （ C） （ d） 7 0 10 20 30 401 7 . 21 7 . 2 11 7 . 2 21 7 . 2 31 7 . 2 41 7 . 2 51 7 . 2 6目标 ID ： 41006891相对时间纬度0 10 20 30 401 5 . 8 21 5 . 8 4
23、1 5 . 8 61 5 . 8 81 5 . 91 5 . 9 2目标 ID ： 41006893相对时间纬度图 4-1：时间序列纬度轨迹图 4.1.2 时间与经度的轨迹关系 如图 4-2 所示，以时间为横坐标，经度为纵坐标，利用 matlab 分析了 12个空中目标时间与经度的关系，发现有 6 个目标的数据存在异常，分别为目标ID41006891、目标 ID41006842、目标 ID41006885、目标 ID41006851、目标ID41006872 和目标 ID41006893，需要对这些目标的异常进行一步分析与处理。 0 10 20 30 401 1 3 . 31 1 3 . 3
24、21 1 3 . 3 41 1 3 . 3 61 1 3 . 3 8相对时间经度目标 41006842 拟合结果d a t afi t t e d c u r v e0 10 20 30 401 1 4 . 21 1 4 . 2 21 1 4 . 2 41 1 4 . 2 61 1 4 . 2 81 1 4 . 3相对时间经度目标 41006851 拟合结果d a t afi t t e d c u r v e（ a） （ b） (e) （ a） (f) 8 0 10 20 30 401 1 2 . 5 51 1 2 . 5 61 1 2 . 5 71 1 2 . 5 81 1 2 . 5 9
25、1 1 2 . 6相对时间经度目标 41006872 拟合结果d a t afi t t e d c u r v e0 10 20 30 401 1 2 . 9 61 1 2 . 9 71 1 2 . 9 81 1 2 . 9 91131 1 3 . 0 1相对时间经度目标 41006885 拟合结果d a t afi t t e d c u r v e0 10 20 30 401 1 4 . 0 91 1 4 . 11 1 4 . 1 11 1 4 . 1 21 1 4 . 1 31 1 4 . 1 4相对时间经度目标 41006891 拟合结果d a t afi t t e d c u r
26、 v e0 10 20 30 401 1 4 . 9 41 1 4 . 9 51 1 4 . 9 61 1 4 . 9 71 1 4 . 9 81 1 4 . 9 9相对时间经度目标 41006893 拟合结果d a t afi t t e d c u r v e图 4-2：时间序列经度轨迹图 4.1.3 空中目标的轨迹分析 如图 4-2，以经度为横坐标，纬度为纵坐标，利用 matlab 分析了 12 个空中目标的轨迹，发现大多数目标的轨迹是直线轨迹，如图 4-2 中的（ a）；有三个目标的轨迹是折现轨迹，如图 4-2 中（ b）、（ c）、（ d）；有两个目标存在高度上的变化，如图 4-2
27、中（ e）、（ f）。 1 1 2 . 9 71 1 2 . 9 81 3 . 81 3 . 8 50123高度目标 41006885 的轨迹经度纬度1 1 2 . 5 61 1 2 . 5 81 3 . 5 51 3 . 5 5 51 3 . 5 6567高度目标 41006872 的轨迹经度纬度(a) (b) （ C） （ d） （ f） （ e） 9 1 1 4 . 11 1 4 . 1 11 7 . 2 11 7 . 2 21 7 . 2 31 7 . 2 41 7 . 2 53456高度目标 41006891 的轨迹经度纬度1 1 4 . 9 51 1 4 . 9 61 1 4 .
28、9 71 5 . 8 41 5 . 8 678910高度目标 41006893 的轨迹经度纬度1 1 4 . 2 21 1 4 . 2 41 1 4 . 2 61 1 4 . 2 81 5 . 6 41 5 . 6 6123经度目标 41006851 的轨迹纬度高度1 1 3 . 3 21 1 3 . 3 41 1 3 . 3 61 6 . 9 8171 7 . 0 21234经度目标 41006842 的轨迹纬度高度图 4-3：目标轨迹三维图 出现折现轨迹可能是空中目标发生了转向，对出现折现轨迹的的目标计算其到达目标位置的时间，发现与所给数据吻合，说明折线行驶并没有影响空中目标到达目标位置，
29、因此，折线轨迹不作为异常情况处理。 4.2 基于 B 样条数据的剔除与修复 对比上述三种轨迹分析，发现当有时间变量与经纬度相关时，轨迹中是位置点会有部分偏离趋势轨迹。细致分析所给的数据，给出的 12 个目标数据中，存在一个目标在同一作战时间，出现多个经纬度位置的情况。出现这种情况，有两个猜测：第一，时间后面有 更精确的数位；第二，异常数据。题中未给出更精确的数位，无法知道这两个时间的先后位置，因此，此处将重复数据作为异常数据，利用 B 样条拟合来进行数据的剔除与修复。 存在本文考虑均匀 B 样条曲线，给定 1n 个控制点 iP 0,1, 2, ,in 的坐标iP ， n 次 B 样条曲线段的参
30、数表达式为 ,0 , 0 , 1n i i ntP t P F t t 式中为 n 次 B 样条基函数，其形式为 (C) (d) (e) (f) 10 ,101 1! ni jnji n njF t C t n i jn 其中 1 1! 1 !jn nC j n j 根据上述 模型，对原始数据进行修复，得到修复后的数据，如下表 4-4（ 详情 见 附件 ） ： 表 4-4：修复后的空中目标数据 目标 ID 作战时间 目标纬度 目标经度 目标高度 41006830 1471427976 .249264711886789 1.94281171850166 7000 41006830 1471427
31、977 .249284249515577 1.94282282157269 7000 41006830 1471427978 .249303787144365 1.9428339246993 7000 41006830 1471427979 .249323324773153 1.94284502788147 7000 41006830 1471427980 .249342862401941 1.94285613111922 7000 41006830 1471427982 .249362400030729 1.94286723441254 7000 41006893 1471428011 .2
32、76430747857601 2.00623207011008 8600 41006893 1471428012 .276397489977449 2.0062362875472 8600 41006893 1471428013 .276364232097297 2.0062405049443 8600 11 5 问题一的求解 问题一需要在 未发现敌方目标时，设计编队最佳队形 。对于问题一的解答主要考虑两点，第一防空队形的最薄弱区域抗饱和能力最大，即拦截导弹的能力最大；其次，保证保证在薄弱区域抗饱和能力的前提下，雷达搜索探测区域最大。 5.1 队形编排的背景知识 在建立模型前，首先考虑了典型的
33、舰艇队形能否利用。典型的舰船队形有七种，分别为人字形、菱形、梯形、横队、环形、纵队和楔形。 （ 1）人字形 （ 2）菱形 （ 3）梯形 （ 4） 横队 （ 5）环队 （ 6）纵队 （ 7）楔形 图 5-1：典型防空队形 不同舰艇编队在不同类型的战斗中 ，有不同功能 。通常依据敌情、任务、海区情况、舰艇数量和舰艇武器装备等确定。纵队，用于舰炮攻击、导弹攻击，布雷。横队，用于宽大正面搜索，导弹艇导弹攻击，对潜艇搜索和攻击，布雷、非接触扫雷、炸雷，登陆舰艇和登陆工具的登陆突击，设置潜艇幕。梯队，用于舰炮攻击、导弹攻击、鱼雷攻击，布雷、接触扫雷、炸雷，设置潜艇幕。人字队和楔形队，用于导弹攻击、对潜艇搜
34、索和攻击，战斗舰艇编队对空和对潜防御。菱形队，用于战斗舰艇编 队对空和对潜防御。环形队形，用于航空母舰编队遂行各种任务，护航运输队、登陆输送队编队航行。 5.2 简易队形的剔除 在典型队形中，横队、纵队、楔形防空队形是基本队形。这是在火炮时期就已经产生的队形，它能发挥出每艘军舰的最大舷侧火力。在本题中，如果选择横队、纵队，包括梯形队，探测距离的优势只能发挥在某一个特定的方向上。舰队的探测能力，与舰队对来袭导弹的拦截能力关系密切。探测的距离越远，舰队应对来袭的能力越强。横队、纵队，梯形队在各个方向上的探测距离是不相等的，且差异较大，这就意味着舰队的导弹拦截能力在各个方向是 不均等的，差异悬殊。无
35、法保证整体舰队的全方位的探测搜索优势，将会导致薄弱区域的拦截导弹能力低下。本题中，舰队的最大探测范围为 30km，编队薄弱区域探测导弹的实际有效范围为 20km 30km。因此，使用横队、纵队和梯形这几种队形并不能应对全方位的导弹来袭情况。 环形防空队形是很容易想到的队形，这种队形在二战时期已经出现。环形防空队形可能出现两种情况：一种是指挥舰与护卫舰同等位置的环形队形，另一种是预警式环形队形。如下图： 12 （ a） 等位环形 （ b）预警式环形 图 5-2：环形防空队形情况 图 5-2 中等位环形队形是指指挥舰与护航舰的地位相同，与四艘护航舰一起组成一个环形，共同抵抗来袭导弹。这种防护看似比
36、较周密，全方位的雷达探测强度比较均匀，但是整个舰队的拦截来袭导弹能力也是最小的，只能抵抗一批次的来袭导弹攻击，探测有效距离也只有 20km 30km。预警式的队形是将指挥舰放在中心位置，其余四艘护航舰分布在四周。这种队形比起等位环形在在探测范围上具有一定优势，即导弹拦截能力有所提升，可以拦截多批次的来袭导弹，但探测薄 弱区域仍然无法对抗多批次导弹来袭，因此这些区域的拦截能力依然有待提高。基于此，下面将对这种预警式队形进行优化，旨在满足探测范围的同时，提高整个舰队的抗饱和能力。 5.3 模型的准备 本文从典型的防空队形中选择适合进行优化的预警式防空队形，由题中给出条件可知，在以指挥舰为原点的 2
37、0 度至 220 度扇面内，等可能的有导弹来袭。因此，只需考虑 20 度至 220 度的区域进行对空防御。 在考虑 20 度到 220 度的区域的防空队形编排时，首先一个极限情况，即探测距离最长，探测覆盖面最广的情况。如图 5-3 中的 (c)图，以指挥舰为圆心，舰艇最大探测距离 30km 为半径，画出指挥舰与四艘护航舰的编排队形。在这种情况下，整个舰队可探测导弹的距离是最远的，但是在相邻护卫舰之间相切的探测区域属于整个舰队中的最薄弱区域，导弹将在离指挥舰最近的区域被探测到，并且在首次探测到后，舰队还可能出现丢失目标的情况。若是导弹从这些方位进行袭击，舰队探测到导弹的概率将会降低，指挥舰被击中
38、的概率将会增加。因此本文通过改变行指挥舰与护卫舰之间的距离和角度，使得原先相切的探测范围重叠相交，增加边缘薄弱区域的探测强度。 X 轴Y 轴X 轴Y 轴3 0 k m3 0 k m（ c）最大雷达探测范围队形 （ d）防御薄弱区加强队形 图 5-3：强化防御能力的舰队队形 20 20防御薄弱区 防御薄弱区 防御薄弱区 薄弱区防护加强 薄弱区防护加强 薄弱区防护加强 13 5.4 模型的建立 5.4.1 符号定义 4 艘护卫舰 ， ， ， 按顺时针方向排列在以指挥舰为圆心， 30km 为半径的 20 度至 220 度扇面曲线上。 4 艘护卫舰距离指挥舰的距离应该相等，记作 r 。 0 为以指挥舰
39、为原点的扇面起始角度 20 度。 1 为护卫舰 与指挥舰的夹角。 2 为护卫舰 与指挥舰的夹角。 3 为护卫舰 与指挥舰的夹角。 4 为护卫舰 与指挥舰 的夹角。 5 为以指挥舰为原点的扇面终止角度 220 度。 舰艇发现来袭导弹的随机变量服从均匀分布，均匀分布的范围是导弹晕该舰之间距离在 20-30 千米。可知舰艇能够发现导弹的最远距离为 30 千米。故护卫舰与指挥舰的半径均为 30 千米，由上述定义可知 4 艘护卫舰的圆心为 1,Ar ， 2,Br ， 3,Cr , 4,Dr 。 由上述描述可知： 0 1 2 3 4 52 0 2 2 0 5.4.2 模型的建立 1S 为护卫舰 A 与扇面
40、初始角度的直线相交的面积如图 5-4 所示： X 轴Y 轴图 5-4：护卫舰 A 与指挥舰的探测范围相交图 )( 01 0kr1SABCDA B C D14 102 2 2 21 1 0 1 0102 2 2 21 0 1 0sin2 a r c c o ssin sin2sina r c c o s sin sinrkS k r k rrk r k rk 2S 为护卫舰 A 和 B 相交的面积如图 5-5 所示： X 轴Y 轴图 5-5：护卫舰 A 与护卫舰 B 的探测范围相交图 212 1 2 12 2 2 22212 1 2 12 2 2 2si n22 a r c c os2 si n
41、 si n2 2 2si n22 a r c c os si n si n22rkS k r k rrk r k rk 3S 为护卫舰 B 和 C 相交的面积，其相交情况与护卫舰 A 和 B 相交情况相同： 2S)2( 12 015 323 2 3 22 2 2 23323 2 3 22 2 2 2si n22 a r c c os2 si n si n2 2 2si n22 a r c c os si n si n22rkS k r k rrk r k rk 4S 为护卫舰 C 和 D 相交的面积与 2S 、 3S 的计算方法相同： 434 3 4 32 2 2 24434 3 4 32 2
42、 2 2si n22 a r c c os2 si n si n2 2 2si n22 a r c c os si n si n22rkS k r k rrk r k rk 5S 为护卫舰 D 与扇面终止终止角度的直线相交的面积，起计算方法与 1S 的计算方法相似 ： 42 2 2 25 4 442 2 2 244sin2 a r c c o ssin sin2sina r c c o s sin sinrkS k r k rrk r k rk 相交的地方为防护薄弱区，应提高防护薄弱区的发现导弹的可能性，即防护薄弱区的面积如果最小的面积达到最大，即可实现防护薄弱区的加强。 即 m in , 1
43、, , 5is S i，当 达到最大时，防护薄弱区得以加强。当 达到最大时，防护薄弱区可得以加强。 即 ， m in , 1, , 5is S i 。 此外，如果防护薄弱区面积越大，则同时会导致指挥舰 与护卫舰之间的距离变短，如果距离变短，则舰艇发现导弹的可能性会大大降低，所以在保证防护薄弱区得到加强的同时，要保证指挥舰与护卫舰之间的距离尽可能大，即maxr 综上所述，建立的编队防空模型为： maxmaxrs 其中 1 2 3 4 5s S S S S S ，且 0 1 2 3 4 52 0 2 2 0 ， 30 60rs smaxs16 5.5 模型的求解与分析 防空队形的编排有很多种，不同
44、的队形应对不同的防御要求。本问中要求编队能应对所有可能的突发情况，即要求整个编队既要满足雷达探测在各个方位探测距离要大致相当，不能出现悬殊较大的情况，又要保证整体的探测距离最远。根据建立的模型，将两个防御要求转换成相邻护卫舰探测区交叠的面积最大和护卫舰与指挥舰之间的距离最远两个目标来进行求解。根据题目已知的数据，利用 Lingo 进行编程，可求得以下以指挥舰为圆 心的护卫舰的方位结果，如表 5-1 所示： 表 5-1：队形编排结果 护航舰 A B C D 偏向 角度 (度 ) 45 95 145 195 与指挥舰的距离（ km） 47.32 47.32 47.32 47.32 根据表中数据，利
45、用 CAD 作出精确的编队方位图，如图 5-6 所示 ： 图 5-6：最优编队方位图 以指挥舰为圆心，正北方向为 Y 轴，正东方向为 X 轴。有表 5-1 的结果可知，护 航舰 A 在据指挥舰 46.60485km 的北偏东 38.96 度方位上；护卫舰 B 在据指挥舰 46.60485km的东偏南 3.14度的方位上；护卫舰 C在据指挥舰 46.60485km的东偏南 56.86 度的方位上；护卫舰 D 在据指挥舰 46.60485km 的南偏西 20.58度的方位上。 从整体编队的形状上来看，编队属于半环形编队。这种编队是一种预警式队形，二战时期开始出现。本题中编队可探测的最远距离为 77
46、.32km。 ABCD指挥舰 2022017 6 问题二的求解 空袭一方为达到减小突防损失的目的 ,常采用大密度、连续进袭的突防手段 ,使防空系统射击能力在某一特定 时间内处于无法应付的“饱和状态” ,以达到提高突防率的目的。这种“饱和状态”的程度可以用防空导弹抗饱和攻击能力来表 示 ,抗饱和攻击能力可以概括为：应对敌方饱和攻击时的抗打击能力，以短时间内拦截对方导弹数量或其它攻击武器数量为指标，是衡量防空系统性能的主要指标。 6.1 影响抗饱和能力的主要因素 舰艇编队的抗饱和攻击能力受制于多方因素，例如目标类型、火力通道、射击目标的平均时间、目标在发射区的逗留时间以及武器系统的工作可靠性、导弹
47、的供应保障以及射击指挥等人为因素的影响。本题中可能影响编队抗饱和能力的因素有： （ 1） 火力 通道。火力通道数越多 ,武器系统的抗饱和攻击能力就越强。火力通道数是决定防空导弹抗饱和攻击能力的重要因素。 （ 2） 射击目标的平均时间。射击目标的平均时间越短 ,其抗饱和攻击能力就越强。 （ 3） 目标在发射区的逗留时间。作战空域越大 ,目标在发射区的逗留时间就越长 ,其受到射击的机会就越多 ,武器系统的抗饱和攻击能力就越强 ,目标在发射区的逗留时间还与目标特性 (速度、高度和航路捷径等 )有关。 6.2 危险方向的分析 根据题意，问题二要求根据问题的编队队形，仅使用防空导弹拦截来袭导弹的抗饱和攻
48、击能力。对于一种编队，各个方向的防御能力无法达 到完全一致，总会存在一个或多个防御能力最弱的方向，称之为危险方向。因此要求编队的抗饱和攻击能力，只需要求出最危险方向上的抗饱和攻击能力。 根据问题的求解的最佳队形，原先防御能力薄弱的两护卫舰间的区域已经得到巩固，相邻两艘护卫舰间的区域至少在三艘舰艇的射程防卫内，如图 6-1的虚线区域，为 A、 B 两艘护卫舰之间的区域。而边界区域（如图 6-1 中护卫舰 A 与 20 度边界的相交的区域）距舰艇 20km 至 30km 的区域，雷达并不能每次都准确探测到来袭导弹，并且边界方向距驱逐舰较远的位置，只有驱逐舰和护卫舰本身的防空导弹在射程区 ，若是有多批导弹来袭，将成为整个舰队的防御短板。由于整个舰队是一个
