1、2015-2016 学年河北省衡水市故城高中高三（上）12 月月考数学试卷（文科）一、选择题（共 12 题，每小题 5 分）1若集合 P=x|2x4，Q=x|x3，则 PQ 等于（ ）Ax|3x4 Bx|3 x4 Cx|2x3 Dx|2x32复数（3+2i）i 等于（ ）A2 3i B2 +3i C2 3i D2+3i3以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A2 B C2 D14设命题 p：xR，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x 02+10 Bx 0R，x 02+10Cx 0R，x 02+10 Dx 0R，x 02+105已知
2、m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A若 m，n，则 m n B若 m ，m n，则 nC若 m，mn，则 n D若 m ，n ，则 mn6将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位，得到函数 y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为 Cy=f（x）的图象关于直线 x= 对称Dy=f（x）的图象关于点（ ，0）对称7已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，4） D （4，+）8已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，
3、则 a3+a5+a7=（ ）A21 B42 C63 D849要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）A80 元 B120 元 C160 元 D240 元10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于（ ）A B2 C3 D411设 D 为ABC 所在平面内一点， ，则（ ）A BC D12已知圆 C：（x a） 2+（yb） 2=1，设平面区域 = ，若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则a2+b2 的最大值为（ ）A4
4、9 B37 C29 D5二填空题（共 4 题，每题 5 分）13在ABC 中，A=60 ，AC=2，BC= ，则 AB 等于 14函数 f（x）= 的零点个数是 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当 取得最小值时，x+2yz 的最大值为 三解答题（共 6 题，17 题 10 分，其它各题 12 分）17ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值；（）求ABC 的面积18已知函数 f（x）=cosxsin（x+ ） cos2x+ ，xR（）求 f（x）
5、的最小正周期；（）求 f（x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值19在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81（）求 an；（）设 bn=log3an，求数列b n的前 n 项和 Sn20如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA 1=AC=2，BC=1，E，F 分别是A1C1，BC 的中点（）求证：平面 ABEB 1BCC1；（）求证：C 1F平面 ABE；（）求三棱锥 EABC 的体积21设函数 f（x）=（x+a ）lnx，g（x）= 已知曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线2xy=0 平行（）求 a 的值；（）是否存在自然数 k，使得方程
6、f（x）=g （x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；（）设函数 m（x）=min f（x） ，g（x）（minp，q表示 p，q 中的较小值） ，求 m（x）的最大值22已知函数 f（x）=|2x+1|+|2x 3|（）求不等式 f（x）6 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（ x）|a1|的解集非空，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年河北省衡水市故城高中高三（上）12 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 题，每小题 5 分）1若集合 P=x|2x4，Q=x|x3，则 PQ 等于（ ）Ax|3x4 Bx|3 x
7、4 Cx|2x3 Dx|2x3【考点】交集及其运算【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4故选 A2复数（3+2i）i 等于（ ）A2 3i B2 +3i C2 3i D2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值【解答】解：（3+2i）i=3i +2i2=2+3i故选：B3以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A2 B C2 D1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】边长为 1 的正
8、方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：121=2，故选：A4设命题 p：xR，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x 02+10 Bx 0R，x 02+10Cx 0R，x 02+10 Dx 0R，x 02+10【考点】命题的否定【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解命题 p：xR，x 2+10，是一个特称命题p： x0R，x 02+10故选 B5已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
9、（ ）A若 m，n，则 m n B若 m ，m n，则 nC若 m，mn，则 n D若 m ，n ，则 mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明 ABC 都不对【解答】解：在正方体 ABCDABCD中：令底面 ABCD=A、令 m=AB， n=BC，满足 m，n ，但 mn 不成立，A 错误；B、令 m=AA， n=AB，满足 m，m n，但 n 不成立，B 错误；C、令 m=AB，n=AD，满足 m ，mn，但 n 不成立，C 错误；故选：D6将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位，得到函数 y=f
10、（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为 Cy=f（x）的图象关于直线 x= 对称Dy=f（x）的图象关于点（ ，0）对称【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数图象的平移法则得到函数 y=f（x）的图象对应的解析式为 f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos =cos（ ）=0 即可得到正确选项【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位，得 y=sin（x+ ）=cosx即 f（x）=cosxf（x）是周期为 2 的偶函数，选项 A，B 错误；cos =cos（ ）=0 ，y=f（x）的图象关于点（ ，
11、0） 、 （ ，0）成中心对称故选：D7已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，4） D （4，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】可得 f（2）=20，f（4）= 0，由零点的判定定理可得【解答】解：f（x）= log2x，f（2）=2 0，f（4）= 0，满足 f（2）f （4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C8已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ）A21 B42 C63 D84【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知，a 1=3，a 1+a
12、3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求 q，然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解：a 1=3，a 1+a3+a5=21， ，q 4+q2+1=7，q 4+q26=0，q 2=2，a 3+a5+a7= =3（2+4+8）=42故选：B9要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）A80 元 B120 元 C160 元 D240 元【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求【解答
13、】解：设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，则长方形容器的容器为 4m3，高为 1m，底面面积 S=ab=4，y=20S +102（a+b）=20（a +b）+80，a+b2 =4，当 a=b=2 时，y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元，故选：C10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于（ ）A B2 C3 D4【考点】向量在几何中的应用【分析】虑用特殊值法去做，因为 O 为任意一点，不妨把 O 看成是特殊点，再代入 计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，
14、则 = ，M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点， =2 =4故选：D11设 D 为ABC 所在平面内一点， ，则（ ）A BC D【考点】平行向量与共线向量【分析】将向量 利用向量的三角形法则首先表示为 ，然后结合已知表示为 的形式【解答】解：由已知得到如图由 = = = ；故选：A12已知圆 C：（x a） 2+（yb） 2=1，设平面区域 = ，若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则a2+b2 的最大值为（ ）A49 B37 C29 D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆 C 与 x 轴相切，得到 b=1 为定值，此时利用数形结合确定a 的取值即可得到结
15、论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b） ，半径为 1圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，b=1，则 a2+b2=a2+1，要使 a2+b2 的取得最大值，则只需 a 最大即可，由图象可知当圆心 C 位于 B 点时，a 取值最大，由 ，解得 ，即 B（6，1） ，当 a=6，b=1 时，a 2+b2=36+1=37，即最大值为 37，故选：C二填空题（共 4 题，每题 5 分）13在ABC 中，A=60 ，AC=2，BC= ，则 AB 等于 1 【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理计算即可【解答】解：由余弦定理可得：BC 2=AC2+AB22ABACcosA，即 3=4+
16、AB22AB，解得 AB=1，故答案为：114函数 f（x）= 的零点个数是 2 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=0 得 x22=0，解得 x= 或 x= （舍去） ，当 x0 时，由 f（x）=0 得 2x6+lnx=0，即 lnx=62x，作出函数 y=lnx 和 y=62x 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1 个交点，故 x0 时，函数有 1 个零点故函数 f（x）的零点个数为 2，故答案为：215某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何
17、体的三视图得到该几何体是由底面直径为 2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为 2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分组成，该几何体的体积为：V= = 故答案为： 16设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当 取得最小值时，x+2yz 的最大值为 2 【考点】基本不等式【分析】将 z=x23xy+4y2 代入 ，利用基本不等式化简即可得到当 取得最小值时的条件，用 x，z 表示y 后利用配方法求得 x+2yz 的最大值【解答】解：x 23xy+4y
18、2z=0，z=x 23xy+4y2，又 x，y，z 为正实数， = + 32 3=1（当且仅当 x=2y 时取“=”） ，即 x=2y（y0） ，x+2yz=2y +2y（x 23xy+4y2）=4y2y2=2（y1） 2+22x+2yz 的最大值为 2故答案为：2三解答题（共 6 题，17 题 10 分，其它各题 12 分）17ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值；（）求ABC 的面积【考点】正弦定理【分析】 （）利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得 b 的值（）利用 sinB，求得 cosB 的值，进而根两角和公式求得 sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosA= ，sinA= = ，B=A+ sinB=sin（A+ ）=cosA= ，由正弦定理知 = ，b= sinB= =3 （）sinB= ，B=A +
