1、2016 届江西师大附中高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1若纯虚数 满足 ，则实数 等于（ ）z1izaiA B 或 C D0 11【答案】D【解析】试题分析： ，因为 为纯iaizizi )(2)()( z虚数，所以有 且 ，则 且 ，故本题的正确选项为 D.10a1a【考点】复数的运算.2已知函数 向右平移 个单位后，所得的图像与原函数图像关于sin3yx轴对称，则 的最小正值为（ ）xA B C D12523【答案】D【解析】试题分析：原函数向右平移 个单位后所得函数为 其3)sin(wxy与原函数关于 轴对称，则必有 ，由三角函数诱导x )3i(-)sin(wx公式可知 的最
2、小正值为 ，故本题的正确选项为 D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.3若 ，则 等于（ ）2410cos2xadxdaA B C D14【答案】B【解析】试题分析： ；axdax2311212）（，两定积分相等，则 ，故本题的正确sin2cos4040xd 1选项为 B.【考点】定积分的计算.4如图，当输入 ， 时，图中程序运行后输出的结果为（ ）5x1yA3； 33 B33；3 C.-17；7 D7；-17【答案】A【解析】试题分析：因为 ,所以执行 ，即此时 ， ，0x183yx18x5y输出为 ，而 ，所以输出结果为 ，本题正确选项为yx,33,A.【考点】程序语言.5
3、定义 为 个正数 的“均倒数” ，若已知数列 的12npp 12,np na前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ）n5nab12310bbA B C D8179102【答案】C【解析】试题分析：由定义可知 ，2215.naa，可求得 ，所以 ，则121 5. ）（naan 10510na，又 ，所以bn )(211nnbb12310bb，所以本题正确选项为 C.12 11012 ）（）（【考点】求数列的通项以及用拆项法求前 项和.n6若关于 的不等式组 ，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，,xy10xyk则其表示的区域面积为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或124128214【答
4、案】A【解析】试题分析：可行域等腰三角形由三条直线 围成，01,0,ykxx因为 的夹角为 ，所以 的夹角为 或者0yx与 4010ykx与 4的夹角为 ，当 的夹角为 时，可知1k与 与，此时等腰三角形的直角边长为 ，所以面积为 ，当1214的夹角为 时， ，此时等腰三角形的直角边长为 ，010ykxyx与 40k 1面积为 ，所以本题的正确选项为 D.2考点:线性约束条件.7如图，网格纸是边长为 1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A4 B8 C16 D20【答案】C【解析】试题分析：由正视图与侧视图可知底面为长 ，宽 的矩形，由俯视图可知62此集合
5、体为四棱锥，其高与正视图三角形的高相同，为 ，由四棱锥的体积公式4可求出体积，由图可求得底面积为 ，所以此四棱锥体积为 ，ShV311216423故本题正确选项为 C.【考点】三视图，棱锥的体积.8已知等差数列 的第 8 项是二项式 展开式的常数项，则na4xy（ ）913aA B C D2246【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含 ，所以为 ，y4404)1()(xx所以原二项式展开中的常数项应该为 ，即 ，则6)1(224x8a，故本题的正确选项为 C.3)(1)(318889 ada【考点】二项式定理.9不等式 对于任意 2,1x及 3,y恒成立，则实数 a的取值220
6、xy范围是（ ）A a 2 B C D aa2a319【答案】A【解析】试题分析：因为 不为 ，所以对原不等式两边同时除以 ，能够得到y02y，令 ，则不等式变为 ，其中 由 得范围01)(2yxaxt012attx,决定，可知 ，这样就将原不等式恒成立转化为 在 时2,3t 2t2,31t恒成立，由 可得 ，当 时， 取得01at tata12t最小值 ，且此时 ，所以有 2 ，故本题的正确选项为 A.2,3t【考点】重要不等式.【方法点睛】本题重在考察重要不等式以及学生的观察变通能力，题干中条件为不等式恒成立，其中变量有两个，对于存在两个变量，而求其中参数范围的问题，在高中属于较难题，对此
7、类问题，可用两个变量表示参数，即等号（不等号）一侧是参数，一侧是两个自变量的代数式，而代数式通过一定的方法可化简为一元代数式或者常见的曲线，通过求代数式在区间上的最值来求参数的范围10过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线斜率为 1 时，)0,(12bayxF直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D(1,2)(1,0)(2,10)(5,10)【答案】C【解析】试题分析：双曲线右焦点为 ，过右焦点的直线为),(2ba，与双曲线方程联立消去 可得到2bakxyy，由题意可知，当0)()-( 2222
8、kxb时，此方程有两个不相等的异号实根， 。所以 ，得 ，1k (2abba0即 ；当 时，此方程有两个不相等的同号实根，所以 ，ab3k 9)1(2得 ， ；又 ，所以离心率的取值范围为0221abae故本题正确选项为 C.(2,10)【考点】双曲线的离心率，一元二次方程根的情况.11已知 是单位圆上互不相同的三点，且满足 ，则 的最,ABCABCA小值为（ ）A B C D1412341【答案】B【解析】试题分析：可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点 ，点)0(，A为动点，由 可知 的坐标关于横轴对称，所以可假设CB,ABC,，其中 满足 ，则),(),yxyx, 12x且，所以)
9、1(,1A，可见当 时， 可2)(2)(2 xxyxCB 21xABC以取得最小值 ，故本题的正确选项为 B.【考点】向量的运算，函数的最值.【思路点睛】因为圆关于圆心中心对称，所以可在直角坐标系中以原点作单位圆，这样能使向量坐标化，把向量转化为坐标，方便找到三点的坐标间的关系，从而利用向量的数量积公式将 转化成某一变量的函数，再利用函数的最值便可求得CA的最小值12已知函数 ，其在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ 2xaf0,1a）A B C D0,11, ,1,2【答案】C【解析】试题分析：令 ，则 ， 在区间 上单调递增，xt2,t xaf2)(0,转化为 在 上单调递增，又 ，当t
10、atf)(,1 ）（ ）（ 2)(tatttf时， 在 恒成立，必有 ，可求得 ；当2ta0)(2tf,2ta1-时， 在 恒成立，必有 ，与 矛盾，所以此时-1a2t不存在，综上所述，本题的正确选项为 C.a【考点】函数的单调性，导数的运用.【思路点睛】本题中函数解析式含有绝对值，要判断其单调性，首先要去绝对值，所以要对 的取值进行讨论，这样才能将函数写为分段函数，从而可进一步判断其单调性，在判断单调性时因为 的正负未知，所以适合利用导函数根据函数的单调性来求a的范围，在解本题时，建议同学们首先利用换元法将函数转化为 ，这a tatf)(样在后面进行分类讨论是会方便的多二、填空题13已知函数
11、 的图象在点 处的切线方程是 ，则yfx2,Mf 4yx2ff【答案】 7【解析】试题分析：由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知 ，1)2(f有点 必在切线上，代入切线方程 ，可得 ，所以有M4yx6)2(f7)2(ff【考点】导数的运用.14已知 ,那么 的值是 11sin(),sin()235tanlog【答案】【解析】试题分析：利用和差角公式将 ， 展开，2)si(31)sin(，1ncosin)si( sinco-，可求得 ， ，两式相除有 ，代入125i 2si 5tan可求得其值为 .5tanlog【考点】三角函数的恒等变换，对数的运算.15将一颗骰子投掷两次，第一次出
12、现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，设ab任意投掷两次使直线 ， 平行的概率为 ，不平行的概率1:3lxay2:63lbxy1P为 ，若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 2P2,57mm【答案】 71,36【解析】试题分析：直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 则必1lak12l62bk21/l有 即 ，又 由骰子投掷得到的数字，所以能使 的21k6ab,数字分别为 ， ，即能使 的概率为 ，不能平行）（ 6,)(,23),( 21/l9341P的概率为 ，又点 在圆 的内部，所以有982P1P657xmy，可解得 的取值范围 75)(1(m,3【考点】随机事件的概率，两直线平行的性
13、质，点与圆的位置关系.【思路点睛】题中两直线的斜率由投掷骰子得到的随机数字 所决定，所以可先求ba,得直线的斜率，在根据平行直线的性质，找出 所要满足的关系式，从而得到对应,的 的值，并求得使直线平行的概率 ，因为点 在圆内，所以可列不等ba, 21P12,式，从而求得 的取值范围m16已知 中， ， 点在平面 内，且ABC7,8,9ABCABC，则 的最大值为 70P|P【答案】 1【解析】试题分析： ， 221cos(798)3，由 可得 ，24BACBAC 0PA7PAC则 ，即 ，设()()7P2()BB的夹角为 ，则有 ，可求得与 240cos1,1P，故 的最大值为 .410PB|
14、【考点】向量的运算，三角函数的值域.【思路点睛】直接求 表较复杂，但是由题中已知可得 ，又因为|PB 7PAC三边均已知，所以可利用向量加（减）法，将 转化成 之ABC ,B间的关系，其中 已知，所以可利用 的夹角的余弦值列不等式，,B与从而求得 的取值范围|P三、解答题17在公比为 2的等比数列 na中， 2与 的等差中项是 .593（）求 1a的值；（）若函数 1sin4yx， ，的一部分图像如图所示，1,Ma， 13,Na为 图 像 上 的 两 点 ， 设 MPN， 其 中 与 坐 标 原 点 O重合 ， ， 求 tn的 值 .0【答案】 （I） 13a；（II） 32-【解析】试题分析
15、：（I） 为公比为 的等比数列，所以 代入等差中项关n 258a系式 中，求出 ，从而可求得 ；（II）将 两点的坐标8252a31aNM,代入 1sin4yax中，结合 皆可求得 4，由图可知 为钝角，所以可以利用余弦定理来求得 的余弦值（也可以用向量法来求得 的余弦值） ，从而求得 的值，最后再 求其正切值-试题解析：（） 解：由题可知 ，又25183a528a故 13a 23a（）点 1,M在函数 1sin4yax的图像上， sin4，又 ， 3 如图，连接 ，在 PN中，由余弦定理得又 22418cos 23M056 tantant23124612【考点】等比数列，等差中项，余弦定理，
16、三角函数图象.182015 年 9 月 3 日，抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：（）若从抗战老兵中随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人参加纪念活动的环节数不同的概率；（）某医疗部门决定从这些抗战老兵中随机抽取 3 名进行体检（其中参加纪念活动的环节数为 3 的抗战老兵数大于等于 3） ，设随机抽取的这 3 名抗战老兵中参加三个环节的有 名，求 的分布列和数学期望.【答案】 （I） ；（I
17、I） 182【解析】试题分析：（I）要求环节数不同的概率，可以先求得环节数相同的概率，然后 减去环节数相同的概率即可求得环节数不同的概率；（II）选中环节数为 的事件3概率为 ，选不中的概率为 ，所选三人中环节数为 的可能人数为 ， ， ， ，6653012分别求出其概率列表并求得其期望即可试题解析：（）设“这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件 ，则M“这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件 ，根据题意可知 ， 221153618PM由对立事件的概率计算公式可得 ，3PM故这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为 . 18（）根据题意可知随机变量 的可能取值
18、为 0,1,2,3 且，312506P213567PC， 2231567PC31462P则随机变量 的分布列为：则数学期望 125510367262E【考点】古典概型，数学期望.19如图,四棱柱 1DCBA的底面 A是平行四边形,且 1AB，2BC， 06， E为 的中点, 1平面 CD（）证明:平面 AE1平面 D1；（）若 D,试求二面角 的余弦值AC【答案】 （I）证明见解析；（II） 51【解析】试题分析：（I）因为 A平面 BD， ，所以 1AEBC面，在底面 ABCD中，由 ， 2C， 06A， 为 的中点，E可知三角形 为等边三角形，所以 ，同时三角形 为等腰三角形，D且 ，所以有 ，即 ，根据线面垂直的判定可得3090EE，从而得到平面 A1平面 D1；（II）连接 ，由已知条件AE1面 AC可证得 ，结合（I）中结论可知 三条线段互相垂直，所以可以CDC,
