1、2015-2016 学年江西省高安中学、玉山一中、临川一中等九校高三（下）联考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 z= （i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=3，则输出的 i 等于（ ）A6 B7 C8 D93 （5 分）设集合 ，则 A（ RB）等于（ ）A B C D （0，2）4 （5 分）函数 y=sin2x 的图象的一个对称中心为（ ）A （0，0）
2、B （ ，0） C （ ， ） D （ ，1）5 （5 分）棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A B4 C D36 （5 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布N（1， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若 XN（， 2） ，则 P（X +）=0.6826，P（2X +2）=0.9544A1 193 B1 359 C2 718 D3 4137 （5 分）已知数列a n是等比数列，数列b n是等差数列，若，则 的值是（ ）A1 B C D8 （5 分）已知实数 x，
3、y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ）A B1 C3 D99 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos2B+cosB=1cosAcosC，则（ ）Aa、b、c 成等差数列 Ba 、b、c 成等比数列Ca、 2b、3c 成等差数列 Da、2b、3c 成等比数列10 （5 分）某高中数学老师从一张测试卷的 12 道选择题、4 道填空题、6 道解答题中任取 3 道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为 11 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的两顶点为 A1，A 2，虚轴两端点为 B1，B 2，两焦点为 F1，F 2若以 A1A2 为直径的圆内
4、切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知 f（x）=|xe x|，又 g（x）=f 2（x）+tf（x） （tR） ，若满足 g（x）= 1 的 x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A （， ） B （ ，+） C （ ，2） D （2， ）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）设 n= 4sinxdx，则（x+ ） （x ） n 的展开式中各项系数和为 14 （5 分）正ABC 中， 在 方向上的投影为1，且 ，则 = 15 （5 分）已知 P、A、B 、C 是球 O 球面上的四点，ABC 是正三角形，三棱锥
5、 PABC 的体积为，且APO=BPO=CPO=30，则球 O 的表面积为 16 （5 分）下列说法中所有正确的是 “pq”为真的一个必要不充分条件是“pq”为真若 p： 0，则p： 0若实数 a，b 满足 + =1，则 a+b1数列 （nN *）的最大项为 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共 70 分）17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn（n N*） ，且满足 an+Sn=2n+1（1）求数列a n的通项公式；（2）求证： 18 （12 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点（1）在正方形 ABCD
6、 内部随机取一点 P，求满足|PE|1 的概率；（2）从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量 的分布列与数学期望 E19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面ABC 是边长为 2 的等边三角形，过 A1C 作平面A1CD 平行于 BC1，交 AB 于 D 点，（）求证：CDAB（）若四边形 BCC1B1 是正方形，且 A1D=5 ，求直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值20 （12 分）已知顶点为原点 O，焦点在 x 轴上的抛物线，其内接ABC 的重心是焦点 F，若直线 BC的方程为 4x+y2
7、0=0（1）求抛物线方程；（2）过抛物线上一动点 M 作抛物线切线 l，又 MNl 且交抛物线于另一点 N，ME（E 在 M 的右侧）平行于 x 轴，若FMN= NME，求 的值21 （12 分）已知函数 f（x） =x3+x2（x R） ，g（x）满足 g（x）= （aR ，x0） ，且 g（e）=a，e 为自然对数的底数（）已知 h（x）=e 1xf（x） ，求 h（x）在（1，h（1） ）处的切线方程；（）若存在 x1，e ，使得 g（x）x 2+（a+2）x 成立，求 a 的取值范围；（）设函数 F（x）= ，O 为坐标原点，若对于 y=F（x）在 x 1 时的图象上的任一点P，在曲线
8、 y=F（x） （xR ）上总存在一点 Q，使得 0，且 PQ 的中点在 y 轴上，求 a 的取值范围选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图所示，AC 为O 的直径，D 为 的中点，E 为 BC 的中点（）求证：DEAB；（）求证：ACBC=2AD CD选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知直线 l： （t 为参数） ，曲线 C1： （ 为参数） （）设 l 与 C1 相交于 A， B 两点，求|AB|；（）若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 C2，设点 P 是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值选修 4-5：不等式
9、选讲24已知函数 f（x）=|x 2|（）解不等式：f（x）+f（x+1）2；（）若 a0，求证：f （ax）f（2a）af（x） 2015-2016 学年江西省高安中学、玉山一中、临川一中等九校高三（下）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2011 山东）复数 z= （i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写
10、出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】解：z= = i，复数在复平面对应的点的坐标是（ ）它对应的点在第四象限，故选 D【点评】判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果2 （5 分） （2016 衡阳三模）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=3，则输出的 i 等于（ ）A6 B7 C8 D9【分析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 n，i 的值，当 n=1 时满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 8【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1执
11、行循环体，满足条件 n 是奇数，n=10，i=2不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n=5，i=3 ，不满足条件 n=1，执行循环体，满足条件 n 是奇数，n=16，i=4 ，不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n=8，i=5 ，不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n=4，i=6 ，不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n=2，i=7 ，不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n=1，i=8 ，满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 8故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程
12、序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题3 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）设集合 ，则A（ RB）等于（ ）A B C D （0，2）【分析】由题意，可先解分式不等式和指数不等式，化简集合 A，B，再求出 B 的补集，再由交集的运算规则解出 A（ RB）即可得出正确选项【解答】解：由 1 即为 10，即 0，即为 x（x 2）0，解得 0x2，A=（ 0，2） ，由 02 x13，即 B=（0， ） ， RB=（ ， 0 ，+）A（ RB） = ，2）故选：B【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键4 （5 分） （2016
13、 春 玉山县校级月考）函数 y=sin2x 的图象的一个对称中心为（ ）A （0，0） B （ ，0） C （ ， ） D （ ，1）【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：对于函数 y=sin2x= cos2x，令 2x=k+ ，kZ，求得 x= + ，可得它的图象的对称中心为（ + ， ） ，kZ，故选：C【点评】本题主要考查二倍角公式，余弦函数的图象的对称性，属于基础题5 （5 分） （2016 衡阳三模）棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A B4 C D3【分析】
14、由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为 2，由此可得几何体的体积【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：E、F 都是侧棱的中点，上、下两部分的体积相等，几何体的体积 V= 23=4故选 B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键6 （5 分） （2016 春 玉山县校级月考）在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（ 1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若 XN（， 2） ，则 P（X +）=0.6826，P（2X +2）=0.9544A1 193 B1 359 C2 718
15、D3 413【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是 x 在（0，1）的概率【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布 N（1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为 P（2X +2）P（X+ ）= （0.9544 0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为 0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为 p=0.1359；投入 10000 个点，落入阴影部分的个数期望为 100000.1359=1359故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7 （5 分） （2016 春 玉山
16、县校级月考）已知数列a n是等比数列，数列b n是等差数列，若，则 的值是（ ）A1 B C D【分析】由等差数列和等比数列的性质求出 b3+b9，1a 4a8 的值，代入 得答案【解答】解：在等差数列b n中，由 b1+b6+b11=7，得 3b6=7， ， ，在等比数列a n中，由 ，得 ， ， ，则 =tan =tan = 故选：D【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题8 （5 分） （2016 河南二模）已知实数 x，y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ）A B1 C3 D9【分析】作出不等式组对应的平面区域要使 z=
17、 最大，则 x 最小，y 最大即可，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 x1，y1，要使 z= 的最大，则 x 最小，y 最大即可，由图象知当 z= 经过点 A 时， z 取得最大值，由 ，得 x=1，y=3 ，即 A（1，3） ，则 z= 的最大值是 z= =9，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合判断 x，y 的取值关系是解决本题的关键9 （5 分） （2016 春 玉山县校级月考）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cos2B+cosB=1cosAcosC，则（ ）Aa、b、c 成等差数列 Ba 、b、c 成等比数列Ca、 2b、3c 成等差数列 Da、2b、3c 成等比数列【分析】由 cosB=cos（A +C） ，以及两角和的余弦公式，结合正弦定理和等比数列的中项的性质，即可得到答案【解答】解：cos 2B+cosB=1cosAcosC，
